Mongeova projekcija - teorijski zadaci incidencija, paralelnost C) stranocrt, bokocrt okomitost D) rotacija T є p ↔ T’є p’ & T’’є p’’ a II b ↔ a’II b’ & a’’II b’’ pєΣ ↔ P1є s1 & P2є s2 Ravnina se može zadati sa: 2 ukrštena pravca; 2 paralelna pravca; 1 točkom i 1 pravcem; 3 nekolinearne točke r2 A2 B2 r2 a’ a’’ b’ b’’ A2 T’ T’’ p’ p’’ b’’ a’ a’’ b’ A’ A’’ B’ B’’ C’ C’’ B2 A1 r1 r1 A1 B1 Svode se na 1. ili 2. slučaj

1. Zadatak: Pomoću sutražnice 1 1.Zadatak: Pomoću sutražnice 1. skupine odredite tragove ravnine P koja je zadana točkom T i pravcem a. Sutražnica 1. skupine je pravac u ravnini II Π1 => s’ II r1 & s’’II 1x2 r2 T’ T’’ a’ a’’ A2 A2’ s’’ S’’ S’ S2 s’ r1 II A1’’ A1

PRESJEČNICA DVIJU RAVNINA Koliko se ravnina može položiti jednim pravcem?

2. Zadatak: Konstruiraj projekcije probodišta pravca b i ravnine P. Položimo pomoćnu ravninu E, npr. drugu projicirajuću : E, b ∩ E, E Π2 Nađimo presječnicu ravnina E i P : E ∩ P = f P je traženo probodište: P = f ∩ b f’ b’’ b’ r1 r2 = e2 e1 = f’’ F1’’ F1 P’’ F2 F2’ 1x2 P’

3. Zadatak: Konstruirajte projekcije transverzale pravaca a i b koja sadrži točku T. a,b su mimosmjerni TRANSVERZALA dvaju mimosmjernih pravaca je bilo koji pravac koji ih siječe. ♣ postavimo ravninu pravcem a i točkom T : A (a,T) ( pomoću sutr.1.sk ) ♣ nađimo probodište pravca b i ravnine A : b ∩ A = B t’ t’’ f’ ♣ t je traženi pravac : t = BT a2 b’’ b’ a’ a’’ T’ T’’ = e2 = f’’ B’’ A2’ A2 s’’ 1x2 A1 A1’’ s’ a1 II e1 B’

B) OKOMITOST Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na bar 2 pravca te ravnine p => pravac je okomit na sve pravce u toj ravnini. Π . . Kako se u projekcijama vidi da su pravac i ravnina okomiti? p T Π <=> p’ p1 & p’’ p2 Dvije ravnine su okomite ako jedna od njih sadrži barem jedan pravac okomit na drugu ravninu. Ravnine NISU okomite ako su im (u projekcijama) tragovi okomiti!

4. Zadatak: a) Konstruirajte projekcije pravca p koji sadrži točku T i okomit je na ravninu P. b) Odredi tragove ravnine P koja sadrži točku T i okomita je na pravac p. (pomoću sutr. 2.sk.) r2 ■ s’ s’’ ■ r1 r2 T’ T’’ p’ p’’ T’ T’’ p’’ ■ 1x2 1x2 p’ ■ r1 ■ S1

5. Zadatak: Odredite skup točaka prostora koje su jednako udaljene od točaka A i B. SIMETRALNA RAVNINA DUŽINE je skup svih točaka prostora jednako udaljenih od A i B, sadrži polovište dužine i okomita je na nju. s1 s2 ■ A’ A’’ B’ B’’ P’ P’’ S2 ■ s’ s’’ 1x2 S2’

6. Zadatak: Konstruirajte projekcije pravca p koji sadrži točku T, paralelan je s ravninom P, a okomit na pravac a. ♣ Točkom T postavimo ravninu Σ paralelnu sa P => s1 II r1 & s2 II r2 ♣ Točkom T postavimo ravninu Δ okomitu na pravac a. d1 d2 ■ ♣ Traženi pravac p je presječnica ravnina Σ i Δ. s1 s2 p’ p’’ P2 P1 r1 r2 a’ a’’ T’ T’’ = m’ m’’ ■ s’ s’’ II 1x2 S1 P1’’ P2’ M1