הרצאה 7 מבוא לסטטיסטיקה התפלגות נורמלית הרצאה 7 מבוא לסטטיסטיקה התפלגות נורמלית

תכונות של התפלגות נורמלית פונקצית הצפיפות של התפלגות נורמלית. (א) התפלגות סימטרית חד-שיאית בתצורה של פעמון. (ב) הממוצע, השכיח והחציון הנם שווים. (ג) ההתפלגות מאופיינת בעזרת 2 פרמטרים: ממוצע ההתפלגות: μ סטית התקן של ההתפלגות: σ (ד) ההתפלגות מוגדרת על פני התחום מ- - עד ל- +. בהתפלגות נורמאלית בלבד נופלים 99.7 מהתצפיות כאשר סטיית התקן (3+) מהממוצע f(X) σ μ Mean = Median = Mode הפונקציה f(X) נקראת העקום הנורמלי, או, פונקצית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית.

הנוסחה של פונקצית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית הנוסחה של פונקצית הצפיפות של התפלגות נורמלית מוגדרת באופן הבא: כאשר = e הקבוע המתמטי השווה בקירוב ל- 2.718. π= הקבוע המתמטי השווה בקירוב ל- 3.14 μ = ממוצע ההתפלגות σ = סטית התקן של ההתפלגות x = ערך כלשהו השייך לתחום ההגדרה של ההתפלגות הנורמלית. פונקצית הצפיפות של התפלגות נורמלית נקראת גם פונקצית הפעמון.

ההשפעה של μ ו- σ על אופי ההתפלגות הנורמלית ההשפעה של μ ו- σ על אופי ההתפלגות הנורמלית f(X) B A C X הבהר את מערכת היחסים בין הממוצעים של ההתפלגויות A, B ו- C, וכן בין סטיות התקן של שלושת ההתפלגויות.

התפלגות נורמלית מתוקננת נתונה התפלגות נורמלית X עם ממוצע μ וסטית תקן σ. אזי ההתפלגות המתוקננת, Z, המוגדרת באופן הבא: נקראת התפלגות נורמלית סטנדרטית והיא בעלת: ממוצע 0 וסטית תקן 1. התפלגות נורמלית בעלת ממוצע 0 וסטית תקן 1 , נקראת התפלגות נורמלית סטנדרטית.

ערכים מתוקננים עבור התפלגות נורמלית: דוגמה יהא X היקף המכירות השנתי לחנות, (במיליוני דולרים), של רשת בתי כלבו בפלורידה. הנח כי X מתפלג באורח נורמלי עם ממוצע 10 וסטית תקן 5. החנות של הרשת בדרום גיינסוויל מכרה בשנת 2006 בהיקף של 20 מיליון דולר. הערך המתוקנן עבור היקף מכירות שנתי 20= x הנו: יוצא אפוא שהיקף המכירות השנתי של החנות בדרום גיינסוויל גבוה ב- 2 סטיות תקן ממוצע המכירות השנתי של הרשת לחנות.

יחסי הגומלין בין ההתפלגות הנורמלית X וההתפלגות המתוקננת Z(דוגמה-המשך) 10 20 X (μ = 10, σ = 5) 2.0 Z (μ = 0, σ = 1) שתי ההתפלגויות: X ו- Z הנן זהות. רק קנה המידה וראשית הצירים הנם שונים. כל בעיה סטטיסטית לגבי ההתפלגות X ניתנת לניתוח ופתרון במונחים של המשתנה המתוקנן Z.

תכונות מרכזיות של ההתפלגות הנורמלית השטח הכולל מתחת לעקום הנורמלי הנו 1. השטח מתחת לעקום הנורמלי משמאל לממוצע μ הנו 0.5. השטח מתחת לעקום הנורמלי מימין לממוצע μ הנו 0.5. f(X) 0.5

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית ההסתברויות בהתפלגות נורמלית, X, נמדדות בעזרת השטח מתחת לעקום הנורמלי. P(a ≤ X ≤ b) הנה ההסתברות שההתפלגות הנורמלית, X, תקבל ערך בין a לבין b, והיא שווה לשטח מתחת לעקום הנורמלי ה"כלוא" בין a לבין b. f(X) P(a ≤ X ≤ b) a b

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית נתונה התפלגות נורמלית X עם תוחלת μ וסטית תקן σ. μ a תכונה: לכל ערך נתון a, ההסתברות שההתפלגות הנורמלית X תקבל את הערך a הנה 0. הסבר: P(X=a) = P(a ≤ X ≤ a) } = 0שטח הקו הממוקם ב- a מתחת לעקום הנורמלי} =

טבלאות של התפלגות נורמלית סטנדרטית עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית, Z, קיימות טבלאות המספקות לכל ערך z של ההתפלגות Z את ההסתברות המצטברת: שהנה השטח ה"כלוא" מתחת לעקום הנורמלי הסטנדרטי משמאל לנקודה z. נספח 1 להרצאה 7 מציג את לוח ההסתברויות המצטברות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית. Z z

טבלאות של התפלגות נורמלית סטנדרטית השורה העליונה בטבלה מציינת את הספרה העשרונית השנייה של הערך של z Z .00 .01 .02 0.0 .5000 .5040 .5080 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 0.3 .6179 .6217 .6255 הטור השמאלי בטבלה מציין את ערכו של z עד לספרה העשרונית הראשונה המספר המוצג בטבלה מציין את ההסתברות המצטברת: עד לערך z.

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית, Z, חשב את ההסתברות P(a ≤ Z ≤ b) f(X) a b

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית, Z, חשב את ההסתברות P(Z > a) P(Z ≤ a) P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a) Z a

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית: דוגמאות (א) חשב בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את: האזור הרלבנטי של הלוח הנורמלי נראה כדלהלן: 0.04 0.03 0.02 Z 0.2610 0.2640 0.2680 -0.6 0.2950 0.2980 0.3010 -0.5 0.3300 0.3340 0.3370 -0.3

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית: דוגמאות (ב) חשב בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את: האזור הרלבנטי של הלוח הנורמלי נראה כדלהלן: 0.08 0.07 0.06 Z 0.7823 0.7794 0.7764 0.7 0.8106 0.8078 0.8051 0.8 0.8365 0.8340 0.8315 0.9

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית: דוגמאות (ג) חשב בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את: בעזרת הלוח הנורמלי אנו מקבלים: (ד) חשב בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את: בעזרת הלוח הנורמלי אנו מקבלים:

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית: דוגמאות (ה) מצא בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את הרבעון השלישי של ההתפלגות – Q3. Q3 מקיים את המשוואה הבאה: האזור הרלבנטי של הלוח הנורמלי נראה כדלהלן: 0.08 0.07 Z 0.7190 0.7157 0.5 0.7517 0.7486 0.6 0.7823 0.7794 0.7 לכן:

בגלל תכונת הסימטריה של ההתפלגות הנורמלית מתקיימים חישוב הסתברויות עבור תחומים סימטריים מסביב לממוצע עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית בגלל תכונת הסימטריה של ההתפלגות הנורמלית מתקיימים הקשרים הבאים: לכן: –z z Z m = 0

ריכוז התצפיות מסביב לממוצע עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית בעזרת הנוסחה שפותחה בשקף 19 ניתן לחשב את ריכוז התצפיות של התפלגות נורמלית סטנדרטית מסביב לממוצע ההתפלגות 0. אחוז התצפיות המצוי בתחום סימטרי מסביב לממוצע תחום עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית  

התפלגויות נורמליות לא סטנדרטיות לכל התפלגות יש לכאורה צורך בטבלת הסתברויות נפרדת. המדובר באינסוף טבלאות להתפלגויות נורמליות שונות יש ערכי μ ו- σ שונים. X f(X)

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית בעיה: יהא X משתנה נורמלי עם ממוצע μ וסטית תקן σ. חשב את ההסתברות P(X < a) שיטת החישוב: הצג את ההסתברות P(X < a) בעזרת המשתנה המתוקנן Z. חשב את ההסתברות בעזרת טבלאות של התפלגות נורמלית סטנדרטית.

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית: דוגמה יהא X משך הזמן הנדרש (בשניות) לבצע download של סרטון וידאו. הנח כי X הנו משתנה נורמלי עם ממוצע 8.0 וסטית תקן 2.0. חשב את ההסתברות P(X < 8.6). בכדי לחשב את ההסתברות המבוקשת, נעבור למשתנה נורמלי סטנדרטי ונסתייע בלוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית. X 8.0 8.6

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית: דוגמאות (א) עבור התפלגות נורמלית עם ממוצע 8.0 וסטית תקן 2.0, חשב את ההסתברות (P(X < 8.6 μ = 8 σ = 2 μ = 0 σ = 1 X Z 8 8.6 0.12 P(X < 8.6) P(Z < 0.3) = .6179

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית: דוגמאות (ב) עבור התפלגות נורמלית עם ממוצע 8.0 וסטית תקן 2.0, חשב את ההסתברות (P(7.2 < X < 8.5

ריכוז התצפיות מסביב לממוצע עבור התפלגות נורמלית כללית יהא X משתנה נורמלי עם ממוצע μ וסטית תקן σ. הטבלה הבאה מפרטת את אחוז התצפיות המצוי בטווח סימטרי מסביב לממוצע ההתפלגות. אחוז התצפיות המצוי בתחום סימטרי מסביב לממוצע תחום עבור התפלגות נורמלית כללית  

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית בעזרת אקסל ניתן להסתייע בתוכנת Excel לצורך חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית כללית. הטבלה הבאה מציגה את פונקציות ה- Excel לחישוב פונקצית הצפיפות f(x) ופונקצית ההסתברות המצטברת עבור התפלגות נורמלית עם ממוצע μ וסטית תקן σ. התפלגות נורמלית עם ממוצע μ וסטית תקן σ פונקצית הצפיפות פונקצית ההסתברות המצטברת בנספח 2 להרצאה 7 יש מגוון דוגמאות לחישוב הסתברויות בעזרת אקסל עבור התפלגות נורמלית כללית.

בחינת טיב ההתאמה של סדרה סטטיסטית להתפלגות נורמלית בעולם המעשה יש מגוון רחב של התופעות המתפלגות באורח נורמלי. בפועל, בכדי לאמת שסדרת תצפיות סטטיסטיות תואמת את ההתפלגות הנורמלית יש לבצע את הבדיקות הבאות: האם הממוצע השכיח והחציון הנם קרובים האחד לשני? האם התיאור הגרפי של הסדרה הסטטיסטית בעזרת היסטוגרמה תואם את ההתפלגות הנורמלית? האם כ-/3 2 מן התצפיות, בקירוב, נמצאות בטווח של סטית תקן אחת מן הממוצע? האם כ-95% מן התצפיות, בקירוב, נמצאות בטווח של שתי סטיות תקן מן הממוצע?