KRETANJE TELA U SREDINI SA PRIGUŠENJEM – PROBLEM KIŠNE KAPI MATURSKI RAD IZ MODELIRANJA U FIZICI KRETANJE TELA U SREDINI SA PRIGUŠENJEM – PROBLEM KIŠNE KAPI učenik : JELENA ALEKSIĆ mentor : PROF. DR JUGOSLAV KARAMARKOVIĆ

Kišna kap mase m počinje da pada sa neke visine h Na kišnu kap deluje sila teže i sila otpora sredine

OBLIK I VELIČINA KIŠNE KAPI

SATURACIONA BRZINA Na telo koje se kreće kroz atmosferu deluju gravitaciona sila i sila otpora sredine, koje su suprotnog smera Sa povećanjem brzine raste i sila otpora sredine, dok se jednog trenutka ne izjednači sa gravitacionom silom Nakon izjednačenja telo nastavlja da pada konstantnom brzinom, koja se naziva saturaciona brzina

Kišna kap mase m počinje da pada sa visine H Kišna kap mase m počinje da pada sa visine H. Na kišnu kap osim sile teže deluje i sila otpora sredine koja može imati neki od sledećih oblika: Za zadate vrednosti parametara: R, H, b1 , b2,b3,k napisati program koji će na numerički i analiticki način nacrtati odgovarajuće grafike zavisnosti brzine, visine, mase od vremena, brzine od visine, sile otpora od vremena i prikazati ih u programu Origin. Z A D A T A K

ANALITIČKA REŠENJA

Sila otpora proporcionalna brzini tela Na osnovu II Njutnovog zakona, postavljena je diferencijalna jednačina kretanja kapljice kroz vazduh Početna diferencijalna jednačina se može napisati u obliku Ako uvedemo smenu integral na levoj strani se svodi na tablični, pa je opšte rešenje diferencijalne jednačine Konstanta C se dobija iz početnih uslova ( v(0)=0m/s), tako da na osnovu početne jednačine, brzina ima oblik

R=1mm

Sila otpora oblika Kod ovog oblika projekcija II Njutnovog zakona na pravac kretanja tela daje jednačinu Jednačina ovog oblika nema analitičko rešenje

Sila otpora proporcionalna kvadratu brzine tela Diferencijalna jednačina oblika Početna diferencijalna jednačina se može napisati u obliku Integral na levoj strani se svodi na tablični ako se uvede smena Koristeći početne uslove (v(0)=0 m/s) dobijamo sledeću zavisnost brzine od vremena

R=1mm

Upoređivanje analitičkih rešenja

NUMERIČKO REŠENJE

Ojlerov metod numeričke integracije Najprostiji numerički model Potpuno pouzdan za jako male intervale vremena Izvodi se aproksimiraju odnosom konačnih promena odgovarajućih veličina Nužno izabrati konačan korak prireštaja vremena Prednost!!! Dinamika ostaje jasno istaknuta, veza između ubrzanja i sile, brzine i ubrzanja, položaja čestice i brzine, su jasne, štaviše one su srž proračuna Ojlerova aproksimacija Analitičko rešenje

Numeričko rešavanje Za H uzimamo minimalnu visinu kišnih oblaka koja iznosi 1000m Početna brzina je 0 m/s, t=0, a interval Δt=0.01s Jednačine koje opisuju kretanje Ojlerovom metodom integracije

Grafik zavisnosti visine od vremena

Grafik zavisnosti brzine od vremena

Grafik zavisnosti brzine od visine

Upoređivanje numeričkih i analitičkih rezultata

Zavisnost sile otpora sredine u f-ji vremena

Kapljica promenljive mase U realnom slučaju kap gubi masu usled raznih faktora (trenje, spoljašnja temperatura) Ako napravimo pretpostavku da je stopa po kojoj kap isparava srazmerna njenoj površini k- konstanta proporcionalnosti

Postavka problema Osnovna jednačina kretanja

Numeričko rešavanje Ojlerovom metodom zapremina se menja Znajući da je masu računamo kao Masa za koju se smanji kapljica tokom jednog koraka Posmatrane su tri vrednosti za linearni koeficijent k

Grafik zavisnosti brzine od visine Gtafik zavisnosti brzine od vremena Grafik zavisnost visine od vremena Grafik zavisnosti brzine od visine

ZAKLJUČAK Neke probleme je nemoguće rešiti analitičkim putem, njih rešavamo, egzaktno, numerički Najjednostavniji metod numeričkog rešavanja je Ojlerov metod Na telo koje se kreće kroz vazduh, deluju sila teže (gravitaciona) i sila otpora sredine Nakon odredjenog vremena dolazi do izjednačenja sila, i telo nastavlja da se kreće saturacionom (konstantnom brzinom) Fizički oblik sile otpora sredine utiče samo na oblik kriva do dostizanja suturacione brzine. Sa promenom sile otpora menja se vreme pada, i vreme dostizanja saturacione brzine Saturacionu brzinu najbrže dostiže kap na koju deluje sila a najsporije ona na koju deluje Sa povećanjem linearnog koeficijenta k, masa opada brže, a samim tim i brzina, a vreme pada se produžava

Hvala na pažnji