Fibonacciho postupnosť a zlatý rez RNDr. Marta Mlynarčíková Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku mmlynarcikova@post.sk www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova

Taliansky matematik Fibonacci (1170 - 1230), pravým menom Leonardo Pisano, sa preslávil svojou knihou "Liber abacci", v ktorej zhrnul všetky vtedajšie znalosti o aritmetike a algebre. Bola to v Európe jedna z prvých kníh, ktorá učila používať desiatkové sústavy. Vtedajšie matematické znalosti objasňoval na mnohých úlohách, z ktorých sa úloha o králikoch zapísala do histórie matematiky tým, že dala podnet k vybudovaniu tzv. teórie Fibonacciho čísel. Pôvodným problémom, ktorý Fibonacci skúmal (v roku 1202), pojednával o tom, ako rýchlo sa králiky dokážu v ideálnych podmienkach rozmnožovať. Predpokladajme čerstvo narodený pár králikov, jedného samčeka, jednu samičku vypustených na pole. Králiky sú schopné mať potomstvo vo veku jedného mesiaca, takže na konci svojho druhého mesiaca môže samička "vyprodukovať" ďalší pár zajacov. Predpokladajme, že naše králiky nikdy nezahynú a že samička stále vyprodukuje jeden nový pár (jedného samčeka a jednu samičku) každý mesiac počnúc druhým mesiacom. Otázka znie: "koľko králikov bude na poli o rok?"

Je zrejmé, že: na konci prvého mesiaca bude pár iba jeden na konci druhého mesiaca samička vyprodukuje nový pár (už sú páry dva) na konci tretieho mesiaca, pôvodná samička vyprodukuje druhý pár (spolu tri) na konci štvrtého mesiaca vyprodukuje pôvodná samica ďalší nový pár, samica narodená pred dvoma mesiacmi vyprodukuje taktiež svoj prvý pár (dokopy päť) Počet párov králikov na začiatku každého mesiaca je 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Počítajme pomer dvoch susedných členov Fibonacciho postupnosti: 1/1 = 1,   2/1 = 2,   3/2 = 1·5,   5/3 = 1·666..., 8/5 = 1·6,   13/8 = 1·625,   21/13 = 1·61538... φ = 1,618034

Aby sme sa dostali k spôsobu výpočtu zlatého pomeru, je potrebné vysvetliť, čo rozumieme pod pojmom zlatý rez. Ak rozdelíme úsečku AB dĺžky a bodom C na dve časti x a (a - x) tak, aby sa pomer dĺžok väčšej časti x k menšej časti (a - x) rovnal pomeru dĺžky úsečky a k väčšej časti x, teda aby platilo potom hovoríme, že sme zostrojili zlatý rez (bod C) úsečky AB a pomer a:x, resp. x:(a - x), nazveme zlatým pomerom. Tento pomer označil americký matematik Mark Barr písmenom φ podľa počiatočného písmena mena najslávnejšieho starovekého gréckeho sochára Feidia, ktorý vo svojich dielach zlatý rez používal. Hodnotu môžeme veľmi jednoducho určiť. Zvoľme veľkosť úsečky a = 1 a dosaďme do rovnice zlatého rezu:

Záporný koreň nevyhovuje, lebo x je dĺžka úsečky Záporný koreň nevyhovuje, lebo x je dĺžka úsečky. Jeho prevrátenú hodnotu -0,61803 nazveme φ´ a použijeme ho k odvodeniu zaujímavých vlastností čísla φ φ má ďalšiu jedinečnú vlastnosť - je to jediné kladné číslo, ktoré zmenšené o jedničku dává svoju prevrátenú hodnotu

Tento vzťah dostaneme dosadením za x do kvadratickej rovnice. Zlatý pomer môžeme vyjadriť dvoma zpôsobmi alebo

Zlatý rez v prírode                                                                                               Schránkovití hlavonožci, ktorí kedysi žili v moriach, už vymreli. Žije len jeden rod - Nautilus. Schránka Nautila je ukážkovou ilustráciou logaritmickej špirály.

Nautilus africký kudu

Logaritmická špirála

Kvety slnečnice

Šušky ihličnatých stromov

Zlatý rez a proporcie ľudského tela Vitruviovu figúru používal v renesancii Leonardo da Vinci a Albrecht Dürer.

Pentagramy

Zlatý rez v umení Dizajn obsahujúci pentagonálne a hexagonálne tvary používané v mešitách, ktoré boli odvodené zo spojitosti s Fibonacciho postupnosťou a zlatým pomerom

Obrazy Picassa a Mondriana

Zlatý rez v architektúre Cheopsova pyramída Parthenón na Akropole

Ukážky zo žiackych referátov V snahe zistiť, či my, žiaci oktávy, sme tiež „proporcionálne krásni“, vzali sme do ruky meter a odmerali sme všetky veličiny potrebné na výpočet nižšie uvedených pomerov. Došli sme k záveru, že zistené hodnoty ( po výpočte aritmetického priemeru ) síce nie sú veľmi vzdialené od „zlatého pomeru“, no zaujímavý je poznatok, že najviac sa vymyká hodnota týkajúca sa dolných končatín. Ešte možno hádam spomenúť, že u chlapcov sa priemerná hodnota pomeru pre ruku odchýlila o dosť viac ako u dievčat. Výsledky však môžu byť ovplyvnené aj tým, že sme nepreskúmali väčšiu vzorku. Všetky hodnoty sú uvedené v tabuľkách.

PPomer 1 je pomer vzdialenosti od temena po zem ku vzdialenosti od pupku po zem. PPomer 2 je pomer vzdialenosti ramena a koncov prstov ku vzdialenosti od lakťa po konce prstov.   CHLAPCI pomer 1 pomer 2 pomer 3 1 1,65 1,61 1,7 2 1,564 1,863 1,881 3 1,66 1,69 4 1,672 1,698 1,647 5 1,728 1,652 1,906 6 1,5276 1,556 1,7143 7 1,62 1,627 1,667 8 1,51 1,63 1,98 9 1,6017 1,769 1,73 10 1,67 1,59 1,96 11 1,636 1,78 1,613 12 1,679 1,735 13 1,6579 1,714 1,87 14 1,545 1,55 1,72 15 1,8 1,58 16 1,589 1,91 1,943 aritmetický priemer : 1,627056 1,681125 1,785394 Pomer 3 je pomer vzdialenosti bokov po zem a vzdialenosti kolena po zem.

DIEVČATÁ pomer 1 pomer 2 pomer 3 1 1,66 1,79 1,642 2 1,68 1,619 1,805   DIEVČATÁ   pomer 1 pomer 2 pomer 3 1 1,66 1,79 1,642 2 1,68 1,619 1,805 3 1,6 1,707 1,565 4 1,7 1,675 1,84 5 1,517 1,348 1,946 6 1,58 1,8 1,9 7 Aritmetický priemer : 1,628143 1,645571 1,771143

Uvediem ešte aritmetické priemery priemerných hodnôt chlapcov a dievčat(p´): Aj keď naše telesné proporcie nespĺňajú úplne „ideál“ , nemusíme zúfať, veď „knihy sa neposudzujú podľa obalu“ a na ľudské vedomosti a povahu „zlatý rez“ hádam žiaden vplyv nemá ... =) Spracovala: Tamara Kurilová, oktáva, Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku, január 2006

Zlatý rez v hudbe Zlatý rez má v hudbe dosť veľké využitie. Používali ho výrobcovia hudobných nástrojov aj skladatelia. Analýzami Mozartových sonát vedci zistili, že skoro všetky sú rozdelené na dve časti presne podľa zlatého rezu. Je to úmyselné (Mozartova sestra potvrdila, že sa často hral s číslami) alebo to urobil intuitívne? Beethovenova piata symfónia v sebe tiež obsahuje zlatý rez. Slávne „motto“ sa opakuje nielen na začiatku a na konci (takt 601 pred Codou), ale aj v zlatom reze, teda v 372. takte (0,618 diela) a aj na začiatku opakovania, čo je 0,382 tisícin diela. Na klávesnici klavíra je v oktáve 5 čiernych klávesov a 8 bielych, teda spolu 13. Ak vydelíte 13/8 a 8/5, vyjde vám 1,625 a 1,6. Má to však háčik, v oktáve (C, D, E, F, G, A, H, C) sa C opakuje dvakrát. Je to možno kvôli tomu, že C a C sú od seba o oktávu vyššie a možno len preto, že „oktáva“ krajšie znie. Slávny výrobca huslí Stradivari používal zlatý rez pri ich konštrukcii a na umiestnenie f-otvorov, vďaka čomu majú tieto husle taký výnimočný zvuk.

Zlatý rez v Sanskrite Sanskrit je staroindický literárny jazyk založený na časomiere. Slová môžu obsahovať krátke (K) a dlhé (D) slabiky. Ak predpokladáme, že jedna dlhá trvá tak dlho ako dve krátke – dve doby, môžeme si vytvoriť postupnosť: jedna doba – K – máme 1 možnosť ako usporiadať slabiky dve doby – KK, D – 2 možnosti tri doby – KKK, DK, KD – 3 možnosti štyri doby – KKKK, KKD, KDK, DKK, DD – 5 možností a ďalej to už asi poznáte… Tento objav urobil(a) Acarya Hemacandra v roku 1150 n.l., teda 70 rokov predtým, ako Fibonacci vydal svoju prvú knihu Liber Abaci (1220). Zdroj: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/P.Knott/Fibonacci/fibInArt.html Spracoval: Michal Gurník. Oktáva, Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku, január 2006

Materiál, z ktorého som čerpala: Dan Brown: Da Vinciho kód , Slovak Edition © Vydavateľstvo SLOVART, s. r. o., Bratislava 2004, str. 101 – 105 http://alife.tuke.sk/index.php?clanok=496 http://alife.tuke.sk/index.php?clanok=1295 http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/P.Knott/Fibonacci/fibInArt.html http://maven.smith.edu/~phyllo/Assets/Movies/Pineapple3.mov http://www.moonstar.com/~nedmay/chromat/fibonaci.htm