Pitagorin poučak Pravokutni trokut Pitagorin poučak Izračunavanje duljina stranica pravokutnog trokuta Primjena Pitagorinog poučka Obrat Pitagorina poučka

Pitagora (582. – 497. prije Krista) rodio se na otoku Samosu u Jonskom moru. Otac mu se zvao Mnesarh, a majka Pitija. Otac mu je bio trgovac pa je Pitagora često putovao s njim. U svojoj je mladosti Pitagora bio učenik Anaksimandra i Talesa. Kako više nije mogao podnositi tiraniju vladara Polikrata, krenuo je na putovanja. Skrasio se i naselio u mjestašcu Kroton u južnoj Italiji gdje je osnovao filozofsku školu. Bio je mistik, matematičar, glazbenik i astronom. Pridržavao se strogih uvjerenja: cijelo društvo mora biti vegetarijansko, osobne su stvari zabranjene, filozofija i matematika služe za duševno pročišćenje… O Pitagori se malo zna jer je slijedio egipatska uvjerenja o radu u potpunoj tajnosti pa tako nije ostala niti jedna jedina njegova knjiga ili rukopis. Pitagorini su učenici štovali svog učitelja kao božanstvo. Smatrali su ga utjelovljenjem boga Apolona. Pitagorejci, njegovi učenici i sljedbenici, imali su moćan utjecaj na politiku još 100 godina po Pitagorinoj smrti. Bavili su se glazbom i brojevima. Znali su da se svi kvadratni korijeni ne mogu zapisati kao količnici dvaju cijelih brojeva. Pravokutni trokut Pitagorin poučak Pravokutni trokut jest trokut koji ima jedan pravi kut. Vrh pri pravom kutu obično označavamo slovom C. Zbroj veličina dvaju šiljastih kutova pravokutnog trokuta iznosi 90°. Stranice pravokutnog trokuta koje čine pravi kut nazivamo katete. Najdulja stranica pravokutnog trokuta naziva se hipotenuza i leži nasuprot pravom kutu. Riječ kateta dolazi iz grčkog jezika prema glagolu koji znači stati jedan na drugi okomito. Hipotenuza znači napeta crta. a, b – duljine kateta c – duljina hipotenuze

Površina pravokutnog trokuta Kolika je duljina hipotenuze u odnosu na duljine kateta? U svakom je trokutu zbroj duljina dviju stranica uvijek veći od duljine treće stranice. Tako je i s najduljom stranicom pravokutnoga trokuta. c < a + b b < a + c a < b + c Duljina hipotenuze je manja od zbroja duljina kateta. Površina pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Opseg pravokutnog trokuta o = a + b + c Izračunaj površinu pravokutnog trokuta s katetama duljina U računima ne pišemo mjerne jedinice. Pripisujemo ih tek u završnom rezultatu.

c2 =a2 +b2 Pitagorin poučak Za Pitagorin poučak znali su prije Pitagore Egipćani, Babilonci, Indijci i Kinezi. Kinezi su ga zvali poučak Gougu. Na slici je ilustracija poučka iz jedne stare kineske knjige Pitagorin poučak Koja je veza između površina kvadrata nad stranicama pravokutnog trokuta? Pitagorin poučak c2 =a2 +b2 Pitagorin poučak Zbroj površina kvadrata nad katetama pravokutnog trokuta jednak je površini kvadrata nad hipotenuzom.

Za površine kvadrata nad stranicama pravokutnog trokuta vrijedi: c2 = a2 + b2 52 = 32 + 42 25 = 9 + 16 25 = 25 Egipatski trokut – trokut sa stranicama duljina 3, 4 i 5 Pitagorin poučak Pitagorin poučak može se iskazati i ovako: Kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta pravokutnog trokuta.

Koje su od ponuđenih formula za pravokutni trokut sa slike ispravne? a) b2 + c2 = a2 b) a2 + c2 = b2 c) c2 = a2 + b2 d) b2 = c2 – a2 Izračunavanje duljina stranica pravokutnog trokuta Izračunajmo duljinu hipotenuze c ako su dane katete pravokutnog trokuta duljina a = 3 cm i b = 4 cm. Pitagorin poučak Prema Pitagorinu je poučku: Napomena: Jednadžba c2 = 25 je kvadratna i njezino je pozitivno rješenje c = 5 cm.

Ako je sjena jednog drveta duga 12 m, a udaljenost vrha drveta do vrha sjene iznosi 20 m, koliko je drvo visoko? Primjena Pitagorina poučka Koliku travnatu površinu imaju na raspolaganju zečevi koji su ograđeni u vrtu kao na slici. Pitagorin poučak Zečevi na raspolaganju imaju 100 m2 travnate površine.

Obrat Pitagorina poučka Ponovimo Pitagorin poučak: U svakom pravokutnom trokutu s pravim kutom pri vrhu C vrijedi c2 = a2 + b2. Vrijedi li obrnuto? Možemo li što zaključiti o trokutu za čije duljine stranica vrijedi c2 = a2 + b2? O tome govori obrat Pitagorina poučka. Obrat Pitagorina poučka Ako je kvadrat najdulje stranice trokuta jednak zbroju kvadrata duljina ostalih dviju stranica, onda je trokut pravokutan. Drugim riječima, ako u trokutu ΔABC čije su duljine stranica a, b, c (c je najdulja stranica) vrijedi c2 = a2 + b2, onda je trokut ΔABC pravokutan s pravim kutom pri vrhu C. Pitagorin poučak Trokut čije su stranice duge 5 cm, 12 cm i 13 cm je pravokutan. Provjeri. Najdulju stranicu označimo kao c. Indijski trokut – trokut sa stranicama duljina 5, 12 i 13 c = 13 cm a = 5 cm b = 12 cm Provjerimo: c2 = a2 + b2 132 = 52 + 122 169 = 25 + 144 169 = 169 Trokut je pravokutan.

Pitagorin poučak