napravili: Amalija Huzanić i Tin Petrović, 1.a MATEMATIČKI SUDOVI napravili: Amalija Huzanić i Tin Petrović, 1.a

OPĆENITO O SUDOVIMA Sud (izjava) je suvisla deklarativna rečenica koja se u pogledu istinitosti podvrgava načelu isključenog trećeg, tj. ona je ili istinita ili neistinita, ali ne i oboje. Najvažnije vrste matematičkih sudova su aksiomi, postulati i teoremi.

Osnovne logičke operacije sa sudovima su: negacija (), disjunkcija (V), konjunkcija (Λ). Tablice istinitosti operacija su: A ¬A T  A  A Λ  T  A B A V  T 

O AKSIOMU Aksiom (praistina) je osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koja se smatra istinitom i ne dokazuje se. Pojam i naziv nastaju u starogrčkoj matematici. Primjeri aksioma: Cjelina je veća od dijela Ako se jednakim stvarima dodaju jednake stvari i cijeline su jednake V. aksiom o paralelama: Točkom izvan pravca može se povući jedinstven pravac paralelan s tim pravcem

O POSTULATU Postulat je polazna tvrdnja koja se također uzima bez dokaza. Postulat obično izražava neki uvjet koji treba zadovoljavati neki pojam ili neki odnos među pojmovima. Danas često u matematici izjednačavamo aksiome i postulate pa često govorimo npr. o (aksiomima površine ili o postulatima površine).

O TEOREMU Teorem (poučak, stavak) je matematička izjava čija se istinitost utvrđuje dokazom. Obično se misli na istinitu izjavu koja može biti lažna. U formulaciji teorema razlikuju se dva dijela: pretpostavka (hipoteza) P i tvrdnja (teza) Q. Pretpostavka je jedna ili više izjava koje se smatraju istinitima, a tvrdnja je izjava koju treba dokazati. Primjeri: 1. Dijagonale romba su okomite. P: Četverokut je romb. Q: Dijagonale romba su okomite.

2. Zbroj kutova u trokutu je 180°. P: Dani poligon je trokut. Q: Zbroj kutova mu je 180°. 3. √2 je iracionalan broj. P: Broj je √2. Q: Dani je broj iracionalan. Mnogo je lakše otkriti strukturu teorema ako je dan u formi “ako je...tada je...” Teoreme iz prethodnih primjera zapišimo u tom obliku.

1. Ako je dani četverokut romb, onda su njegove dijagonale okomite. 2. Ako je dani poligon trokut, tada mu je zbroj kutova 180°. 3. Ako je promatrani broj √2, tada je on iracionalan broj.

OBRAT TEOREMA Uz svaki teorem oblika PaQ vezujemo izjavu oblika QaP, koju nazivamo obratom teorema. Obrat teorema ne mora biti istinita tvrdnja. No, ako je i obrat teorena teorem, tj. istinita tvrdnja, tada ta dva teorema vrlo često zapisujemo kao izjavu oblika PnQ i čitamo “P je ako i samo ako je Q”. Primjeri: 1. Ako su dijagonale četverokuta okomite, tada je on romb. Ova tvrdnja nije istinita. Protuprimjer je deltoid koji nema sukladne stranice. 2. Ako je zbroj kutova u poligonu jednak 180°, taj je poligon trokut. Ovo je istinita tvrdnja.

DOKAZI

DOKAZI Dokaz teorema PaQ u nekoj teoriji je takav konačan niz tvrdnji Q1, Q2,...,Qn=Q te teorije u kojem je svaka tvrdnja ili aksiom ili je dobivena iz prethodno dokazanih tvrdnji tog niza po nekom pravilu zaključivanja, te posljednja tvrdnja niza je tvrdnja Q. Dokazivanje poučaka se koristi u nastavi matematike. Dok uči dokazivati tvrdnje, učenik uči rasuđivati, što je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike. Učenik koji se u budućnosti neće baviti matematikom kao znanošću, mora znati rasuđivati u raznim situacijama svakodnevnog života.

VRSTE DOKAZA Razlikujemo dvije vrste dokaza: direktni i indirektni dokazi. 1. DIREKTNI DOKAZI: Polazimo od pretpostavke P, primjenom aksinoma, definicija i ranije dokazanih teorema, nizom pravilnog zaključivanja dolazimo do tvrdnje Q. Primjer: Dokažimo teorem: Umnožak dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je paran broj. 1. Neka je a paran broj. Tada je a oblika a= 2k, k je element N. Tada je umnožak a(a+1) jednak a(a+1)=2k(2k+1), što je očito djeljivo s 2, jer je oblika 2m, gdje je m=k(2k+1) prirodan broj.

2. Neka je a neparan broj, tj. oblika a = 2k-1, k je element N 2. Neka je a neparan broj, tj. oblika a = 2k-1, k je element N. Tada je a(a+1)=(2k-1)(2k)=2k(2k-1) što je opet paran broj.

2. INDIREKTNI DOKAZI: Indirektni dokaz tvrdnje PaQ sastoji se u nastojanju da se dokaže da suprotna tvrdnja ¬Q nije istinita. Među indirektnim dokazima dva su koja se vrlo često primjenjuju: dokaz po kontrapoziciji i dokaz svođenjem na kontradikciju. Dokaz po kontrapoziciji zasniva se na ekvivalenciji sudova PaQ i ¬Q. U dokazu po kontrapoziciji, pretpostavljamo da vrijedi tvrdnja ¬Q, te nizom logičkih koraka dolazimo do istinitosti tvrdnje ¬P. Primjer (školska matematika): Ako je a paran broj, tada je i broj a paran. Dokaz: Pretpostavka P teorema glasi: Broj a je paran, a tvrdnja Q teorema glasi: Broj a je paran.

Pretpostavimo da vrijedi ¬Q: Broj a nije paran Pretpostavimo da vrijedi ¬Q: Broj a nije paran. Treba dokazati da vrijedi ¬P: Broj a nije paran. Ako a nije paran, tada je on oblika a=2k-1, k je element N. Tada je a=4k-4k+1=2(2k-2k)+1, tj. a je neparan, što je i trebalo dokazati. Dokaz svođenjem na kontradikciju (reductio ad apsurdum) zasniva se na ekvivalencijama sudova PaQ i (PΛ¬Q) a (AΛ¬A) ili PaQ i (PΛ¬Q) a F, gdje je s F označen neistinit (false) sud. Pretpostavljamo da vrijedi tvrdnja PΛ¬Q, te nizom logičkih koraka dolazimo do neke tvrdnje koja je lažna ili do situacije da istovremeno vrijede i neka tvrdnja A i njezina negacija ¬A.   

Primjer: Dokažimo da se broj 101010 ne može predstaviti u obliku razlike kvadrata dva prirodna broja. Dokaz: Predpostavimo da vrijedi ¬Q, tj. da postoje dva prirodna broja a i b takvi da je a-b=1010101. Tada je 101010=(a-b)(a+b). Budući da 2 dijeli 101010, slijedi da 2 dijeli i umnožak (a-b)(a+b). Budući da je 2 prost broj on dijeli ili broj a-b ili broj a+b. Brojevi a-b i a+b su brojevi iste parnosti (ili oba parna ili oba neparna), pa su u ovom slučaju oba parna. No to znači da je umnožak (a-b)(a+b) djeljiv s 4. Sad slijedi da je i broj 101010 djeljiv s 4, a to je neistinita tvrdnja. Dokazali smo da iz PΛ¬Q slijedi F: “Broj 4 dijeli 101010.”, tj. došli smo do kontradikcije.