6. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI

6.1. DEFINICIJE VJEROJATNOSTI pokus je djelatnost (definiran proces, postupak mjerenja, opažanja, ...) iz koje izvire neki rezultat rezultat pokusa naziva se ishodom pokus je slučajan ako se u definiranim uvjetima može ponavljati, ako postoje barem 2 različita ishoda te ako se ishodi ne mogu predvidjeti sa sigurnošću prostor elementarnih događaja S je skup svih mogućih različitih ishoda slučajnog pokusa događaj je elementaran ako se ne može rastaviti u jednostavnije događaje

slučajni događaj A je podskup skupa svih elementarnih događaja Neka su A i B slučajni događaji definirani na skupu S unija skupova A i B, oznaka AB, je događaj koji nastane ako nastane događaj A ili događaj B, ili oba presjek skupova A i B, oznaka AB, je događaj koji nastane ako nastane događaj A i događaj B razlika događaja A i B, oznaka A\B, je događaj koji nastane ako nastane događaj A, a ne nastane događaj B komplement događaja A, oznaka A, je događaj koji sadrži sve elementarne događaje skupa S koji ne čine događaj A

Vrijedi: događaj S je siguran događaj ako obuhvaća sve elementarne događaje događaj A je nemoguć događaj ako je A = Ø događaji A i B su međusobno isključivi ako ne mogu nastati istodobno, tj. ako je AB = Ø dva slučajna događaja ili više njih su međusobno isključivi ako je presjek svakog para događaja prazan skup Događaji A i B neovisni su ako u jednom pokusu mogu nastati istodobno, tj. ako je AB  Ø

Klasična definicija vjerojatnosti (vjerojatnost a priori) Ako su ishodi slučajnog pokusa jednako mogući, tada je vjerojatnost nastupa događaja A, oznaka P(A), jednaka omjeru broja za njega povoljnih ishoda m i ukupnog broja ishoda n Statistička definicija vjerojatnosti (vjerojatnost a posteriori) Ako se broj ponavljanja pokusa izvedenih u istim uvjetima povećava u beskonačnost, tada je vjerojatnost nastupa događaja A granična vrijednost relativne frekvencije povoljnog ishoda događaja A

Svojstva vjerojatnosti: (1) P(A)  0 (2) vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka je nuli (P(Ø) = 0), a vjerojatnost sigurnog događaja jednaka je jedan (P(S) = 1), tj. 0  P(A)  1 (3) vjerojatnost da neće nastupiti događaj A jednaka je , tj.

(4). ako su A1 i A2 dva međusobno isključiva događaja, (4) ako su A1 i A2 dva međusobno isključiva događaja, vjerojatnost da će nastupiti događaj A1 ili A2 jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti, tj. (5) za događaje A1 i A2 vjerojatnost nastupa barem jednog od njih jednaka je (6) vjerojatnost nastupa događaja A uz uvjet da je nastupio događaj B jest omjer vjerojatnosti događaja A i događaja B i vjerojatnosti nastupa događaja B, tj.

PRIMJER 1. Pravilna kocka baca se jedan put PRIMJER 1. Pravilna kocka baca se jedan put. Odredite vjerojatnost događaja: (a) dobiven je broj 5, (b) nije dobiven broj 5, (c) pri bacanju je dobiven paran broj, (d) dobiven je broj 2 ili 4, (e) dobiven je broj 1 i 4.

PRIMJER 2. Test se sastoji od 3 zadatka iz jednog predmeta PRIMJER 2. Test se sastoji od 3 zadatka iz jednog predmeta. Za svaki zadatak ponuđena su 2 odgovora, od kojih je jedan točan, a drugi netočan. Ako testu pristupi osoba koja uopće ne poznaje predmetno područje, kolika je vjerojatnost: (a) da će odabrati 3 ispravna odgovora, (b) da neće navesti 3 ispravna odgovora, (c) da će odabrati jedan ispravan odgovor?

PRIMJER 3. Zaposleni, njih 128, rade na normu, a izrađeni proizvodi podložni su kontroli kakvoće. U jednom razdoblju 16 zaposlenih nije ispunjavalo normu, kakvoća proizvoda koje su proizvela 24 radnika bila je ispodprosječna, a 4 radnika nisu ispunjavala normu i kakvoća izrađenih proizvoda bila je ispodprosječna. Zaposleni imaju pravo na premiju u visini 20% plaće ako u određenom vremenu ispune normu i ako izrade proizvode prosječne i iznadprosječne kakvoće. Kolika je vjerojatnost da se slučajno odabere zaposlena osoba koja: nema pravo na premiju, ima pravo na premiju?

PRIMJER 4. U nekoj tvornici od 100 proizvedenih čaša prosječno je 6 neispravno, a od ispravnih čaša 75% je 1. klase. Kolika je vjerojatnost da čaša iz te tvornice bude 1. klase?

6.2. SLUČAJNA VARIJABLA I DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI Slučajna varijabla X numerička je funkcija koja svakom ishodu slučajnog pokusa pridružuje realan broj Slučajna varijabla je: Diskretna – poprima konačan broj vrijednosti ili prebrojivo mnogo njih Kontinuirana – poprima bilo koju vrijednost iz nekog intervala Distribucija vjerojatnosti diskretne slučajne varijable skup je uređenih parova različitih vrijednosti te varijable i pripadajućih vjerojatnosti

Neka je X slučajna varijabla koja poprima vrijednosti x1,x2, …,xk s vjerojatnostima p(x1), p(x2), …, p(xk). Skup čiji su elementi uređeni parovi: {(xi, p(xi))} , i = 1,2,.. k tvori funkciju (distribuciju) vjerojatnosti varijable X Svojstva funkcije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable: (1) p(xi)  0 , i = 1,2,.. k (2) (3)

Kumulativna funkcija F(xi) pokazuje kolika je vjerojatnost da diskretna slučajna varijabla X poprimi vrijednost xi ili manju od te vrijednosti. Ta funkcija distribucije definira se izrazom: Distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable f (x) opisuje razdiobu vjerojatnosti na intervalu vrijednosti varijable Svojstva funkcije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable: (1) f (x)  0 , x (2) (3)

Distribucije vjerojatnosti analiziraju se tako da im se utvrde statističko-analitički pokazatelji. Među osnovnim pokazateljima jest očekivana vrijednost slučajne varijable koja je ekvivalent aritmetičkoj sredini distribucije numeričke varijable očekivana vrijednost slučajne varijable X:

varijanca slučajne varijable X, čija je očekivana vrijednost E(X) = μ, dana je izrazom: standardna devijacija je pozitivni drugi korijen iz varijance koeficijent varijacije omjer je standardne devijacije i očekivane vrijednosti pomnožen sa 100

r-ti moment oko sredine slučajne varijable X općenito se definira izrazom: Omjer trećeg momenta oko sredine i standardne devijacije podignute na treću potenciju mjera je asimetrije distribucije vjerojatnosti, a omjer četvrtog momenta i standardne devijacije na četvrtu mjera je zaobljenosti distribucije vjerojatnosti

PRIMJER 6. Ekspertna grupa procjenjuje učinke investicija na rizičnom području. Učinak investicije izražen je u obliku dobiti, odnosno gubitaka za promašene plasmane. Distribucija vjerojatnosti učinka investicija navedena je u tabeli. (a) Odredite očekivanu vrijednost i standardnu devijaciju distribucije vjerojatnosti. Interpretirajte dobivene rezultate. (b) Kolika je vjerojatnost da će investicija rezultirati gubitkom? Kolika je vjerojatnost da će dobit biti između 100 i 300 tisuća kuna?