izr. prof. dr. Vojko KILAR asist. dr. David Koren marec, 2012 GRADBENA MEHANIKA: METODA PREMIKOV izr. prof. dr. Vojko KILAR asist. dr. David Koren marec, 2012

Okvirne konstrukcije SAP2000: 3-etažen okvir: Lx = 2 x 6 m, Het = 3 m, HEA 300 (stebri), IPE 240 (grede), jeklo S235 obtežba vozlišča i: M = 100 kNm zasuk vozlišča i [10-3 rad]: M vozlišče i okvir 1 okvir 2 okvir 3 2,06 1,18 1,14

Splošna togostna matrika elementa OBOJESTRANSKO VPETI NOSILEC

Splošna togostna matrika elementa ENOSTRANSKO VPETI NOSILEC

Obojestransko vpeti nosilec SAP2000: L = 1 m, EI = 1, faktor za A in As >> 1 obtežba desnega vozlišča: φ = 1 rad φ deformacije [M] kNm [Q] kN

Obojestransko vpeti nosilec Togostna matrika:

Obojestransko vpeti nosilec

Enostransko vpeti nosilec SAP2000: L = 1 m, EI = 1, faktor za A in As >> 1 obtežba vpetega (desnega) vozlišča: φ = 1 rad φ deformacije [M] kNm [Q] kN

Enostransko vpeti nosilec Togostna matrika: 0 0 0 3

Enostransko vpeti nosilec

Vpliv zunanje obtežbe

Primer 1 Podatki: φ1 P φ2 φ3     1 2 3   l/2 l/2 l

Primer 1 Podatki: φ1 φ2 φ3 Togostni matriki elementov P 1 2 3 l/2 l/2     1 2 3   l/2 l/2 l 1 2 2 3         Togostni matriki elementov

Primer 1 = = Togostni matriki elementov Togostna matrika konstrukcije: 2 2 3         Togostni matriki elementov Togostna matrika konstrukcije:         =         = =1

Primer 1 =0       =0     φ1 P φ2 φ3 1 2 l/2 l/2 l

[Mφ2] [Mobt.] [M] Primer 1 – upogibni momenti [ ] - - + - - + - - + φ2   P φ2 1 2 φ2 φ2 3φ2 = 0,43 - - 2φ2 = 0,29 [Mφ2] + 0,14 4φ2 = 0,57 1,0 - - 1,0 [Mobt.] + 1,0 1,29 - 0,43 - [M] + 1,14

[Qφ2] [Qobt.] [Q] Primer 1 – prečne sile [ ] - + - + + φ2 φ2 φ2 + P   P φ2 1 2 φ2 φ2 6/l·φ2 = 0,86 3/l·φ2 = 0,43 [Qφ2] + + 4,0 - [Qobt.] + 4,0 3,14 - [Q] + 0,43 + 4,86

[Q] [R] Primer 1 – reakcije [ ] - + φ2 M1 = 1,29 H1 = 0 V1 = 4,86   P φ2 1 2 3 3,14 - [Q] + 0,43 + 4,86 M1 = 1,29 H1 = 0 [R] V1 = 4,86 V2 = 3,57 V3 = 0,43 Smeri: +Q R +Q R

Primer 2 q 4 1 2 l1 Podatki:   3   l1 l2  

Primer 2 q Podatki:   1 2 4     3 1 2 2 4         2 Togostne matrike elementov     3

Primer 2 = Togostna matrika konstrukcije: 1 2 2 4         2     3 Togostna matrika konstrukcije:         = i = 1 … „moder“ in „zelen“ element i = 2 … „rdeč“ element

Primer 2 Ob predpostavki l1 = l2 velja:                

Primer 2 Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega 1,136 Program SAP2000 predpostavka l1 = l2 q = 10 kN/m l = 1 m, EI = 1 faktor za A in As >> 1 Primer 2 Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega 1,136

Primer 2a q Podatki:   4 1 2     3 1 2 2 4         2 Togostne matrike elementov     3

Primer 2a = Togostna matrika konstrukcije: 1 2 2 4         2     3 Togostna matrika konstrukcije:         = Ob predpostavki l1 = l2 velja: i = 1 … „moder“ in „zelen“ element i = 2 … „rdeč“ element  

Primer 2a Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega Program SAP2000 predpostavka l1 = l2 q = 10 kN/m l = 1 m, EI = 1 faktor za A in As >> 1 Primer 2a Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega

Primer 3 q 3 4 l 2 5 Podatki:   l     1 6 l

Primer 3 q Togostna matrika konstrukcije Togostne matrike elementov φ1   q Togostna matrika konstrukcije 3   4 φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 11 2 8 4 l     2   5 l       1 6 l     Togostne matrike elementov

Primer 3 = φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 11 2 8 4 sistem 5 enačb s 5 neznankami 11 2 8 4       =         sistem 5 enačb s 5 neznankami (φ2, φ3, φ4, φ5, M6)    

Primer 3 Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega Program SAP2000 q = 10 kN/m l = 1 m, EI = 1 faktor za A in As >> 1 Primer 3 Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega

Togostne matrike konstrukcij . . . k1n k21 k22 k2n . kn1 kn2 knn     = Za togostno matriko konstrukcije [K] in za togostne matrike elementov velja, da so simetrične. Togostna matrika stabilne konstrukcije je pozitivno definitna (ne more biti singularna in jo lahko invertiramo  dobimo podajnostno matriko konstrukcije). Diagonalizacija matrike  problem lastnih vrednosti (λ):