תורת התורים תיאור חלקי עולם כרשתות של תורים לצורך: יישומים: הבנה ניתוח התנהגות הדמיה (סימולציה) בחינת מערכות מורכבות לאור מדדים מוגדרים. יישומים: מערכות ייצור מערכות שירות מערכות אוטומטיות

תורת התורים אנשי המקצוע מפתחים כלים אנליטיים נומריים וסימולטיביים לחקר מערכות בהם עשויים (עלולים...) להיווצר תורים תור הוא מרכיב שלילי והוא בעיקר מקור לעליות. תור צורך משאבי מקום, זמן וכסף. תורת התורים חוקרת תופעה שהיא אינה רצויה לכן אפשר לקרוא לה תורת הקטנת התורים.

מדוע נוצרים תורים שונות במופע הלקוחות שונות בזמן השרות השונות היא גם זו היוצרת את המורכבות שמונעת ניתוח אנליטי מדויק של התנהגות התורים למעשה אפשר לנתח באופן אנליטי רק מערכות פשוטות ביותר.   בכל זאת כדאי להכיר את הניתוח האנליטי כי הוא מאפשר הבנה מעמיקה יותר של התהליך גם אם בסופו של דבר נבצע את החישובים שלנו באמצעות סימולציות

תורת התורים: מרכיבים מבניים שרתים מספר השרתים התפלגות זמני שירות כללי מתן קדימות לקוחות התפלגות מופע מבנה המערכת: סדר זרימת הלקוחות בין השרתים קיבולת התורים

מערכת תורים: דוגמא שרת א תור לקוחות תור לקוחות שרת ב שרת א שרת ב שרת א

דוגמא לבעיית תורים לקוחות מגיעים לכספומט באופן אקראי בקצב של 6 לקוחות בשעה (ניתן להניח התפלגות פואסון). זמן השירות ללקוח בכספומט מתפלג אקספוננציאלית עם תוחלת 4 דקות. הלקוחות עומדים בתור לפי סדר הגעתם. א. מהי תוחלת מספר הלקוחות במערכת? ב. מהי תוחלת זמן השהיה של לקוח במערכת? ג. מהי ההסתברות שזמן ההמתנה בתור גדול מ-10 דקות? ד. האם יש להמליץ להנהלה להוסיף כספומט נוסף?

ניתוח תורים: המקרה הכללי קיים מספר מצומצם של מערכות תורים עבורן ניתן להגיע באופן אנליטי למדדים כמותיים. בכל מקרה שאינו ניתן לפתרון אנליטי ניתן לערוך סימולציה ע"י: הגדרת השרתים ומופע השירות הגדרת הלקוחות ומופעם הגדרת אילוצים, קיבולות, וחוקי משחק הגדרת מדדים רלבנטיים הסימולציה "מריצה" את המערכת מספר רב של פעמים וצוברת תוצאות מדדים לניתוח סטטיסטי.

מערכות תורים: סימונים λ – תוחלת מופע הלקוחות במערכת (לקוחות ליח' זמן)  - תוחלת שירות הלקוחות לשרת (לקוחות ליח' זמן) c – מספר השרתים ρ – תוחלת נצילות המערכת: % הזמן בו השרתים עסוקים L – תוחלת מספר הלקוחות במערכת במצב יציב W – תוחלת זמן שהיה ללקוח במערכת במצב יציב Pn – ההסתברות ל-n לקוחות במערכת במצב יציב K – מספר מקסימלי של לקוחות במערכת עם אילוצי קיבולת

תורת התורים: יחסים בסיסיים תוחלת זמן שירות: /1 תוחלת הזמן בין הגעת לקוחות: TBA = 1/λ תוחלת זמן המתנה בתור: Wq = W - 1/  נצילות המערכת: ρ = λ/c

משפט Little L = λW משמעויות: קיים קשר ישיר בין זמן השהיה במערכת / תור לבין מספר הלקוחות הממתינים. במונחי ניהול ייצור: שיבוץ שמביא למינימום את זמן השהיה במערכת מביא למינימום גם את רמת המלאי בתהליך.

חוקי השימור (Little) בדיקה מימדית:

מדדי ביצוע עיקריים של התורים

מספר לקוחות ממוצע במערכת מספר לקוחות במערכת עד זמן מזמן 1 2 3 5 7 8 10 14 16 20

מספר לקוחות ממוצע במערכת-המשך

מספר לקוחות ממוצע במערכת-המשך i מספר הישויות במערכת, Ti הזמן הכולל שמספר זה היה במערכת מדוע יש כובע על ה L?   כאשר זמן הריצה אינו ארוך מספיק התוצאה תלויה גם בתנאי ההתחלה (כמה היו במערכת בהתחלה)    אפשר כמובן להחיל את הנוסחאות הללו לכל תת מערכת של התורים (למשל לתור עצמו)

ממוצע במערכת מול ממוצע בתור שאלה: אם אני יודע את מספר הלקוחות הממוצע במערכת, ושבעמדת השרות יש מקום לרכיב אחד, האם אפשר לחשב את מספר הרכיבים הממוצע בתור?

חישוב זמן שהייה ממוצע 1. האם יש מספיק נתונים כדי לחשב את זמן השהיה של לקוחות במערכת? איזה הנחות נדרשות? 2. חשב זמן שהיה ממוצע עבור הנתונים שבטבלה למעלה עם ההנחות 3. חשב זמן המתנה בתור

זמן שהיה ממוצע במערכת סכימה על כל הישויות שעברו במערכת

מקרים מיוחדים: התפלגות אקספוננציאלית ופואסון מקרים מיוחדים: התפלגות אקספוננציאלית ופואסון התפלגות פואסון: התפלגות אקספוננציאלית: כאשר התפלגות מספר המופעים ביחידת זמן היא פואסון, התפלגות הזמן בין המופעים היא אקספוננציאלית. להתפלגות אקספוננציאלית יש תכונת חוסר זכרון.

תור בודד עם מופע לקוחות פואסוני (λ) וזמן שירות אקספוננציאלי (1/ ) הסתברות ל-0 לקוחות במערכת: P0 = 1-ρ הסתברות ל-n לקוחות במערכת: תוחלת זמן שהיה במערכת: W = ρ/(λ(1- ρ)) תוחלת מספר לקוחות במערכת: L = ρ/(1- ρ) ההסתברות שזמן השהיה גדול מ-t: P(W>t) = e-t(-λ) ההסתברות שזמן ההמתנה גדול מ-t: P(Wq >t) = ρe-t(-λ)

העומס על השרת העומס על השרת הוא חלק הזמן שבו השרת עסוק. אם כל שעה הוא עסוק רק חצי שעה אזי העומס עליו הוא 50 אחוז.

חישוב העומס על השרת נוסחת little לשרת: אבל - למה?

מה קורה אם התור יגדל בקצב.... מה הנוסחה ל –c שרתים?

הנוסחה למקרה של c שרתים מה הנזק בתורים ומה אפשר לעשות כדי להקטין תורים?

הקטנת תורים הקטנת שונות של השרת הגדלת קצב השרת הוספת שרתים רגולציה של קצב הכניסה למערכת חסימת גודל התור

ההשפעה של תחנות קודמות אם יש מספר תחנות בטור ואם כפי שאמרנו קצב היציאה חייב להיות שווה לקצב הכניסה, אזי מה בעצם ההשפעה של תחנה קודמת? האם אפשר לפרק כל תחנה ולחקור בנפרד? מה יקרה אם נחבר בטור מספר תחנות זהות?

עלויות במערכות תורים 1. עלות התור נניח שהעלות שלנו על כל לקוח שמחכה בתור היא 10$ לשעה ללקוח. אם לקוח J "מבלה" בתור , אזי העלות הממוצעת ללקוח היא: אם מגיעים לקוחות לשעה. אזי עלות התור היא

תרגיל – עלויות בתור למחסן כלים מגיעים טכנאים בקצב פואסוני עם תוחלת בין הגעות של 4 דקות. לוקח למחסנאי 3 דקות בממוצע לשרת טכנאי. עלות שכרו של המחסנאי היא 10$ לשעה עלות שכרו של הטכנאי היא 15$ לשעה מה העלות לשעה של המחסן? 2. האם כדאי להחליף את המחסנאי באחד מיומן יותר ששכרו 20$ וזמן השרות שלו קטן בחצי דקה?

עלות שרת (עסוק) C עלות לשעת הפעלה של השרת

נוסחאות מלאות ל M/M/1

תרגיל – בעיית המספרה לספר מגיעים לקוחות בקצב פואסוני של 2 בשעה והוא מסוגל לשרת מעריכית 3 בשעה. כמה מקומות המתנה על הספר לארגן כדי שהסיכוי לאבד לקוח יהיה קטן מ 20%

תרגיל בשדה תעופה יש שני מסלולי המראה (אחד להמראה ואחד לנחיתה). הזמן שבו המסלול תפוס כאשר מטוס נוחת מתפלג מעריכית עם תוחלת של דקה וחצי. אם הגעת המטוסים היא אקראית מה קצב ההגעה הנסבל אם אסור שתוחלת זמן ההמתנה תעבור את ה 3 דקות.  

סימונים של תורת התורים A/B/c/N/K A - זמן בין מופעי   A - זמן בין מופעי B - התפלגות זמן השרות c - מספר השרתים המקבילים N - קיבולת המערכת K - גודל האוכלוסייה ממנה מגיעים מופעים למערכת

סימונים מקובלים ל A ו- B M - אקספוננציאלי D - קבוע או דטרמיניסטי   M - אקספוננציאלי D - קבוע או דטרמיניסטי - ארלנגי מסדר K G - שרירותי או כללי

דוגמא מופע לקוחות אקספוננציאלי התפלגות זמן השרות אקספוננציאלית M/M/1/ / מופע לקוחות אקספוננציאלי התפלגות זמן השרות אקספוננציאלית שרת בודד קיבולת מערכת בלתי מוגבלת אכלוסיה בלתי מוגבלת

נוסחאות מלאות לM/G/1