Analýza koeficientu citlivosti v ESO Ing. Katarína Tvrdá Assoc.Prof. Ing. Jozef Dický, PhD.

Úvod V konštrukčnej optimalizácii je konštruktér často čelí veľkej škále problémov. Niektoré konštrukcie, ktoré majú byť optimalizované sú často komplikované, pre získanie dobrých výsledkov sa musia rozdeliť na množstvo malých elementov. Naviac z návrhu premenných vyplýva niekoľko obmedzujúcich funkcií. V takýchto podmienkach cena matematických optimalizačných metód sa stáva neprístupná, rastie s množstvom návrhových parametrov. Vypracované menej drahšie techniky sa preto používajú dlhší čas. Technická optimalizácia – nie je čistá optimalizácia v matematickom chápaní, postup aj napriek tomu dáva dobré výsledky. Začiatok tejto metódy v 70-tich rokoch 20. storočia, spolu s inými metódami konštrukčnej optimalizácie. Namiesto optima funkcie hľadáme optimum hodnôt množstva parametrov použitím novej numerickej metódy.

E S O - Evolučná konštrukčná optimalizácia Predstavili ju v roku 1992 Z. M. Xie a G. P. Steven. Ponúka novú metódu konštrukčnej optimalizácie. Dáva odpoveď, ako jednotlivé predmety získavajú daný tvar či rozmer. Prekonáva množstvo problémov spojených s klasickými technikami. Jednoduchý princíp postupného vytvárania optimálneho tvaru a rozmerov konštrukcie postupným odstránením alebo presúvaním neúčinného materiálu z konštrukcie.

Minimalizovanie hmotnosti dosky redukovaním hrúbky odstraňovanie elementov redukciou hrúbky menej účinných elementov definovanie koeficientu citlivosti na určenie elementov s redukovanou hrúbkou

Mnohonásobné obmedzenie priehybu MKP – pre statickú analýzu v modernom inžinierskom procese KuP (1) Ak hrúbka i-tého elementu je redukovaná zo starej hrúbky h na nasledujúcu menšiu hrúbku (h - h). Zmeny v matici tuhosti konštrukcie  KK iK ih-h- K ih ) (2) kde K ih ) – matica tuhosti prvku pôvodnej hrúbky K ih-h - matica tuhosti toho istého prvku pri redukovanej hrúbke

Pre niektoré konštrukcie sa vyžaduje, že premiestnenie v niekoľkých bodoch bude do predpísaného limitu  uj  uj* (j = 1, m) (3) kde m- celkové množstvo predpísaných priehybov Veľmi jednoduchý spôsob je použitie váhového priemeru očakávaných zmien priehybov s obmedzením v dôsledku redukcie hrúbky elementov (4) Koeficient citlivosti  ij |-u i jT K i u i (5) Koeficient  je pomer aktuálneho priehybu k obmedzujúcemu priehybu v danom bode (6)

Optimalizačný postup Rozdelenie konštrukcie na konečný počet elementov Riešenie statických rovníc rovnováhy (1) pre zadané zaťaženie P a virtuálne jednotkové zaťaženie odpovedajúce všetkým obmedzeniam premiestnení, Výpočet koeficientu citlivosti (6) a váhového priemeru (4) pre každý element Redukcia hrúbok elementov, ktoré majú najnižšiu hodnotu váhového priemeru Opakovanie krokov 2-4, kým nie je porušená platnosť nerovnosti uj  uj* Množstvo elementov prislúchajúcich redukcii hrúbky je určené dĺžkou kroku zmeny hrúbky h a predpísaným stupňom redukcie (PSR), ktorý definuje množstvo (objemu alebo hmotnosti) materiálu, ktoré môže byť odstránené v každej iterácií k celkovému počiatočnému množstvu materiálu. Typická hodnota pre PSR je 1%.

P = 20 kN Príklad Rozmery: 4 x 2 m Singulárna sila: P = 20 k N Youngov modul pružnosti: E = 30 GPa Poissonovo číslo:  = 0,2 h0 : 0,2 m hmin: 0,1 m w0 : 2,22 mm wmax : 3,00 mm Príklad P = 20 kN P A B C

Polovica dosky – v dôsledku symetrie Body optimalizačného postupu Polovica dosky – v dôsledku symetrie w1max =3,00 mm w2max =3,00 mm Rozdelenie konštrukcie na konečný počet elementov

A. Riešenie statických rovníc rovnováhy KuP pre zadané zaťaženie P u i  i =1, 800 prvkov u1 u2 P = 20 kN P = 20 kN P = 10 kN

 i1 |-u i1T K i u i  i2 |-u i2T K i u i B. Riešenie rovníc rovnováhy KujP pre virtuálne 1 zaťaženie odpovedajúce všetkým obmedzeniam premiestnení (priehybu) 1 1 u i1 u i2  i1 |-u i1T K i u i   i2 |-u i2T K i u i  Výpočet koeficientu citlivosti pre každý element i

 i1 |-u i1T K i u i  i2 |-u i2T K i u i Výpočet váhového priemeru koeficientu citlivosti očakávaných zmien priehybov v dôsledku redukcie hrúbky elementov. i = 1 - 800 prvkov m = 2 počet obmedzujúcich podmienok  i1 |-u i1T K i u i   i2 |-u i2T K i u i  koeficient citlivosti indukuje vplyv redukcie hrúbky elementu na u i K iK ih-h - K ih )

Redukcia hrúbky elementu s najnižším číslom váhového priemeru koeficientu citlivosti. Množstvo elementov prislúchajúcich redukcii hrúbky je určené: dĺžkou kroku zmeny hrúbky h predpísaným stupňom redukcie (PSR), ktorý definuje množstvo objemu materiálu, ktoré môže byť odstránené v každej iterácii k celkovému počiatočnému h = 0,05 množstvu materiálu. Typická hodnota pre PSR je 1%. Ak h = 0,1m → 16 elementov znižuje hrúbku Iteračný krok h = 0,1 152,154,156,158,160 112,114,116,118,120, 74, 76, 78 34, 36, 38,

Opakovanie krokov 2-4 kým nie je porušená platnosť nerovnosti u j  u j* w j* = wjmax j = 2 - počet obmedz. podmienok

Typológia 2 hrúbok h = 0,1m h1 = 0,2m h2 = 0,1m V = 79 % V0 Objem: 81 % 19-iter. Objem: 79 % 21-iter. V = 79 % V0 h = 0,1 m w121 =2,96 mm 1 w121 = 2,965 mm< w1max=3,00mm

Typológia 3 výsledných hrúbok h = 0,05m w119 =2,9415 mm h0 = 0,20m h1 = 0,15m h2 = 0,10m V = 81% V0 h = 0,1 m w121 =2,96 mm 1 w119 < w1max w1max=3,00mm

Typológia 5 a 6 výsledných hrúbok h = 0,025m 82 % V0 w118 =2,975 mm h = 0,02 m 83% V0 w117 =2,9244 mm w1 < w1max w1max=3,00mm

Typológia 11 hrúbok h = 0,01m w116 =2,9306 mm h0 = 0,2 m h min = 0,1m V = 84% V0 1 w116 < w1max w1max=3,00mm

História zmeny priehybu v bode 1 PSR = 1%, w0 : 2,22 mm wmax : 3,00 mm

Záver Z prezentovaných obrázkov je vidieť, že od zvolených hodnôt Δh závisí, koľko hrúbok dostaneme. Ak Δh malé, priebeh hrúbok je už skoro spojitý (11 hrúbok). V prípade voľby hrubého kroku Δh = 10 cm je potrebných 21 iterácii na dosiahnutie konečného obmedzenia (16 prvkov). Pre jemnejší krok Δh = 1 cm je potrebných už iba 16 iteračných krokov (160 prvkov). Je to ovplyvnené tým, že pri malom kroku väčší počet prvkov mení hrúbku, hoci pri každej úlohe, iba 1% z pôvodného objemu môže byť zredukované. Pri Δh = 2 cm 80 prvkov redukuje hrúbku v jednom iteračnom kroku.