Teoria micilor oscilatii Fie un set de coordonate generalizate Presupunem ca particulele sistemului interactioneaza prin intermediul unui potential conservativ independent de timp: iar constrangerile sun olonome si independente de timp In acest caz Lagrangianul sistemului este: In cazul echilibrului static Expresia fortei generalizate:

Energia cinetica este o functie cuadratica de viteza Ne propunem studiul miscarii in vecinatatea acestei pozitii de echilibru: Introducem mici deplasari de la starea de echilibru: Matrice simetrica Matrice simetrica Lagrangianul sistemului va fi:

Ecuatiile Lagrange capata forma: ecuatie diferentiala cu coeficienti constanti sau in forma matriciala Pentru a rezolva problema generala, cautam o solutie de forma: Cj este complex, insa ηj este real, deoarece Vjk si Tjk sunt matrici reale Ecuatiile Lagrange devin: ≡ Sistemul are solutiii netriviale daca determinantul coeficientilor se anuleaza

Ecuatie caracteristica ! (polinom de gradul n in ω2) Valorile proprii Vectori proprii ce pot fi calculati rezolvand sistemul prin metoda eliminarii a lui Gauss sau alta aprox. Determinand radacinile ecuatiei caracteristice, solutia generala va fi o combinatie a solutiilor particulare

Utilizand vectorii proprii Cj putem construi urmatoarea matrice: astfel incat: Definim coordonatele normale si pe componente

Exemplificari: Observam faptul ca aceste ecuatii nu sunt cuplate !! Fiecare coordonata normala oscileaza independent cu unde Ai si Bi se determina din conditiile initiale Exemplificari: Un sistem este in echilibru stabil cand energia sa potentiala V(q) este minima. Scotand sistemul din starea sa de echilibru stabil, apare o forta restauratoare care tinde sa readuca sistemulin starea de echilibru Notam cu q0 coordonata generalizata corespunzatoare starii de echilibru In cazul deviatiilor mici: pozitia de zero este poz. de echillibru nu exista forte exterioare

notam Lagrangianul pentru oscilatorul armonic liniar va fi: Ecuatia Lagrange devine: Solutia ecuatiei este de forma: Deoarece: Solutia ecuatiei se poate pune sub forma: unde

Deseori se utilizeaza: Amplitudine complexa Energia sistemului supus unor mici oscilatii este: Pentru un sistem cu n grade de libertate:

Cazul pendulului dublu Energia potentiala este: Energia cinetica este: Ecuatiile Lagrange

Cuplarea oscilatorilor armonici Ecuatiile cuplate sunt de forma: Solutiile x1(t) si x2(t) in reprezentarea modului normal sunt ecuatia matriciala in mod normal va fi: Frecventele proprii vor fi: Introducem frecventa proprie ω+ in ecuatia matriciala si obtinem: Frcventa proprie ω+ este asociata cu miscarea cuplata antisimetric Introducem frecventa proprie ω- in ecuatia matriciala si obtinem: Frcventa proprie ω- este asociata cu miscarea cuplata simetric

Construim coordonatele normale , care satisfac conditia: ceea ce inseamna: Solutia η±(t) este de forma: unde A± si φ± sunt constante determinabile din conditiile initiale In mod explicit solutia generala a ecuatiei este

Oscilatori cuplati neliniar Lagrangianul sistemului este: Ecuatiile de miscare cuplate neliniar sunt: Dezvoltand ecuatiile in jurul pozitiei de echilibru θ1=0=θ2 obtinem doua ec. cuplate liniar: unde

Forma matriciala a modului normal asociat este: Polinomul caracteristic este de forma: Frecventele proprii vor fi: Coordonatele normale vor fi: unde A± si B± sunt constante determinabile din conditia: Pentru frecventa proprie adica pozitia centrului de masa al sistemului

Pentru frecventa proprie Acum putem obtine usor: unde sunt solutiile ecuatiilor modului normal

Oscilatii armonice fortate Daca asupra unui sistem oscilant actioneaza o forta exterioara slaba , spunem ca oscilatiile sistemului sunt fortate. Prezenta fortei exterioare implica existenta unui potential suplimentar Ve(x,t) Forta ext. ce actioneaza asupra sistemului in pozitia de echilibru Lagrangianul sistemului devine: Ecuatia de miscare corespunzatoare: = frcventa proprie de oscilatie Solutia generala a ecuatiei: Studiem cazul particular: O solutie particulara ar putea fi:

Inlocuind xp in ecuatia de miscare, rezulta imediat ca: Solutia generala devine: Este o suprapunere de doua oscilatii: una cu frecventa proprie si cealalta cu frecventa fortei ext. Ecuatia de miscare poate fi integrata pentru orice F(t), daca:

Integrand: Notand

Oscilatii amortizate In prezenta efectelor disipative (mediu vascos), reactia mediului poate fi imaginata in termenii fortelor de frecare. Cand sunt mici , acesti termeni pot fi dezvoltati in serie dupa viteze, termenul de ordin zero fiind nul ( deoarece forte frecare nu se manifesta asupra corpurilor in repaus) x=coord. generalizata α= costanata pozitiva Ecuatia de miscare capata forma:

Notam: β= coeficient de atenuare (damping) Ecuatia de miscare devine: Cautam o solutie de tipul : Pentru Cazuri particulare: Oscilatia atenuata este ooscilatie armonica cu o amplitudine descrescand exponential Fracventa de oscilatie este mai mica decat ω02.

Miscare monotona, amplitudinea scade asimptotic (t→∞), tinzand catre pozitia de echilibru. Miscare aperiodica

Generalizand pentru n grade de libertate =functie disipativa deoarece Ecuatia diferentiala a miscarii devine: Cautam o solutie de forma: Ecuatia caracteristica

Oscilatii amortizate in medii disipative Daca atunci

Daca Cautam solutii de forma: unde Daca