TEOREMA LUI PITAGORA, teorema catetei si teorema inaltimii

Pitagora (Pytagoras) a fost un filozof şi matematician grec, născut în insula Samos, întemeietorul şcolii pitagorice. Tradiţia îi atribuie descoperirea tablei de înmulţire şi a teoremei geometrice ce-i poartă numele. Prin simplitatea ei şi gradul mare de aplicabilitate, teorema lui Pitagora a fascinat de-a lungul mileniilor nu numai pe geometrii de profesie, ci şi persoane de cele mai variate ocupaţii: Euclid, Leonardo da Vinci, Abraham Garfield, fost preşedinte al S.U.A.

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

Fiind dat ΔABC dreptunghic, teorema lui Pitagora se poate scrie astfel:

Teorema înălţimii Teorema catetei A A C B B D C D AB²=BD·BC AC²=DC· BC AD²=BD · DC

!. PROBLEMA REZOLVATA Ipoteza : Δ ABC dreptunghic m(<A)= 90° AD┴ BC BD= 9 cm DC= 4 cm Concluzie: BC,AB, AC, AD Dem: BC= DC+DB BC= 4 cm+ 9 cm BC= 13 cm

Aplicăm teorema catetei în ΔABC dreptunghic in A, pt. cateta AB. AB²= BD · BC AB²= 9·13 AB²= 117 Aplicăm teorema catetei în ΔABC dreptunghic in A, pt. cateta AC AC²= DC · BC AC²= 4·13 AC²= 52 Aplicăm teorema înălţimii în ΔABC dreptunghic in A AD²=BD· DC AD² = 9· 4 AD² = 36 AD= 6 cm

Demonstraţia teoremei Pitagora Demonstraţia teoremei Pitagora Fie triunghiul dreptunghic ABC (m(A)=90°). Construim perpendiculara din A pe latura opusă BC şi fie D piciorul acestei perpendiculare. A C B D

Triunghiul ABC fiind dreptunghic putem aplica teorema catetei, de două ori, pentru fiecare din catetele sale. Pentru cateta AC, obţinem: AC2=CD·CB (1) Pentru cateta AB, obţinem: AB2=DB·BC (2)

Adunând relaţiile (1) şi (2) obţinem: AC2+AB2=CD·CB+DB·BC AC2+AB2=BC·(CD+DB) AC2+AB2=BC2(c.c.t.d)

OBSERVAŢIE IMPORTANTA: În probleme, teorema lui Pitagora poate fi folosită şi pentru determinarea lungimii unei catete şi atunci o enunţăm astfel: Pătratul lungimii unei catete este egal cu diferenţa dintre pătratul lungimii ipotenuzei şi pătratul lungimii celeilalte catete.

2.Problema rezolvata Fie triunghi ABC dreptunghic în A: a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 12 cm, respectiv 5 cm, determinaţi lungimea ipotenuzei BC. b) Dacă cateta AC=8 cm, iar ipotenuza BC= 10 cm, determinaţi lungimea catetei AB.

a) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel: BC2 =AB2 +AC2 Înlocuim: BC2 = 169, de unde BC= 13 cm.

b) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel: AB2 = BC2 -AC2 Înlocuim: AB2 = 36 , de unde AB= 6cm.

3.PROBLEMA REZOLVATA Un triunghi dreptunghic are o catetă cu lungimea de 6 cm, şi unghiul care se opune ei de 300. Calculaţi lungimile ipotenuzei, a celeilalte catete şi a înălţimii corespunzătoare ipotenuzei.

În triunghiul dreptunghic ABC, avem: 6 cm 300 B D C În triunghiul dreptunghic ABC, avem: BC=2·AC(Cateta care se opune unghiului de 300 este jumatate din ipotenuza) BC=12 cm

În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui Pitagora astfel: BC2 =AB2 +AC2 Înlocuim: 122= AB2+62 , AB2 = 144-36 , AB2 = 108, de unde În triunghiul dreptunghic ADB: AB=2·AD Sau altfel folosim: Inaltimea corespunzatoare unghiului drept este egala cu raportul dintre produsul catelelor si ipotenuza

4. Problema rezolvata O catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea de 5 cm, iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este de 4 cm. Să se afle lungimile celeilalte catete şi a ipotenuzei.

În triunghiul dreptunghic ADB, aplicăm teorema lui Pitagora astfel: AB2 =DB2 +AD2 Înlocuim: 52= DB2+42 DB2 = 25-16 DB2 = 9, de unde DB= 3cm.

Aplicăm teorema catetei în triunghiul ABC astfel: AB2 =BD·BC Înlocuim: 52= 3 ·BC 25 = 3 ·BC, de unde BC = 8,(3)cm. În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui Pitagora astfel: BC2 =AB2 +AC2 = 25+AC2 De unde AC2= , deci AC= 6,(6)cm

Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este DREPTUNGHIC.

Probleme propuse 1. Fie ΔABC dreptunghic, m(<B)=90°, BD înălţime în triunghi. Dacă BD=4 cm, DC=2 cm, aflaţi: AD, AC,AB,BC 2. Fie ΔABC dreptunghic, m(<B)=90°, BD înălţime în triunghi. Dacă AC=4 cm , AB= 8 cm, aflaţi: AD, DC, BD, BC. 3.Fie triunghi ABC dreptunghic în A: a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 3 cm, respectiv 4 cm, determinaţi lungimea ipotenuzei BC. b) Dacă cateta AC=6 cm, iar ipotenuza BC= 10 cm, determinaţi lungimea catetei AB.

Realizator: Prof. Iuliana Trasca