Трыганаметрычныя і адваротныя трыганаметрычныя функцыі

y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx

y=sinx Абсяг вызнвчэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць (−∞;+∞) [-1;1] Няцотная Перыядычная, Т=2π

y=sinx Манатоннасць узрастае убывае (-π/2+2πn;π/2+2πn)nZ Непарыўная на D(sin) Няма Манатоннасць узрастае убывае Непарыўнасць пункты разрыву Асімптоты вертыкальныя гарызантальныя

y=sinx

Разгледзім звужэнне функцыі sin на [-π/2;π/2] Разгледзім звужэнне функцыі sin на [-π/2;π/2]. На гэтым адрэзку функцыя sin узрастае і непарыўна. Па Т.2 § 5 адваротная ёй адпаведнасць з’яўляецца функцыяй, прычым непарыўнай, узрастаючай. Азначэнне. Функцыя, адварнотная звужэнню функцыі сінус на [-π/2;π/2], называецца арксінусам і абазначаецца arcsin.

y=arcsinx Абcяг вызнвчэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць D(arcsin)=[-1;1] E(arcsin)=[- π/2;π/2] Няцотная неперыядычная

y=arcsinx Манатоннасць: узрастае Непарыўнасць Асімптоты D(arcsin) няма

y=arcsinx π/2 -1 1 -π/2

y=cosx Абcяг вызнвчэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць (-∞;+∞) [-1;1] Цотная Перыядычная, Т=2π

y=cosx Манатоннасць: узрастае убывае (-π/2+2πn;π/2+2πn)nZ Непарыўная на D(cos) Няма Манатоннасць: узрастае убывае Непарыўнасць пункты разрыву Асімптоты:

y=cosx 1 -π π

Разгледзім звужэнне функцыі cos на [0;π] Разгледзім звужэнне функцыі cos на [0;π]. На гэтым адрэзку функцыя cos убывае і непарыўна. Па Т.2 § 5 адваротная ёй адпаведнасць з’яўляецца функцыяй, прычым непарыўнай, убываючай. Азначэнне. Функцыя, адварнотная звужэнню функцыі косінуса на [0;π], называецца арккосінусам і абазначаецца arcсоs.

y=arccosx Абcяг вызнвчэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць D(arcсos)=[-1;1] E(arcсos)=[0; π] Ні цотная, ні няцотная неперыядычная

y=arccosx Манатоннасць: убывае Непарыўнасць Асімптоты D(arcсos) няма

y=arccosx y π x 1

y=tgx Абcяг вызнвчэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць (-π/2+πn;π/2+πn), nZ (-∞;+∞) Няцотная Перыядычная, Т=π

y=tgx Манатоннасць: (-π/2+πn;π/2+πn), nZ узрастае Непарыўная на D(tg) x=π/2+πn, nZ (2 роду) x=π/2+πn, nZ няма Манатоннасць: узрастае Непарыўнасць пункты разрыву Асімптоты: вертыкальныя гарызантальныя

y=tgx π/2 -π/2

Разгледзім звужэнне функцыі tg на (-π/2;π/2) Разгледзім звужэнне функцыі tg на (-π/2;π/2). На гэтым прамежку функцыя tg узрастае і непарыўна. Па Т.2 § 5 адваротная ёй адпаведнасць з’яўляецца функцыяй, прычым непарыўнай, узрастаючай. Азначэнне. Функцыя, адварнотная звужэнню функцыі тангенс на (-π/2;π/2), называецца аркстангенсам і абазначаецца arctg.

y=arctgx Абcяг вызнвчэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць D(arctg)= (-∞;+∞) E(arctg)= (-π/2;π/2) няцотная неперыядычная

y=arctgx Манатоннасць: узрастае Непарыўнасць Асімптоты: гарызантальныя D(arctg) y= π/2 i y=- π/2;

y=arctgx π/2 -π/2

y=ctgx Абяг вызнвчэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць (πn;π+πn)nZ (-∞;+∞) Няцотная Перыядычная, Т=π

y=ctgx Манатоннасць: убывае Непарыўнасць пункты разрыву Асімптоты: вертыкальныя гарызантальныя (πn;π+πn)nZ Непарыўная на D(ctg) x=πn, nZ (2 роду) x=πn, nZ няма

y=ctgx

Разгледзім звужэнне функцыі ctg на (0;π) Разгледзім звужэнне функцыі ctg на (0;π). На гэтым прамежку функцыя ctg убывае і непарыўна. Па Т.2 § 5 адваротная ёй адпаведнасць з’яўляецца функцыяй, прычым непарыўнай, убываючай. Азначэнне. Функцыя, адварнотная звужэнню функцыі катангенс на (0;π), называецца арккатангенсам і абазначаецца arcсtg.

y=arcctgx Абcяг вызнвчэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць D(arcctg)= (-∞;+∞) E(arctg)= (0;π) ні цотная, ні няцотная неперыядычная

y=arcctgx Манатоннасць: убывае Непарыўнасць Асімптоты: гарызантальныя D(arcсtg) y= 0 i y= π

y=arcctgx y y π π π/2 x

Ступенная функцыя Ступень з натуральным паказнікам Ступень з паказнікам 1/n Ступень з рацыянальным паказнікам Ступень з ірацыянальным паказнікам Ступень з сапраўдным паказнікам

y=xn y=xn=x·x·…·x Абсяг вызначэння Абсяг значэнняў Непарыўнасць Цотнасць (-∞;+∞) (-∞;+∞), калі n-няцотны [0;+∞), калі n-цотны Цотная, калі n-цотны няцотная, калі n-няцотны

y=xn Манатоннасць Узрастае убывае (0; +∞), калі n-цотны; (-∞;+∞), калі n-няцотны (-∞;0), калі n-цотны

y=xn y x

y=x1/n Па Т.2 §5, калі n-няцотны, то адваротная функцыі y=xn на (-∞;+∞) адпаведнасць з’яўляецца функцыяй, прычым непарыўнай, узрастаючай; калі n-цотны, то трэба разгледзіць звужэнне функцыі y=xn на [0;+∞). Па Т.2 §5 адваротная ёй адпаведнасць з’яўляецца функцыяй, прычым непарыўнай, узрастаючай. Гэту функцыю будзем называць ступенню ліку х з паказнікам 1/n.

y=x1/n D(y)= [0;+∞). E(y)= [0;+∞). Ні цотная ні няцотная Неперыядычная Няцотная Неперыядычная Непарыўная на D(y) Узрастае на D(y)

y=xα αQ (α=m/n, m  Z, n  N) m/n>0, то y=(x n)m αI, то y=limxrn, дзе rn α, калі n∞ n∞

Паказнікавая функцыя

y=ax Абсяг вызначэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць Непарыўнасць Манатоннасць Асімптоты гарызантальная D(y)= (-∞;+∞) E(y)= (0;+∞) Ні цотная, ні няцотная Неперыядычная Непарыўная на D(y) Узрастае на D(y)(а>1) Убывае на D(y)(0<a<1) у=0

y=ax y 1 x

Лагарыфмічная функцыя

у=loga x Абсяг вызначэння Абсяг значэнняў Цотнасць Перыядычнасць Непарыўнасць Манатоннасць Асімптоты вертыкальная D(y)= (0;+∞) E(y)=(-∞;+∞) Ні цотная, ні няцотная Неперыядычная Непарыўная на D(y) Узрастае на D(y)(а>1) Убывае на D(y)(0<a<1) х=0

у=loga x y y a>1 0<a<1 1 1 1 x 1 x

Асноўныя элементарныя функцыі: Элементарные функции Асноўныя элементарныя функцыі: трыганаметрычныя і адваротныя трыганаметрычныя, ступень з натуральным, рацыянальным, ірацыянальным і сапраўдным паказнікам ступені, паказнікавая і лагарыфмічная функцыі

Элементарныя функцыі ─ Элементарные функции Элементарныя функцыі ─ функцыі, якія атрымліваюцца з асноўных элементарных функцый у выніку канчатковага ліку алгебраічных аперацый (складання, рознасці, множання, дзелі) і кампазіцыі гэтых функцыі

Элементарныя функцыі ─ непарыўныя ў сваім абсягу вызначэння Элементарные функции Элементарныя функцыі ─ непарыўныя ў сваім абсягу вызначэння