לוגיקה למדעי המחשב1

תורת הקבוצות חלק א'

קבוצות - דוגמאות B = {4,6,8} }טכניון, אוניברסיטת חיפה} = C N = {0,1,2,…} קבוצת המספרים הטבעיים האי שליליים. איברים של קבוצות יכולים להיות גם קבוצות ! המספרים 4,6,8 הם איברים של הקבוצה B. נסמן: 8B, 6B, 4B

שייכות באופן כללי נכתוב: aA. "a שייך ל- A" כדי לציין את העובדה ש- a הוא איבר בקבוצה A. אם a אינו איבר של A נרשום: aA, או: (aA) לדוגמא: 3  {4,6,8} = B

קבוצות - סימונים אם P(x) פרדיקט (תכונה) כלשהו, אזי: {x : P(x)} מסמן קבוצה. איבר a שייך לקבוצה זו אם ורק אם P(a), כלומר a מקיים את התכונה P. a  {x : P(x)}  P(a) B = {x : x =4  x = 6  x = 8}

בקבוצה כל איבר מופיע פעם אחת בלבד. {a,a,b,2,2,3,3,3,} = {a,b,b,2,2,2,3,3} = {a,b,2,3} מספר האיברים השונים בקבוצה יכול להיות סופי או אינסופי, ובהתאם הקבוצה נקראת סופית או אינסופית. B = {4,6,8} היא קבוצה סופית. N = {0,1,2,… } היא קבוצה אינסופית.

דוגמא D = {a,{1,2},b,{5}} שים לב: {5}  D אך: 5  D

הכלה הגדרה: קבוצה A היא קבוצה חלקית או תת-קבוצה של הקבוצה B אם כל איבר של A הוא איבר של B. מסמנים: A  B {{5}}  D = {a,{1,2},b,{5}}אך {{5}}  D {1,2}  {1,2,3}  N {{1,2}}  {{1,2},{2,3}} {1,2}  {{1,2},{2,3}}

הכלה - תכונות תמיד מתקיים: A  A x  A  x  B x  B  x  C אם A  B וגם B  C , אזי A  C x  A  x  B x  B  x  C x  A  x  C

קבוצות שוות הגדרה: שתי קבוצות נקראות שוות אם הן מכילות אותם איברים A = B אם ורק אםA  B וגם B  A

הכלה ממש הגדרה: הקבוצה A היא קבוצה חלקית ממש של הקבוצה B אם A  B אך A  B . מסמנים: .A  B {2} {2}  {1,2} {1,2,3}  

הכלה - תכונות אםB ,A אזי A  B . אם A  B ו- ,B  C אזיA  C .

הקבוצה הריקה הגדרה: הקבוצה שלא מכילה אף איבר נקראת קבוצה ריקה ומסומנת .  = { x : x  x} עבור כל קבוצה A מתקיים   A .   {}

קבוצת החזקה הגדרה: תהי A קבוצה. קבוצת כל הקבוצות החלקיות של A נקראת קבוצת החזקה של A וסימונה P(A) או 2A: P(A) = { x : x  A } P() = {} P({}) = {,{}} P({1,2}) = {,{1},{2},{1,2}} P({1,2,3}) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

עוצמה של קבוצה תהי A קבוצה סופית. נסמן ע"י |A| את מספר האיברים של A. || = 0 |{}| = 1 |{1,2,…,n}| = n טענה: .|2A| = 2|A|

פעולות על קבוצות

חתוך הגדרה: החתוך של שתי קבוצות A ו- B היא הקבוצה המכילה את כל האיברים השייכים לכל אחת משתי הקבוצות. נסמן קבוצה זו ע"י A  B. A  B = {x | xA  xB}

חתוך - תכונות מתקיים: A  B = B  A A   =  A  A = A (A  B)  C = A  (B  C) A  B A  B = A .

איחוד הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A ו- B היא הקבוצה המכילה את כל האיברים השייכים לאחת משתי הקבוצות. נסמן קבוצה זו ע"י A  B. A  B = {x | xA  xB}

איחוד - תכונות מתקיים: A  B = B  A A   = A A  A = A (A  B)  C = A  (B  C) A  B  A  B = B.

דוגמא אם A = {1,2,4,{1,2}} ו- B = {,2,{1,2}}, אזי A  B = {2,{1,2}}

תכונות חוקי הדיסטריביוטיביות: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

יחס ההכלה A  A  B A  B  A B  A  B C  A, C  B C  B  C

הפרש הגדרה: מהשלים היחסי (הפרש) של B ב- A היא הקבוצה המכילה את כל האיברים ששיכים ל- A ולא שייכים ל- B. נסמן קבוצה זו ע"י A \ B. A \ B = { x : x  A  x  B } מתקיים A \ B= A \ (A  B)

A  B = (A \ B)  (B \ A) = { x | xA  xB } הפרש סימטרי הגדרה: ההפרש הסימטרי של A ו- B מסומן ע"י A  B ומוגדר ע"י A  B = (A \ B)  (B \ A) = { x | xA  xB } נחזור לדוגמא הקודמת: ,A = {1,2,4,{1,2}} B = {,2,{1,2}}. A \ B = {1,4} B \ A = {} A  B={,1,4}

תכונות של הפרש סימטרי מתקיים A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  B  (A  B) = A  B

משלים הסכם: נניח שכל הקבוצות הנידונות הן קבוצות חלקיות של קבוצה E (קבוצה אוניברסלית). עבור הקבוצה A (E ) נגדיר את המשלים של A (ל-E ) המסומן ב- A ע"י A = E \ A מתקיים: _ _ _ _ A  A = E A  A =  E =   = E A  B = A  B A  B = A  B _ _ _____ _ _ _____ _ _

יחסים (רלציות) סדרה של שתי קבוצות x ו- y נקראת זוג (סדור) ומסומנת הערה: (x,y)  (y,x) (x,y)  {x,y} (x,x)  {x} ניתן להגדיר את (x,y) כ- (x,y)= {{x},{x,y}}

מכפלה קרטזית הגדרה: המכפלה (הקרטזית) של שתי קבוצות A ו- B, מסומנת ע"י A  B היא קבוצה של כל הזוגות (a,b) כך ש- a  A וגם b  B. A  B = { (a,b) : a  A  b  B }

דוגמא A   =  A  B  B  A (A  B)  C  A  (B  C) (A  B)  C = (A  C)  (B  C)

יחסים הגדרה: יחס (בינארי) בין הקבוצות A ו- B הוא קבוצה חלקית של .A  B עבור יחס R  A  B נכתוב aRb אם.(a,b)  R

< = { (i,j) : i< j }  N  N דוגמא < = { (i,j) : i< j }  N  N (2,11)  < או 2 < 11 <הוא יחס בינארי מעל N. הגדרה: יחס בינרי על קבוצה A הוא קבוצה חלקית של .A  A

יחסים בקבוצות הגדרות: יהי R יחס על A, כלומר R  A  A R יקרא רפלקסיבי אם עבור כל x  A מתקיים xRx R יקרא סימטרי אם עבור כל x,y  A xRyגורר yRx R יקרא טרנזיטיבי אם עבור כל x,y,z  A xRy ו- xRz גוררים xRz

יחס שקילות הגדרה: יחס בינרי יקרא יחס שקילות אם הוא רפלסקיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. יהי ~ יחס שקילות מעל קבוצה X ויהי x איבר של X. מחלקת השקילות של x, מסומנת ע"י [x] היא הקבוצה [x] = { y : y ~ x}

תכונות x  [x] [x]  X X =  [x] xX

טענה: אם x ~ y אזי [x] = [y]. הוכחה: מספיק להוכיח כי אם z  [x] אזי z  [y]. הגדרה z ~ x z  [x]  טרנזיטיביות z ~ x  x ~ y  z ~ y הגדרה  z  [y] z ~ y

טענה: אם y ~ x , אזי [x]  [y] = . הוכחה: נניח בשלילה כי קיים z  [x]  [y]. אזי z ~ x וגם z ~ y. x ~ z לכן, לפי טרנזיטיביות x ~ y, בסתירה עם ההנחה. / סימטריות 

{ (x-y) מתחלק ב- n | (x,y)} n = דוגמא יהי n  0 מספר שלם. נגדיר יחס n מעל המספרים השלמים ע"י x n y  n|(x – y) או { (x-y) מתחלק ב- n | (x,y)} n = n הוא יחס שקילות.

סימון (תזכורת) N = {0,1,…} Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}

~  (Z  (Z \ {0}))  (Z  (Z \ {0})) דוגמא נגדיר יחס ~ מעל הקבוצה(Z \ {0}) Z  באופן הבא: (a,b)~(c,d)  ad = bc ~  (Z  (Z \ {0}))  (Z  (Z \ {0}))

טענה: ~ הוא יחס שקילות. הוכחה: הרפלקסיביות והסמטריות של ~ נובעות מיידית מן ההגדרה. נוכיח את הטרנזיטיביות. נתון (a,b) ~ (c,d) ו- (c,d) ~ (e,f), וצריך להוכיח כי .(a,b) ~ (e,f)

נבדיל בין המקרים c = 0 ו- c  0: (c,d) ~ (e,f) (a,b) ~ (c,d)   cf = de ad = bc נבדיל בין המקרים c = 0 ו- c  0: :c = 0 אזי a = e =0ולכן (= 0) af = be. :c  0 אזי adcf = bcde. משום ש- d  0 ו- c  0, מתקיים af = be. כלומר, .(a,b) ~ (e,f)

התאמה חד-חד ערכית הגדרה: יחס R  A  A הוא התאמה חד-חד ערכית אם לכל a  A קיים bB יחיד כך ש- (a,b)  R ולכל b  B קיים a  A יחיד כך ש- (a,b)  R.

דוגמא נגדיר .2N = {0,2,4,…} אזי היחס {(i,2i) : I = 0,1,… }  N  2N הוא התאמה חד-חד ערכית.

דוגמא נוספת נגדיר .N' = {0,1,4,9,…} אזי היחס {(i, i2) : I = 0,1,… }  N  N' הוא התאמה חד-חד ערכית.

{ ((i,j), 2i(2j+1) – 1) : i,j = 0,1,2,… }  (N  N)  N דוגמא נוספת היחס { ((i,j), 2i(2j+1) – 1) : i,j = 0,1,2,… }  (N  N)  N הוא התאמה חד-חד ערכית.

.R3 = { (a,c) : b((a,b)  R1  (b,c)  R2 } הוכחה: תהיינהR1  A  B ו- R2  B  C התאמות חד-חד ערכיות. נגדיר R3  A  C ע"י .R3 = { (a,c) : b((a,b)  R1  (b,c)  R2 }

(a,b) = { x : a < x < b } הגדרות נגדיר את הקבוצות הבאות של מספרים ממשיים: [a,b] = { x : a  x  b } (a,b) = { x : a < x < b } [a,b) = { x : a  x < b } (a,b] = { x : a < x  b } a ו- b יכולים להיות  (ואז הסוגר הוא '(' או ')' בהתאמה).

(-,) = R(קבוצת המספרים הממשיים) דוגמאות (-,) = R(קבוצת המספרים הממשיים) [a,a] = {a} [2,1) = 

{ (x,tg x) : x  (-/2,/2) }  (-/2,/2)  R דוגמאות { (x,2x) : x  [0,1] }  [0,1]  [0,2] הוא התאמה חד-חד ערכית. { (x,tg x) : x  (-/2,/2) }  (-/2,/2)  R

דוגמא נסמן ע"י {0,1} את קבוצת כל הסדרות האינסופיותשל '0‘ ו- '1'. קיימת כהתאמה חד-חד ערכית בין {0,1} לבין 2N: תהי }  N…I = {i1,i2, ותהי {0,1}  = a1,a2,…. נגדיר את ההתאמה {0,1} f  2N  באופן הבא: (I,)  f אם ורק אם מתקיים התנאי i  I  ai = 1, i = 0,1,…

דוגמא נבנה התאמה חד-חד ערכית בין [0,1] לבין {0,1} שים לב: למספר 0.1 יש שתי הצגות: 0.1 ו- ...0.0111111. אם הסדרה α אינה מסתיימת בסדרת אפסים או אחדות, אזי ל- α מתאים מספר α.0, ל- 1 מתאים 1 ול- 0 מתאים 0. נשאר למצא התאמה חד-חד ערכית בין הקבוצות {0,1}*10 שאיבריה מתאימים לאחת מן ההצגות של מספרים שמסתיימים בסדרת האפסים ו- {0,1}*10  {0,1}*01 .

- 1) a1a2an  (a1 - 1)(a2 - 1)(an {0,1}*10  {0,1}*01 {0,1}*10   {0,1}*1  {0,1}*0 {0,1}*1 נגדיר התאמות: {0,1}*1  N ע"י a1a2an  ai2i - 1 ו- {0,1}*1  {0,1}*0 ע"י - 1) a1a2an  (a1 - 1)(a2 - 1)(an n i = 1

     {0,1}*10  {0,1}*01 {0,1}*10 N N N N  {1} N  {0} {0,1}*10  {0,1}*01 {0,1}*10    N N N   N  {1} N  {0} (n,1)  2n – 1 (n,0)  2n