Γραμμικός Προγραμματισμός: Παραδείγματα Μοντελοποίησης Κεφάλαιο 4

Θέματα Κεφαλαίου Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Παράδειγμα προβλήματος δίαιτας Παράδειγμα επένδυσης Παράδειγμα μάρκετινγκ Παράδειγμα μεταφοράς Παράδειγμα μίξης Παράδειγμα προγραμματισμού παραγωγής σε πολλαπλές περιόδους Παράδειγμα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Διατύπωση Προβλήματος (1 από 8) Εταιρία κατασκευής ειδών ένδυσης: Τέσσερα προϊόντα T-shirt/φούτερ. Η παραγωγή πρέπει να έχει ολοκληρωθεί σε 72 ώρες Χωρητικότητα φορτηγού = 1,200 κουτιά κανονικού μεγέθους. Το κάθε κουτί κανονικού μεγέθους χωράει12 T-shirts. Ένα κουτί με μια δωδεκάδα φούτερ έχει τριπλάσιο μέγεθος από το κουτί κανονικού μεγέθους. €25,000 διαθέσιμα για κάθε κύκλο παραγωγής. 500 δωδεκάδες κενών T-shirts και φούτερ στην αποθήκη. Πόσες δωδεκάδες (κουτιά) από κάθε τύπο μπλούζας πρέπει να παράγει; Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

(2 από 8) Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Σχήμα 4.1 Quick-Screen μπλούζες Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Δεδομένα (3 από 8) Απαιτήσεις πόρων για το παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων.   Χρόνος επεξεργασίας (ώρ.) ανά δωδεκάδα Κόστος ανά δωδεκάδα Κέρδος ανά δωδεκάδα Φούτερ – Μπρ. Φούτερ – Μπρ.-πίσω T-shirt – Μπρ. T-shirt – Μπρ.-πίσω Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Κατασκευή Μοντέλου (4 από 8) Μεταβλητές Απόφασης: x1 = φούτερ, μπροστινό μέρος εκτύπωση x2 = φούτερ, πίσω και εμπρός εκτύπωση x3 = T-shirts, μπροστινό μέρος εκτύπωση x4 = T-shirts, πίσω και εμπρός εκτύπωση Αντικειμενική Συνάρτηση: Μεγιστοποίηση Z = €90x1 + €125x2 + €45x3 + €65x4 Περιορισμοί Μοντέλου: 0.10x1 + 0.25x2+ 0.08x3 + 0.21x4  72 ώρες 3x1 + 3x2 + x3 + x4  1,200 κουτιά €36x1 + €48x2 + €25x3 + €35x4  €25,000 x1 + x2  500 δωδεκάδες φούτερ x3 + x4  500 δωδεκάδες T-shirts Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Υπολογιστική λύση μέσω Excel (5 από 8) Αντικειμενική συνάρτηση Επιλέξτε “Data” για πρόσβαση στο Solver =D7*B14+E7*B15+F7*B16+G7*B17 Τα κελιά αυτά δεν παίζουν κανένα ρόλο στην υπολογιστική επίλυση, έχουν προστεθεί για να γίνει πιο κατανοητό το υπολογιστικό φύλλο =J7-H7 Διατύπωση μοντέλου που περιλαμβάνεται σε όλα τα αρχεία Excel στον συνοδευτικό Ιστότοπο. =F11*B16+G11*B17 Εικόνα 4.1 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver (6 από 8) Περιλαμβάνει και τους πέντε περιορισμούς Εικόνα 4.2 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Λύση μέσω του QM για Windows (7 από 8) Η λύση του μοντέλου είναι: x1=175.56 κουτιά φούτερ με μπροστινή τύπωση x2=57.78 κουτιά φούτερ με τύπωση μπρος-πίσω x3 = 500 κουτιά T-shirt με μπροστινή τύπωση Z=€45,522.22 κέρδος Εικόνα 4.3 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα επιλογής συνδυασμού παραγωγής προϊόντων Λύση μέσω του QM για Windows(8 από 8) Εικόνα 4.4 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Δίαιτας Δεδομένα και διατύπωση προβλήματος (1 από 5) Φαγώσιμο Θερμίδες Λιπαρά (g) Χοληστερόλη (mg) Σίδηρος (mg) Ασβέστιο (mg) Πρωτεΐνες (mg) Ίνες (mg) Κόστος 1. Δημητριακά από πίτουρα (φλιτζάνι)   2. Ξηρά δημητριακά (φλιτζάνι) 3. Νιφάδες βρώμης (φλιτζάνι) 4. Πίτουρο βρώμης (φλιτζάνι) 5. Αβγό 6. Μπέικον (φέτα) 7. Πορτοκάλι 8. Γάλα 2% (φλιτζάνι) 9. Πορτοκαλάδα (φλιτζάνι) 10. Ψωμί σιτάλευρου (φέτα) Το πρωινό να περιλαμβάνει τουλάχιστον 240 θερμίδες, 5 χιλιοστόγραμμα σίδηρο, 400 χιλιοστόγραμμα ασβέστιο, 20 γραμμάρια πρωτεΐνη και 12 γραμμάρια ίνες. Επιπλέον, τα λιπαρά να μην είναι περισσότερα από 20 γραμμάρια και η χοληστερόλη να είναι έως 30 χιλιοστόγραμμα. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Δίαιτας Κατασκευή Μοντέλου – Μεταβλητές Απόφασης (2 από 5) x1 = φλυτζάνια από πίτουρα x2 = φλυτζάνια με ξηρά δημητριακά x3 = φλυτζάνια με νιφάδες βρώμης x4 = φλυτζάνια με πίτουρο βρώμης x5 = αυγά x6 = φέτες από μπέικον x7 = πορτοκάλια x8 = φλυτζάνια με γάλα x9 = φλυτζάνια με χυμό πορτοκάλι x10 = φέτες από ψωμί σιτάλευρου Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Δίαιτας Σύνοψη Μοντέλου (3 από 5) Ελαχιστοποίηση Z = 0.18x1 + 0.22x2 + 0.10x3 + 0.12x4 + 0.10x5 + 0.09x6 + 0.40x7 + 0.16x8 + 0.50x9 + 0.07x10 υπό περιορισμούς: 90x1 + 110x2 + 100x3 + 90x4 + 75x5 + 35x6 + 65x7 + 100x8 + 120x9 + 65x10  420 θερμίδες 2x2 + 2x3 + 2x4 + 5x5 + 3x6 + 4x8 + x10  20 g λιπαρά 270x5 + 8x6 + 12x8  30 mg χοληστερόλη 6x1 + 4x2 + 2x3 + 3x4+ x5 + x7 + x10  5 mg σίδηρος 20x1 + 48x2 + 12x3 + 8x4+ 30x5 + 52x7 + 250x8 + 3x9 + 26x10  400 mg από ασβέστιο 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 + 7x5 + 2x6 + x7 + 9x8+ x9 + 3x10  20 g πρωτεΐνη 5x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4+ x7 + 3x10  12 xi  0, για όλα τα j Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Δίαιτας Υπολογιστική λύση μέσω Excel(4 από 5) =SUMPRODUCT(C5:C14,F5:F14) or =C5*F5+C6*F6+C7*F7+C8*F8+C9*F9+C10*F10+C11*F11+C12*F12+C13*F13+C14*F14 Τιμή περιορισμού, 420, εισάγεται στο κελί F17 =SUMPRODUCT(C5:C14,E5:E14) ή =C5*E5+C6*E6+C7*E7+C8*E8+C9*E9+C10*E10+C11*E11+C12*E12+C13*E13+C14*E14 Μεταβλητή απόφασης, C5:C14 Εικόνα 4.5 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Δίαιτας Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver(5 από 5) Εικόνα 4.6 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Επένδυσης Σύνοψη Μοντέλου (1 από 5) Μια επενδύτρια έχει €70.000 για να τα αξιοποιήσει σε διάφορες επενδύσεις. Ομόλογα με ετήσια απόδοση 8,5%, προθεσμιακές καταθέσεις με απόδοση 5%, γραμμάτια δημοσίου με απόδοση 6,5% και μετοχές με ετήσια απόδοση 13% Οι παρακάτω απαιτήσεις έχουν οριστεί: Όχι περισσότερο από 20% σε ομόλογα Το ποσό της επένδυσης σε προθεσμιακές καταθέσεις δεν πρέπει να ξεπερνά το ποσό που θα επενδυθεί στις άλλες τρεις εναλλακτικές. Τουλάχιστον το 30% της επένδυσης πρέπει να είναι σε γραμμάτια δημοσίου και προθεσμιακές καταθέσεις. 4. Πρέπει να επενδυθούν περισσότερα κεφάλαια σε προθεσμιακές καταθέσεις και γραμμάτια δημοσίου από ό,τι σε ομόλογα και μετοχές, με αναλογία τουλάχιστον 1,2 προς 1 Όλο το ποσό των €70,000 πρέπει να επενδυθεί. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Επένδυσης Σύνοψη Μοντέλου(2 από 5) Μεγιστοποίηση Z = €0.085x1 + 0.05x2 + 0.065 x3+ 0.130x4 υπό περιορισμούς: x1  €14,000 x2 - x1 - x3- x4  0 x2 + x3  €21,000 -1.2x1 + x2 + x3 - 1.2 x4  0 x1 + x2 + x3 + x4 = €70,000 x1, x2, x3, x4  0 όπου x1 = ποσό (€) που θα επενδυθεί σε ομόλογα x2 = ποσό (€) που θα επενδυθεί σε προθεσμιακές καταθέσεις x3 = ποσό (€) που θα επενδυθεί σε γραμμάτια δημοσίου x4 = ποσό (€) που θα επενδυθεί σε μετοχές Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Υπολογιστική λύση μέσω Excel(3 από 5) Παράδειγμα Επένδυσης Υπολογιστική λύση μέσω Excel(3 από 5) Αντικειμενική συνάρτηση, Z, για συνολική απόδοση Πρώτη απαίτηση, =D6*B13 Συνολική απαίτηση επένδυσης, =D10*B13+E10*B14+F10*B15+G10*B16 Εικόνα 4.7 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver(3 από 4) Παράδειγμα Επένδυσης Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver(3 από 4) Περιορισμοί επενδυτικού σχεδιασμού Εικόνα 4.8 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Αναφορά Ευαισθησίας (4 από 4) Παράδειγμα Επένδυσης Αναφορά Ευαισθησίας (4 από 4) Σκιώδης τιμή για το διαθέσιμο ποσό προς επένδυση Εικόνα 4.9 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μάρκετινγκ Δεδομένα και Διατύπωση του Προβλήματος (1 από 7) Όριο προϋπολογισμού €100,000 Τηλεοπτικός χρόνος για τέσσερεις διαφημίσεις Ραδιοφωνικός χρόνος για δέκα διαφημίσεις Διαθέσιμος χώρος στην εφημερίδα για 7 διαφημίσεις Πόροι διαθέσιμοι για όχι περισσότερες από 15 διαφημιστικά σπότ ή/και διαφημίσεις. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μάρκετινγκ Σύνοψη Μοντέλου (2 από 7) Μεγιστοποίηση Z = 20,000x1 + 12,000x2 + 9,000x3 υπό περιορισμούς: 15,000x1 + 6,000x 2+ 4,000x3  100,000 x1  4 x2  10 x3  7 x1 + x2 + x3  15 x1, x2, x3  0 όπου x1 = αριθμός τηλεοπτικών διαφημίσεων x2 = αριθμός ραδιοφωνικών διαφημίσεων x3 = αριθμός διαφημίσεων εφημερίδας Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μάρκετινγκ Λύση μέσω Excel (3 από 7) Εικόνα 4.10 Αντικειμενική Συνάρτηση =F6*D6+F7*D7+F8*D8 or =SUMPRODUCT(D6:D8,F6:F8) Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μάρκετινγκ Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver(4 από 7) Περιλαμβάνει και τους πέντε περιορισμούς Εικόνα 4.11 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μάρκετινγκ Ακέραιη Λύση μέσω Excel (5 από 7) Μεταβλητές απόφασης Επιλέξτε το “int” για ακέραιες τιμές. Εικόνα 4.12 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μάρκετινγκ Ακέραιη Λύση μέσω Excel (6 από 7) Περιορισμός ακέραιου Εικόνα 4.13 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μάρκετινγκ Ακέραιη Λύση μέσω Excel (7 από 7) Καλύτερη λύση, 17.000 περισσότεροι αποδέκτες από τη λύση της στρογγυλοποίησης προς τα κάτω Ακέραιη λύση Εικόνα 4.14 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μεταφοράς Διατύπωση Προβλήματος και Δεδομένα(1 από 3) Προσφορά αποθήκης Ζήτηση καταστήματος λιανικής τηλεοράσεων: για τηλεοράσεις: 1 - Σινσινάτι 300 A – Νέα Υόρκη 150 2 - Ατλάντα 200 B - Ντάλας 250 3 - Πίτσμπουργκ 200 Γ - Ντιτρόιτ 200 Σύνολο 700 Σύνολο 600 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μεταφοράς Σύνοψη Μοντέλου (2 από 4) Ελαχιστοποίηση Z = €16x1A + 18x1B + 11x1C + 14x2A + 12x2B + 13x2C + 13x3A + 15x3B + 17x3C Υπό περιορισμούς: x1A + x1B+ x1C  300 x2A+ x2B + x2C  200 x3A+ x3B + x3C  200 x1A + x2A + x3A = 150 x1B + x2B + x3B = 250 x1C + x2C + x3C = 200 All xij  0 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μεταφοράς Λύση μέσω Excel (3 από 4) =C5+D5+E5 =C5+C6+C7 Εικόνα 4.15 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μεταφοράς Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver(4 από 4) Μεταβλητές απόφασης Περιορισμοί ζήτησης Περιορισμοί προσφοράς Εικόνα 4.16 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Διατύπωση Προβλήματος και Δεδομένα (1 από 7) Ένα Παράδειγμα Μίξης Διατύπωση Προβλήματος και Δεδομένα (1 από 7) Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Διατύπωση Προβλήματος και Μεταβλητές(2 από 7) Ένα Παράδειγμα Μίξης Διατύπωση Προβλήματος και Μεταβλητές(2 από 7) Προσδιορίστε το βέλτιστο μίγμα από τα τρία συστατικά του κάθε τύπου λαδιού κινητήρα που θα μεγιστοποιήσει το κέρδος. Η εταιρεία θέλει να παράγει τουλάχιστον 3.000 βαρέλια από κάθε τύπο λαδιού κινητήρα. Μεταβλητές απόφασης: Η ποσότητα από κάθε ένα από τα τρία συστατικά που χρησιμοποιούνται σε κάθε κατηγορία λαδιού (9 μεταβλητές απόφασης). Xij = βαρέλια από το συστατικό i που χρησιμοποιείται στον τύπο λαδιού κινητήρα j ανά ημέρα, όπου i = 1, 2, 3 και j = s (super), p (premium) και e (extra). Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Διατύπωση Προβλήματος και Μεταβλητές(3 από 7) Ένα Παράδειγμα Μίξης Διατύπωση Προβλήματος και Μεταβλητές(3 από 7) Ο περιορισμός της προδιαγραφής μίξης για τον τύπο super, ο οποίος πρέπει να περιέχει 50% από το συστατικό 1. Μετατροπή σε τυποποιημένη μορφή, μια γραμμική συνάρτηση στην αριστερή πλευρά και μια αριθμητική τιμή στα δεξιά. Πολλαπλασιάστε τις δύο πλευρές με τον παρονομαστή και συλλέξτε τους όρους Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μίξης Σύνοψη Μοντέλου(4 από 7) Μεγιστοποίηση Z = 11x1s + 13x2s + 9x3s + 8x1p + 10x2p + 6x3p + 6x1e + 8x2e + 4x3e υπό περιορισμούς: x1s + x1p + x1e  4,500 βαρέλια. x2s + x2p + x2e  2,700 βαρέλια. x3s + x3p + x3e  3,500 βαρέλια. 0.50x1s - 0.50x2s - 0.50x3s  0 0.70x2s - 0.30x1s - 0.30x3s  0 0.60x1p - 0.40x2p - 0.40x3p  0 0.75x3p - 0.25x1p - 0.25x2p  0 0.40x1e- 0.60x2e- - 0.60x3e  0 0.90x2e - 0.10x1e - 0.10x3e  0 x1s + x2s + x3s  3,000 βαρέλια. x1p+ x2p + x3p  3,000 βαρέλια. x1e+ x2e + x3e  3,000 βαρέλια. all xij  0 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Ένα Παράδειγμα Μίξης Λύση Μέσω Excel (5 από 7) Εικόνα 4.17 =B7+B10+B13 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver (6 από 7) Ένα Παράδειγμα Μίξης Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver (6 από 7) Εικόνα 4.18 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Αναφορά Ευαισθησίας (7 από 7) Ένα Παράδειγμα Μίξης Αναφορά Ευαισθησίας (7 από 7) Εικόνα 4.19 Η σκιώδης τιμή για το συστατικό 1 είναι €20. Το ανώτερο όριο για το εύρος ευαισθησίας για το συστατικό 1 είναι 4500+1700=6200. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Προγραμματισμού Παραγωγής σε Πολλαπλές Περιόδους Διατύπωση Προβλήματος και Δεδομένα (1 από 5) Παραγωγική Ικανότητα: 160 υπολογιστές ανά εβδομάδα 50 επιπλέον υπολογιστές με υπερωρίες Κόστη Συναρμολόγησης: €190 ανά υπολογιστή, εντός ωραρίου; €260 ανά υπολογιστή, με υπερωριακή απασχόληση Κόστος Διατήρησης Αποθέματος: €10/ανά υπολογιστή ανά εβδομάδα Πρόγραμμα Παραγγελιών: Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Προγραμματισμού Παραγωγής σε Πολλαπλές Περιόδους Μεταβλητές Απόφασης (2 από 5) Μεταβλητές Απόφασης: rj = παραγωγή εντός κανονικού ωραρίου υπολογιστών κατά την εβδομάδα j (j = 1, 2, …, 6) oj = παραγωγή υπολογιστών με υπερωριακή απασχόληση κατά την εβδομάδα j ij = επιπλέον υπολογιστές που παραμένουν αδιάθετοι ως απόθεμα την εβδομάδα j (j = 1, 2, …, 5) Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Προγραμματισμού Παραγωγής σε Πολλαπλές Περιόδους Σύνοψη Μοντέλου (3 από 5) Σύνοψη Μοντέλου: Ελαχιστοποίηση Z = €190(r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6) + €260(o1+o2 +o3 +o4+o5+o6) + 10(i1 + i2 + i3 + i4 + i5) υπό περιορισμούς: rj  160 υπολογιστές κατά την εβδομάδα j (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6) oj  150 υπολογιστές κατά την εβδομάδα j (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6) r1 + o1 - i1 = 105 εβδομάδα 1 r2 + o2 + i1 - i2 = 170 εβδομάδα 2 r3 + o3 + i2 - i3 = 230 εβδομάδα 3 r4 + o4 + i3 - i4 = 180 εβδομάδα 4 r5 + o5 + i4 - i5 = 150 εβδομάδα 5 r6 + o6 + i5 = 250 εβδομάδα 6 rj, oj, ij  0 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Προγραμματισμού Παραγωγής σε Πολλαπλές Περιόδους Λύση Μέσω Excel (4 από 5) Copyright © 2016 Pearson Education, Inc. Εικόνα 4.20

Παράδειγμα Προγραμματισμού Παραγωγής σε Πολλαπλές Περιόδους Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver(5 από 5) Εικόνα 4.21 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Διατύπωση Προβλήματος (1 από 5) Παράδειγμα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων (Data Envelopment Analysis, DEA) Διατύπωση Προβλήματος (1 από 5) Η DEA συγκρίνει ένα ομοιογενές σύνολο λειτουργικών μονάδων βάσει των εισροών (πόροι) και εκροών τους. Το αποτέλεσμα δείχνει εάν μια συγκεκριμένη μονάδα είναι λιγότερο παραγωγική ή αποδοτική από άλλες μονάδες. Σύγκριση Δημοτικών Σχολείων: Εισροή 1 = αναλογία δασκάλων-μαθητών Εισροή 2 = συμπληρωματικά κεφάλαια/μαθητή Εισροή 3 = μέσο επίπεδο εκπαίδευσης γονέων Εκροή 1 = μέση βαθμολογία στις εξετάσεις της γλώσσας Εκροή 2 = μέση βαθμολογία στις εξετάσεις των μαθηματικών Εκροή 3 μέση βαθμολογία στις εξετάσεις της ιστορία Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Σύνοψη Δεδομένων του Προβλήματος (2 από 5) Παράδειγμα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων (Data Envelopment Analysis, DEA) Σύνοψη Δεδομένων του Προβλήματος (2 από 5) Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Μεταβλητές Απόφασης και Σύνοψη Μοντέλου (3 από 5) Παράδειγμα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων (Data Envelopment Analysis, DEA) Μεταβλητές Απόφασης και Σύνοψη Μοντέλου (3 από 5) Μεταβλητές Απόφασης: xi = αξία ανά μονάδα κάθε εκροής όπου i = 1, 2, 3 yi = αξία ανά μονάδα κάθε εισροής όπου i = 1, 2, 3 Σύνοψη Μοντέλου: Μεγιστοποίηση Z = 81x1 + 73x2 + 69x3 υπό περιορισμούς: .06 y1 + 460y2 + 13.1y3 = 1 86x1 + 75x2 + 71x3 .06y1 + 260y2 + 11.3y3 82x1 + 72x2 + 67x3  .05y1 + 320y2 + 10.5y3 81x1 + 79x2 + 80x3  .08y1 + 340y2 + 12.0y3 81x1 + 73x2 + 69x3  .06y1 + 460y2 + 13.1y3 xi, yi  0 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων (Data Envelopment Analysis, DEA) Λύση Μέσω Excel (4 από 5) =E8*D12+F8*D13+G8*D14 =B5*B12+C5*B13+D5*B14 Τιμή εκροών, επίσης στο κελί H8 Εικόνα 4.22 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver(5 από 5) Παράδειγμα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων (Data Envelopment Analysis, DEA) Λύση μέσω του παραθύρου Excel Solver(5 από 5) Περιορισμός συνολικής αξίας εισροών Περιορισμοί για εκροές ≤ εισροές Εικόνα 4.23 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Λύση Ενδεικτικού Προβλήματος Διατύπωση Προβλήματος και Δεδομένα (1 από 5) Κονσερβοποιημένη τροφή για γάτες, Meow Chow; για σκύλους, Bow Chow. Συστατικά/εβδομάδα: 600 κιλά κρέας αλόγου; 800 κιλά. ψάρι; 1000 κιλά δημητριακά. Απαιτήσεις συνταγής: Meow Chow τουλάχιστον μισό ψάρι Bow Chow τουλάχιστον μισό κομμάτι κρέας αλόγου. 2,250 κονσέρβες των 16 γραμμαρίων διαθέσιμα κάθε εβδομάδα. Κέρδος /κονσέρβα: Meow Chow €0.80 Bow Chow €0.96. Πόσες κονσέρβες από Bow Chow και Meow Chow πρέπει να παράγονται κάθε εβδομάδα έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος; Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Λύση Ενδεικτικού Προβλήματος Διαμόρφωση Μοντέλου (2 από 5) Βήμα 1: Ορισμός των Μεταβλητών Απόφασης xij = κιλά του συστατικού i στην τροφή για κατοικίδια j ανά εβδομάδα, όπου i = h (κρέας αλόγου), f (ψάρι) and c (δημητριακά), και j = m (Meow chow) και b (Bow Chow). Βήμα 2: Διατύπωση της Αντικειμενικής Συνάρτησης Μεγιστοποίηση Z = €0.05(xhm + xfm + xcm) + 0.06(xhb + xfb + xcb) Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Λύση Ενδεικτικού Προβλήματος Διαμόρφωση Μοντέλου(3 από 5) Βήμα 3: Διατύπωση των περιορισμών του μοντέλου Διαθέσιμη ποσότητα από κάθε συστατικά κάθε εβδομάδα: xhm + xhb  9,600 κιλά κρέας αλόγου xfm + xfb  12,800 κιλά ψαριού xcm + xcb  16,000 κιλά δημητριακών Απαιτήσεις συνταγής: Meow Chow: xfm/(xhm + xfm + xcm)  1/2 or - xhm + xfm- xcm  0 Bow Chow: xhb/(xhb + xfb + xcb)  1/2 or xhb- xfb - xcb  0 Περιεχόμενο κονσέρβας: xhm + xfm + xcm + xhb + xfb+ xcb  36,000 κιλά Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Λύση Ενδεικτικού Προβλήματος Σύνοψη Μοντέλου (4 από 5) Βήμα 4: Σύνοψη Μοντέλου Μεγιστοποίηση Z = €0.05xhm + €0.05xfm + €0.05xcm + €0.06xhb + 0.06xfb + 0.06xcb υπό περιορισμούς: xhm + xhb  9,600 κιλά από κρέας αλόγου xfm + xfb  12,800 κιλά ψαριού xcm + xcb  16,000 κιλά δημητριακών - xhm + xfm- xcm  0 xhb- xfb - xcb  0 xhm + xfm + xcm + xhb + xfb+ xcb  36,000 κιλά xij  0 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Λύση Ενδεικτικού Προβλήματος Λύση Μέσω QM για τα Windows (5 από 5) Λύση στο πρόβλημα του Bark's Pet Food Company χρησιμοποιώντας QM για Windows Για να προσδιοριστεί ο αριθμός των κονσερβών από κάθε γεύση, πρέπει να αθροίσουμε τις ποσότητες των συστατικών για κάθε τροφή και να τα διαιρέσουμε με τα 16 γραμμάρια (το μέγεθος μιας κονσέρβας). xhm+xfm+xcm=0+8,400+8,400=16,800 oz. από Meow Chow 16,800 / 16 = 1,050 κονσέρβες από Meow Chow Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Printed in the United States από America. All rights reserved. No part από this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission από the publisher. Printed in the United States από America. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.