فصل7: منطق فازی و استدلال تقریبی منطق گزاره‌ها منطق‌های چند ارزشی متغیرهای زبانی متغیر زبانی درستی متغیر زبانی احتمالی منطق فازی استدلال تقریبی قوانین مقدماتی استنتاج فازی قانون قیاس استثنایی تعمیم یافته (GMP) استنتاج فازی به وسیله قوانین ترکیبی استنتاج (CRI) استنتاج فازی به روش مقایسه الگو (PM)

جدول1: رابطه‌های مهم در منطق کلاسیک منطق گزاره‌ها یک حوزه منطق، منطق گزاره‌ها نام دارد که با گزاره‌ها یعنی عباراتی که راست و یا دروغ‌اند سروکار دارد. نماد معنی اصطلاح Aچنین نیست که نقیض A Bو A ترکیب عطفی A و B B و A ترکیب فصلی A و B B آنگاه A اگر ترکیب شرطی A و B B فقط اگر A ترکیب دو شرطی A و B جدول1: رابطه‌های مهم در منطق کلاسیک

جدول2: جدول درستی چهار رابطه مهم A B T F جدول2: جدول درستی چهار رابطه مهم تعریف1: یک صورت گزاره‌ای، یک راستگو (تناقض) است اگر به ازاء هر ارزش‌دهی به متغیرهای گزاره‌ای آن، ارزش 1 (0) داشته باشد. مثال: چند راستگو هستند و یک تناقض است.

تعریف2: صـورت استدلالـی نامعتبر است اگر بتوان یک نوع ارزش‌دهی بــرای متغیرهای گزاره‌ای آن یافت به طوری که هر یک از دارای ارزش T باشند ولی A دارای ارزش F باشد. در غیر این صورت استدلال معتبر است. تنها قاعده استنتاج در این دستگاه، قاعده قیاس استثنایی در قالب روبرو است. * مثال زیر هر چند از لحاظ شهودی استدلال فوق پذیرفتنی است، ولی این استدلال در چارچوب منطق گزاره‌ها پذیرفتنی نیست. هر انسانی فانی است. سقراط انسان است. پس، سقراط فانی است.

به طور خلاصه دو تفاوت مهم با حالت‌های قبل داریم. استفاده از محمول. توضیح آنکه هر گزاره ساده، یک موضوع و یک محمول دارد. موضوع چیزی است که گزاره درباره آن چیزی را بیان می‌کند و محمول به خاصیتی از موضوع مربوط می‌شود. در گزاره سقراط انسان است، ”سقراط“ موضوع و ”انسان است“ محمول گزاره می‌باشد. می‌توان گامی در جهت نمادین شدن برداشت و جمله سقراط انسان است را مثلاً با A(s) نشان داد که در آن A یک حرف محمولی است که بجای ”انسان است“ و s بجای ”سقراط“ قرار گرفته است. استفاده از قید ”هر“، که آن را سور عمومی می‌نامیم و با نماد نشان می‌دهیم. البته یک سور دیگر هم داریم که سور وجودی نام دارد که همان قید «بعضی» است و معنی «حداقل یکی» را می‌دهد و با نماد نشان داده می‌شود. با این توضیح که با در نظر گرفتن A برای محمول ”انسان است“ و B بجای فانی است و s بجای سقراط و x در مقام یک متغیر، صورت استدلالی فوق اینگونه می‌شود.

منطق‌های چند ارزشی لوکاسیویچ a b Λ V → ↔ ½ جدول1: جدول تعریف رابطها برای منطق سه ارزشی لوکاسیویچ لوکاسیویچ a b Λ V → ↔ 1 ½

منطق دو ارزشی و سه ارزشی وتعمیم آن برخی راستگوهای منطق دو ارزشی در حالت سه ارزشی راستگو نیستند قوانین شمول(aΛ~a=0) و طرد (aV~a=1)در منطق سه ارزشی برقرار نیستند (مثلاً a=1/2). نیمه راستگو (نیمه تناقض) گزاره ای است که به ازای هر ارزش دهی به متغیرهای آن، حاصل عبارت ارزش 1 یا ½‌ (0 یا ½) داشته باشد. برای هر n≥3، منطق n-ارزشی تعمیمی از منطق دو و سه ارزشی است بطوریکه ‌ارزش درستی هر گزاره با عدد گویایی از بازه [1و0] تعیین می شود. منطق چند ارزشی لوکاسویچ (استاندارد لوکاسویچ) : در این منطق درجات درستی گزاره ها از مجموعه Tn انتخاب می شوند. و رابطهای منطقی بصورت زیر تعریف شده اند: ~a = 1 – a a Λ b = min (a, b) a → b = min (1, 1+b – a) a V b = max (a, b) a ↔ b = 1 – |a – b| منطق چند ارزشی لوکاسویچ وقتی ∞→ n، با نظریه مجموعه های فازی برپایه عملگرهای min و max و متمم معمولی یکریخت است.

متغیرهای زبانی می گوییم: در جامعه ای با میزان باسوادی بالا، ناهنجاریهای اجتماعی کم است؛ نمی گوییم: در جامعه ای با میزان باسوادی ببیشتر از 90٪، ناهنجاریهای اجتماعی در کمتر از 23٪ افراد جامعه مشاهده می شود؛ می گوییم: افراد سنگین وزن بیشتر از افراد کم وزن در معرض ایست قلبی هستند؛ نمی گوییم: افراد سنگین تر از 100 کیلوگرم،‌ دو برابر ونیم بیشتر از افراد زیر 70 کیلوگرم در معرض ایست قلبی هستند؛

تعریف متغیر معمولی تعریف1: سه تایی مرتب (X , U , R (X ; u)) بطوریکه: X نام متغیر U زیر مجموعه مرجع R(X ; u) یک زیرمجموعه از U است که به عنوان تحدیدی بر مقادیری از U که X می‌تواند آنها را اختیار کند، عمل می‌کند. مثال: فرض کنید X متغیر طول قد برای انسان‌ها باشد و U=(0,250) و R(X)=[100,150] در این صورت R(X) نشان دهنده تمام انسان‌هایی است که طول قد آنها حداقل 100 و حداکثر 150 سانتیمتر باشد، دقت کنید که R(X) یک تحدید برای مجموعه مقادیری است که X می‌تواند در U اختیار کند. بعلاوه این تحدید کاملاً مشخص و معین است.

تعریف2: پنج تایی مرتب (X,T(X),U,G,M) بطوریکه: تعریف متغیر زبانی تعریف2: پنج تایی مرتب (X,T(X),U,G,M) بطوریکه: X نام متغیر U مجموعه مرجع T(X) مجموعه تِرم‌های مربوط به متغیر X است ترم، یک مجموعه فازی است که توسط قاعده نحوی G تولید می‌شود M یک قاعده معنایی است که به هر ترم T(X) معنای آن را مربوط می‌سازد، یعنی تابع عضویت آن ترم را مشخص می‌کند.

T(طول قد)={... ، نه خیلی بلند ، خیلی بلند ، کوتاه ، بلند } مثال: فرض کنید X، متغیر زبانی طول قد باشد و U=[0,250]، ترم‌های این متغیر زبانی که هر کدام یک زیرمجموعه فازی از U هستند می‌توانند چنین باشند: بلند، کوتاه، خیلی بلند، نه خیلی بلند و ... . بنابراین T(X) در اینجا به صورت زیر است، که البته در حالت کلی می‌تواند توسط یک قاعده G(X) بطورمنظم تولید شود. T(طول قد)={... ، نه خیلی بلند ، خیلی بلند ، کوتاه ، بلند } M(X) قاعده‌ای است که ترم، معنایی را به صورت یک تابع عضویت از U می‌بخشد. مثلاً برای ترم A: ”بلند“، می‌توان تابع عضویت زیر را در نظر گرفت M(بلند)={(u , A(u)) , u U} که در آن

متغیر زبانی درستی در منطق ∞-ارزشی مقدار درستی گزاره‌ای می‌تواند بطور پیوسته از [1و0] انتخاب شود. مقادیر درستی گزاره‌ها خود مقادیر زبانی هستند یعنی با متغیر زبانی درستی سر وکار داریم. مجموعه ترم‌های آن می‌تواند به صورت زیر باشد: {...، نه درست نه نادرست،‌ ...، کاملاً درست،‌ خیلی درست، نادرست، درست} = (درستی) T مجموعه مرجع [1و0]=U‌است. برای نمونه یک عضو از (درستی)T مثلاً درست توسط مجموعه‌ی فازی از [1و0]-I‌تعریف می‌شود که بستگی به زمینه‌ی کاربرد آن دارد. تعریف بالدوین از ترم ”درست“ تابع همانی است،‌ یعنی A(u) = u بالدوین ترم‌های ”خیلی درست“ را با (A(u))2 و ”تقریباً درست“ را با (A(u))½ تعریف می‌کند. مثلاً اگر درجه درستی گزاره‌ای 8/0 باشد آن گزاره به اندازه 64/0 خیلی درست و به اندازه 89/0 تقریباً درست است.

تعریف زاده : تابع عضویت برای ترم A= ”درست“ :

منطق کلاسیک یا منطق ∞-ارزشی مقدار درستی گزاره ”افراد چاق، خونسردند“ زیاد است مقدار درستی گزاره ”افراد خونسرد، صبورند“ تقریباً درست است مقدار درستی گزاره ”افراد چاق، صبورند“ کم و بیش درست است استنتاج زیر در قالب منطق کلاسیک و حتی منطق ∞-ارزشی نمی‌گنجد، اما با استفاده از متغیر زبانی درستی می‌توان بسیاری از گزاره‌ها و استنتاج‌ها را مانند استنتاج فوق صورت‌بندی و تحلیل کرد.

متغیر زبانی احتمالی تعمیم چهار عمل اصلی برای اعداد فازی تعریف 3: یک قید زبانی، عملگری است که معنای یک ترم (مجموعه فازی) را تغییر می‌دهد. اگر A یک ترم باشد و m یک قید زبانی، آنگاه B= m(A) یک ترم مرکب است که نتیجه اعمال قید m بر ترم A است. الگوهای ریاضی رایج برای قیدهای زبانی : تمرکز(concentration) گسترش یا اتساع (dilatation) تشدید (Intensification) تعمیم چهار عمل اصلی برای اعداد فازی

الگوهای قبل به این نحو استفاده می‌شوند که چنانچه A یک ترم (مجموعه فازی) باشد، آنگاه داریم : (A خیلی) Very (A) = CON (A) (A کم و بیش) more or less A = DIL (A) (A بیش از) plus A = A1.25 (A کمی) slightly = INT [ Plus A not (very A)] تعریف4: متغیر زبانی X را ساخت‌یافته گوییم اگر مجموعه T(X) و معانی ترم‌های آن را بتوان توسط یک الگوریتم، مشخص کرد.

شکل 2 توابع سازگاری چند ترم از متغیر زبانی «احتمال»

مثال: فرض کنید X متغیر طول قد باشد و U=[0,250] و ترم (مجموعه فازی) بلند قد که آن را با A نشان می‌دهیم با تابع سازگاری (عضویت) زیر تعریف شده باشد. بلند قد در این صورت ترم‌های (مجموعه‌های فازی) بیانگر طول قد ”خیلی بلند“ و ”کم و بیش بلند“ دارای توابع سازگاری (عضویت) زیر خواهند بود خیلی بلند کم و بیش بلند

شکل 3 نمودار توابع سازگاری (عضویت) بلند، خیلی بلند و کم و بیش بلند مربوط به مثال قبل

منطق فازی ویژگی‌ها و سیمای اصلی منطق فازی که آن را از سیستم‌های منطق کلاسیک جدا می‌سازد، به شرح زیر است: در سیستم‌های منطق دو ارزشی، یک گزاره یا درست است و یا نادرست. در منطق‌های چند ارزشی، هر گزاره می‌تواند درست یا نادرست باشد و یا یک مقدار درستی میانه داشته باشد که این مقدار درستی می‌تواند عضوی از یک مجموعه متناهی یا نامتناهی مقادیر درستی T (معمولاً T= [0,1]) باشد. اما در منطق فازی مقادیر درستی، زیرمجموعه‌های فازی از [0,1] هستند. مثلاً «خیلی درست» یک مقدار درستی در منطق فازی است که به وسیله یک زیر مجموعه فازی از [0,1] تعریف و توصیف می‌شود. تابع عضویت این مجموعه فازی را که در موارد متفاوت می‌توان مختلف تعریف کرد، تابع سازگاری ”خیلی درست“ نیز می‌گوییم. در منطق‌های کلاسیک، محمول‌ها باید کاملا معین باشند. یعنی زیرمجموعه‌هایی مشخص (غیرفازی) از مجموعه مرجع باشند. مانند: بزرگتر از 10، فانی، پدر، ... ؛ در حالی که در منطق فازی، محمول‌ها می‌توانند فازی باشند مثلاً: بزرگ، سالم، بلند، سبک، ... .

در منطق‌های کلاسیک تنها دو سور عمومی و وجودی داریم در منطق‌های کلاسیک تنها دو سور عمومی و وجودی داریم. که به ترتیب بیانگر همه و بعضی (حداقل یکی) است. در مقابل، در منطق فازی می‌توانیم از سورهای فازی استفاده کنیم مانند: اکثر، خیلی، بندرت، خیلی کم، ... . در منطق کلاسیک تنها قیدی که معنای یک گزاره را تغییر می‌دهد قید نفی (نه، چنین نیست که) است. اما در منطق فازی می‌توان از قیدهای فازی برای تعدیل و تشدید و ... ، و به طور کلی تغییر معنای گزاره‌ها استفاده کرد. مانند قیدهای خیلی، کم و بیش، کمی، خیلی خیلی، ... . منطق کلاسیک یک وجه توصیفی دارد که همان وجه درستی گزاره‌هاست و هر گزاره یا استنتاج از جنبه درستی سنجیده می‌شود. در حالی که در منطق فازی سه وجه توصیفی به شرح زیر دارد: توصیف درستی. مانند آنکه بگوییم: گزاره P: ”احمد جوان است.“، تقریباً درست است. در اینجا گزاره P به وسیله یک توصیف درستی ارزیابی شده است. توصیف احتمالی. مانند آنکه بگوییم: گزاره P: ”احمد جوان است.“ تقریباً محتمل است. در اینجا گزاره P به وسیله یک توصیف احتمالی ارزیابی شده است. توصیف امکانی. مانند آنکه بگوییم: گزاره P: ”احمد جوان است.“ خیلی ممکن است. در اینجا گزاره P به وسیله یک توصیف امکانی ارزیابی شده است.

قوانین مقدماتی استنتاج فازی استدلال تقریبی مقدمه: اگر x، A باشد، آنگاه y، B است. مشاهده: x، A است. نتیجه: y، B است. قوانین مقدماتی استنتاج فازی قانون استلزام مثال: مریم خیلی جوان است. خیلی جوان زیر مجموعه جوان است. نتیجه: مریم جوان است.

قانون عطف مثال: قانون فصل مثال: هوا خیلی گرم نیست. و هوا خیلی سرد نیست. نتیجه: هوا نه خیلی گرم است و نه خیلی سرد قانون فصل مثال: فشار خیلی زیاد است. یا فشار خیلی کم است. نتیجه: فشار، خیلی زیاد یا خیلی کم است.

قانون حاصلضرب دکارتی مثال: قانون تصویر مثال: فشار زیاد است. دما متوسط است. نتیجه: (فشار و دما)، متوسط × زیاد است. قانون تصویر مثال: (X,Y) نزدیک به (7,3) است. نتیجه: X نزدیک به 7 است.

قانون ترکیب مثال: قانون نفی مثال: هوای کوهرنگ بسیار سردتر از هوای شهرکرد است. هوای شهرکرد سرد است. نتیجه: هوای کوهرنگ بسیار سردتر O سرد است. قانون نفی مثال: چنین نیست که فشار بالا است. نتیجه: فشار بالا نیست.

قانون (اصل) گسترش مثال: که در آن A یک مجموعه فازی در U به صورت زیر و f(A) نیز به صورت مجموعه فازی زیر است مثال: X کوچک است. نتیجه: X2، )2کوچک( است.

قانون قیاس استثنایی تعمیم یافته (GMP) : مقدمه if X is A then Y is B : مشاهده X is A : نتیجه Y is B مقدمه: اگر فشار بیش از 10 باشد، آنگاه دما بیش از 65° است. مشاهده: فشار بیش از 10 است. نتیجه: دما بیش از 65° است. مثال:

استنتاج فازی به وسیله قانون ترکیبی استنتاج (CRI) P1 : if X is A then Y is B P2 : X is A* Y is B* , B* = A* O R = A* O (A × B)

مثال: قانون فازی P1 و مشاهده P2 به صورت زیر داده شده‌اند P1: اگر در یک روز هوا بارانی (A) باشد؛ آن شب هوا مرطوب (B) است. P2: امروز هوا نیمه بارانی (A*) است. که در آن مجموعه‌های فازی (توزیع‌های امکان) بیانگر = A هوای بارانی و = B هوای مرطوب و = A* هوای نیمه بارانی از مجموعه‌های مرجع U و V زیر می‌باشند. برای سادگی، مجموعه‌های مرجع را گسسته اختیار کرده‌ایم. بنابراین فرض کنید هر مقدار بارندگی و یا درجه رطوبت به نزدیک‌ترین عدد از مجموعه مرجع خود گرد شود. مجموعه مرجع میزان بارندگی مجموعه مرجع درجه رطوبت بارانی مرطوب مشاهده (نیمه بارانی)

حال می‌خواهیم درباره میزان رطوبت هوای امشب استنتاجی انجام دهیم حال می‌خواهیم درباره میزان رطوبت هوای امشب استنتاجی انجام دهیم. یعنی یافتن یک مجموعه فازی B* از V که گزاره نتیجه زیر را کامل کند. امشب هوا .... (B*) است. بر اساس رابطه B* = A* O R باید ابتدا R و آنگاه A* O R را بیابیم. همانطور که گفته شد انتخاب‌های مختلفی برای رابطه استلزام R و عملگر ترکیب O در A*O R پیشنهاد شده است. ما در اینجا از دو عملگر رایج min و product استفاده کرده B* را محاسبه می‌کنیم.

استنتاج فازي به روش مقايسه الگو (PM) P1 : if X is A then Y is B P2 : X is A* Y is B* الف) روش افزايش تابع عضويت: ب) روش کاهش تابع عضويت: که در آن T‌ يک T-نرم مناسب به ويژه ضرب است. SM‌ ميزان مشابهت A‌ و A* يا ميزان زيرمجموعگي A* در A‌ است.

ميزان مشابهت برحسب فاصله تعریف1: فرض کنید A و B دو زیر مجموعه فازی (تعریف شده در m نقطه) از مجموعه مرجع متناهی گسسته X باشند. فاصله A و B به صورت زیر تعریف می‌شود که در حالت خاص برای P = 2 به صورت فاصله اقلیدسی در می‌آید همچنین اندازه دیگری برای فاصله A و B به صورت زیر تعریف می‌شود که در آن T- نرم دلخواه را می‌توان به کار برد.

تعریف2: با مفروضات تعریف پیشین، اندازه مشابهت A و B به صورت تابعی معکوس از فاصله A و B، و یا مکمل آن، تعریف می‌شود. یعنی یا که با استفاده از رابطه سوم در تعریف قبل برای برای اندازه فاصله، رابطه قبل بدین صورت در می‌آید:

مثال: فرض کنید X={ 1 , 2 , … , 10} و دو مجموعه فازی A و B از X به صورت زیر تعریف شوند. بنابر رابطه یک از تعریف یک داریم: همچنین از رابطه دو از تعریف یک و با در نظر گرفتن عملگر min به جای T-نرم داریم

ميزان زيرمجموعگي تعریف3: با مفروضات تعریف 1 میزان زیرمجموعگی A در B به صورت زیر تعریف می‌شود که در آن |A| عدد اصلی مجموعه A است. همچنین میزان فوق مجموعگی A نسبت به B، به صورت متمم میزان زیرمجموعگی تعریف می‌شود. یعنی از تعریف زیرمجموعگی معلوم می‌شود که در حالت خاص‌که ، داریم Q(A,B)=1 و نیز اگر . آنگاه Q(A , B) = Q(B , A) = 0.

مثال: برای دو مجموعه A و B به صورت زیر داریم: و لذا زیر مجموعگی A در B فوق مجموعگی A نسبت به B یعنی مجموعه A به اندازه 0.37 زیرمجموعه B است و بالعکس مجموعه B به اندازه 0.63 فوق مجموعه A است.