Dinamika tekućina -Zakon očuvanja količine gibanja se izvodi iz općeg zakona održanja polja Opći zakon održanja polja se može primijeniti na fizikalnu veličinu količine gibanja koja je definirana s produktom mase i brzine Označimo (vektorsko) polje količine gibanja sa φ i neka na promatrani volumen djeluju općenito vanjske sile F1….Fn Masene sile poput gravitacije mogu se kvantificirati gradijentom potencijala (npr. gravitacioni potencijal). Povšinske sile su kontaktne sile koje se mogu razložiti na normalnu i posmičnu komponentu.

Zakon očuvanja količine gibanja Primjeri Ukupna promjena količine gibanja mase tekućine u volumenu V u jedinici vremena jednaka je sumi svih vanjskih sila koje su u istom intervalu vremena djelovale na tekućinu u promatranom volumenu Mehaničke sile koje mogu djelovati na tekućinu su već ranije nabrojene: masene (inercija, gravitacija) površinske (trenje, tlak)

Djelovane sila izražava se površinskim naprezanjima. U Kartezijevom sustavu pojavljuje se simetrični tenzor naprezanja s 3 člana normalnih naprezanja (dijagonalni članovi) i 6 članova tangencijalnog naprezanja.

PRIMJER br 1. Odredite silu kojom voda djeluje na poluotvorenu ustavu po metru širine ispod koje teče količina vode Q. (Strujanje je stacionarno, ρ=const., trenje zanemarujemo.)

PRIMJER br. 1 Protok je samo kroz plohe A1 i A3

PRIMJER br.1

Odredite silu tekućine na savinutu cijev prema skici. PRIMJER br 2. Odredite silu tekućine na savinutu cijev prema skici. Strujanje je stacionarno, nestlačiva idealna tekućina.

PRIMJER br 2. (stacionarnost) (nestišljivost)

Odredite silu mlaza tekućine na vertikalnu stjenku zida prema slici PRIMJER br 3. Odredite silu mlaza tekućine na vertikalnu stjenku zida prema slici sila težine: Gx=0 sila tlaka: P1=0 i P2=0 (jer je u presjecima 1-1 i 2-2 atmosferski tlak) trenje zanemarujemo: T=0 reakcija: Rx=R=-P0 pa je –ρQv1=-P0 Promjena količine gibanja: Film:Flyboard Family Official

BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA ZA STACIONARNO TEČENJE IDEALNE TEKUĆINE Eulerova dinamička jednadžba za tečenje bezviskozne (idealne) tekućine Bernoullijeva jednadžba

PRIMJERI KORIŠTENJA BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE Voda teče kroz stepenicu u otvorenom kanalu. Prije stepenice izmjerena je dubina vode od 2 m i brzina 3 m/s, a iza stepenice 1 m i 10 m/s. Zanemarujući trenje odrediti visinu stepenice. Usvojit će se da je visina stepenice y, a izabrana referentna ravnina je dno dubljeg kanala onda za točke 1 i 2 na istoj strujnici vrijedi Bernoullijeva jednadžba:

PRIMJERI KORIŠTENJA BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE

PRIMJERI KORIŠTENJA BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE Odredi brzinu istjecanja iz otvora u vertikalnom zidu vodospreme prema slici. Izračunajte protok

PRIMJERI KORIŠTENJA BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE Ova jednadžba se naziva TORRICELLIJEV-a jednadžba

STRUJANJE REALNE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje Strujanje realne tekućine oko krutog tijela ili uzduž njegovih krutih granica uzrokuje djelovanje sila na to tijelo. Te sile su otpori strujanju tekućine i dijele se na dvije komponente: Otpori trenja uslijed tangencijalnih naprezanja (djeluju uzduž kontaktne površine tekućine i krutog tijela) Otpor oblika uslijed normalnih naprezanja (djeluju okomito na kontaktne površine) (Navier –Stokesova jednadžba)

Coriolisov koeficijent Coriolisov koeficijent α predstavlja korekciju kinetičke energije presjeka izračunate preko srednje brzine koji se uvodi zbog nejednolikog rasporeda brzine u poprečnom presjeku toka. Koeficijent α ima vrijednost α ≥ 1, a u hidrotehničkoj praksi se za otvorena korita najčešće usvaja α = 1,1. Coriollisov koeficijent α pri laminarnom strujanju u cijevima α = 2 Empirijske vrijednosti Coriollisov-og koeficijenta α pri turbulentnom strujanju: Coriollis-ov koeficijent α (najčešće α=1,1- 1,25)

PRORAČUN GUBITAKA ENERGIJE hTR Vrste hidrauličkih gubitaka Prilikom primjene Bernoullijeve jednadžbe za proračun tečenja realne tekućine treba znati kako se određuju gubici energije koje smo u jednadžbi samo simbolički označili sa htr Gubici energije htr zbog savladavanja hidrauličkih otpora sastavljeni su od: gubitaka tlaka za savladavanje viskoznih sila po duljini toka, proporcionalni su duljinama pojedinih odsjeka, a zovu se linijski gubici hl b) lokalnih gubitaka energije hlok koji nastaju zbog lokalnih otpora (ventili, suženja ili proširenja, promjena pravca i sl.) Nikuradze -ov diagram

PRORAČUN GUBITAKA ENERGIJE hTR Ukupni gubitak energije je zbroj: Eksperimentalno određivanje gubitaka energije: - Iz jednadžbe za lagano promjenjivo tečenje treba izmjeriti visine (z1-z2), očitati razliku piezometara i brzinskih visina

PRORAČUN GUBITAKA ENERGIJE hTR - ako imamo jednoliki tok u horizontalnoj cijevi: (treba imati samo dva piezometra – na početku i na kraju) - Obično se gubici energije izražavaju u odnosu na brzinsku visinu v2/2g tj. gdje je K (ξ ) koeficijent gubitka energije i pokazuje koliki se dio brzinske visine troši na savladavanje otpora.

STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje Prvo će se analiziraju situacije strujanja između dvije međusobno beskonačno široke i paralelne ploče. U prvom slučaju gornja ploča se pomiče konstantnom brzinom VB te nema uzdužnog gradijent tlaka –dp/ds = 0 (Couette strujanje). Raspodjela tangencijalnih naprezanja i brzine dobiva se temeljem Navier –Stokesove jednadžbe za jednoliko i stacionarno strujanje te primjenom zakona o očuvanju količine gibanja direktno na kontrolni volumen. Obzirom da je –dp/ds = 0 (Couette-ovo strujanje) dobiva se jednakost d /dy = 0 što znači da su posmična naprezanja  konstantna

STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje Pri laminarnom strujanju Newton-ove tekućine posmična naprezanja su definirana linearnim odnosom prema gradijentu brzine. Uz rubne uvjete na kontaktu gornje i donje ploče sa tekućinom y = 0  u = 0 ; y = B  u = VB te nakon integracije dobiva se linearni profil brzina i konstantna vrijednost posmičnog naprezanja:

STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje U drugom slučaju obje ploče su nepomične i položene pod kutem  u odnosu na horizontalu te postoji uzdužni gradijent tlaka – dp/ds  0 (Poiseuille strujanje). Primjenom zakona o očuvanju količine gibanja na kontrolni volumen dobiva se jednadžba: (to će reći da je zbroj gradijenta tlaka (pad piezometarske linije), trenja i pad energije položaja jednak nuli) Iz geometrijskog odnosa sin = - dz/ds slijedi jednakost:

STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje Desna strana jednadžbe predstavlja gradijent piezometarske linije s oznakom GP a za Newtonovu tekućinu  =  (du/dy): GP = -gIP =  (d2u/dy2) Uz rubne uvjete na kontaktu gornje i donje ploče sa tekućinom y = 0 ; y = B  u = 0 te nakon integracije dobiva se parabolični profil brzina i linearna raspodjela posmičnih naprezanja: Maksimalna brzina je u osi (y = B/2) umax = -GPB2/8 a srednja brzina iznosi V=2/3*umax

Navier – Stokesova jednadžba za laminarno strujanje realne tekućine

Granični sloj se nalazi između krute granice i slobodnog toka. Strujanje u graničnom sloju obilježeno je karakteristikama realne-viskozne tekućine dok se područje izvan graničnog sloja (slobodni tok) može shvatiti i kao bezviskozno odnosno strujanje idealne tekućine. U području graničnog sloja brzina strujanja je u funkciji vertikalne udaljenosti od krute ploče u(y). Debljina graničnog sloja  se povećava uzduž ploče u()=0,99U0.

Laminarni podsloj

Strujanje u graničnom sloju je nejednoliko i razvija se uzduž smjera strujanja. Analizira se slučaj ravne i tanke ploče u mirovanju te tekućine sa brzinom pristrujavanja U0. Razvija se granični sloj između ploče i područja u kojem je profil brzina još uvijek neporemećen (slobodni tok).

STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj U graničnom sloju moguća je pojava laminarnog i turbulentnog strujanja. Na početku ploče pojavljuje se laminarni granični sloj a u nastavku strujanja inicira se nestabilnost i turbulencija. Između zone laminarnog i turbulemntnog strujanja pojavljuje se i dionica tranzicije. Za karakterizaciju graničnog sloja definira se i lokalni Reynolds-ov broj temeljem udaljenosti od početka ploče Rex = U0x /. Gradijent tlaka na području vanjskog toka je dp/dx = 0. Debljina graničnog sloja je vrlo mala  tlak u graničnom sloju je konstantan. Debljina graničnog sloja ovisi o  = (x, U0, , ) odnosno  = (t,).

HIDRAULIČKI GLATKE I HRAPAVE STIJENKE Površina stijenke koja omeđuje tok tekućine u strujanju ima neku hrapavost koja ovisi o materijalu, obradi i načinu eksploatacije Srednja visina neravnina stijenke Δ (mm) zovemo apsolutnom hrapavošću Odnos Δ prema linearnoj dimenziji živog presjeka zovemo relativnom hrapavošću. Npr. kod kružnih cijevi promjera Δ/D

STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – realna tekućina U slučaju stacionarnog i jednolikog strujanja zadovoljen je uvjet ravnoteže sila u smjeru osi cijevi (“s”) između sila tlaka, težine i naprezanja po plaštu cilindra: Doprinos tlačnih sila Nakon sređivanja se dobiva: Posmična naprezanja duž toka su konstantna neovisno da li je strujanje laminarno ili turbulentno. Doprinos posmičnih naprezanja (gubici od trenja) Doprinos promjene položaja (težina- djeluje u smjeru z osi) Gp =Gradijent tlačne linije (gubici od trenja)