SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET RIJEKA Odabrana poglavlja inženjerske matematike   Usporedba varijanci dvaju osnovnih skupova PREDAVAČ: Ines Radošević STUDENT: Saša Rađenović

Usporedbom varijanci uspoređuje se stupanj disperzije dvaju skupova Dva skupa mogu imati jednak ili nejednak stupanj disperzije Neka vrijednosti x11,x12,…,xn1,1 čine slučajni uzorak iz osnovnog skupa N(μ1, σ12 ), a vrijednosti x21,x22,…,xn2,2 slučajni uzorak iz osnovnog skupa N(μ2, σ22 ) Varijance osnovnih skupova nisu poznate, a njihove nepristrane procjene slijede primjenom izraza

Pretpostavi li se da su uzorci nezavisni i izabrani iz normalno distribuiranih osnovnih skupova, tada se može pokazati da se omjer ravna po F distribuciji s [n1 - 1, n2 -1] stupnjeva slobode

Hipoteze o varijancama dvaju osnovnih skupova i način donošenja odluka navedeni su u tablici

Testna je veličina omjer procjena varijanci, odnosno empirijski F-omjer Teorijska vrijednost F-distribucije utvrđuje se prema razini signifikantnosti α i broju stupnjeva slobode [n1 - 1, n2 -1] iz tablica ili upotrebom računalnog programa. Promjeni li se položaj procjena varijanci u razlomku (empirijskom F-omjeru), teorijska vrijednost određuje se prema broju stupnjeva slobode [n1 - 1, n2 -1] . Odluka se donosi usporedbom empirijskog F-omjera s teorijskom vrijednosti F α/2, [n1 - 1, n2 -1] za dvosmjeran test ili s F α, [n1 - 1, n2 -1] za jednosmjeran test na način predočen u tablici. Alternativno se odluka donosi uporabom empirijske razine signifikantnosti (p-vrijednost).

Osim F-testa rabe se i drugi testovi, primjerice Levenov test o homogenosti varijanci. Levenov test temelji se na analizi varijance koja polazi od apsolutnih odstupanja vrijednosti uzoraka od njihovih aritmetičkih sredina. Nulta hipoteza sadrži tvrdnju o jednakosti varijanci osnovnih skupova, a alternativna suprotnu tvrdnju. Uobičajeno se zaključak donosi na tremelju p-vrijednosti. Ne prihvati li se nulta hipoteza, odbacuje se tvrdnja o jednakosti varijanci. Postupak testiranja hipoteza o jednakosti varijanci u programskoj potpori najčešće je sadržan u postupku koji se odnosi na testiranje hipoteza o jednakosti aritmetičkih sredina.

Zad 1. Broker prosuđuje rizik poslovanja dionicama MF i PD koje kotiraju na burzi. Sud o riziku donosi se promatranjem varijacija dnevnih zaključnih cijena. Prosječna dnevna zaključna cijena u uzorku 21 zaključne cijene dionica MF bila je 125 centi, s prosječnim odstupanjem od prosjeka 20 centi. Prosječna dnevna zaključna cijena dionica PD izračunana na temelju uzorka 26 dnevnih cijena jest 108 centi, s prosječnim odstupnjem 15 centi. Može li se prihvatiti pretpostavka da je poslovanje dionicama MF i PD jednako rizično? Testira se na razini 10% signifikantnosti. Rješenje: Standardna devijacija, odnosno varijance jedna je od mjera prosudbe rizika poslovanja. Usporedba rizičnosti može se provesti usporedbom stupnja varijacije dionica, odnosno usporedbom varijanci. Kako varijance osnovnih skupova nisu poznate rabe se njihove procjene. Pretpostavlja se da se dnevne varijacije zaključnih cijena dionica ravnaju po normalnim distribucijama. Varijanca uzorka dionica MF jest s12 = 400 pa je pa je nepristrana procjena varijance prvog osnovnog skupa: Varijanca uzorka dionica MF jest s22 = 225 pa je pa je nepristrana procjena varijance drugog osnovnog skupa:

Hipoteze su za dvosmjeran test: Testna je veličina empirijski F-omjer: Razina signifikantnosti je 0.10. Test je dvosmjeran pa je teorijska vrijednost testa: Empirijski je F-omjer(1.79) i manji je od teorijske vrijednosti F-distribucije (2.01) sa [20,25] stupnjava slobode; pa se na danoj razini signifikantnosti prihvaća nulta hipoteza. Drugim riječima, prihvaća se pretpostavka da su varijance osnovnih skupova jednake, odnosno da je poslovanje dionicama jednako rizično.

Zad.2 Ispituje se stupanj varijabilnosti proizvodnje u prvoj i drugoj smjeni. Iz skupa smjena iz posljednje dvije godine izabrani su neovisni uzorci radnih smjena i dobiveni rezultati o proizvodnji proizvoda GMA u komadima: Može li se prihvatiti pretpostavka da je stupanj varijabilnosti proizvodnje druge smijene veći od stupnja varijabilnosti proizvodnje prve smjene? Testira se na razini 5% signifikantnosti. Rješenje: Ovdje je riječ o jednosmjernom testu o varijancama dvaju normalno distribuiranih osnovnih skupova. Varijance osnovnih skupova nisu poznate, pa ih za provođenje testa tre.ba procijeniti. Procjene su varijanci osnovnih skupova: Hipoteze su za jednosmjeran test:

Testna je veličina empirijski F-omjer: Razina signifikantnosti je 0.05. Test je jednosmjeran, u brojniku je (veća) procjena varijance drugog osnovnog skupa, a u nazivniku procjena prvog osnovnog skupa, pa je teorijska vrijednost testa Empirijski je F-omjer(3.046) i veći je od teorijske vrijednost F-distribucije(2.463) sa stupnjevima slobode[15,14], pa se na danoj razini signifikantnosti prihvaća nulta hipoteza. Prihvaća se pretpostavka da je varijanca drugog osnovnog skupa veća od varijance prvog osnovnog skupa odnosno da je stupanj varijacije proizvodnje u drugoj smjeni veći od stupnja varijacije proizvodnje u prvoj smjeni. 1.Što se uspoređuje usporedbom varijanci dvaju osnovnih skupova? Stupanj diperzije dvaju skupa 2.Koji se još test, osim F-testa koristi u usporedbi varijanci dvaju osnovnih skupova? Levenov test