ČVRSTOĆA 16 IZVIJANJE

STABILNOST ELEMENATA KONSTRUKCIJA Svaka konstrukcija može biti podvrgnuta ne samo djelovanju zadanih i u proračunu predviđenih opterećenja, već i povremenih kratkotrajnih sila (udara) proizvoljnog pravca. Ravnotežni oblik konstrukcije mora biti takav da se ona uspješno opire djelovanju tih slučajnih opterećenja. To se naziva stabilnost konstrukcije, a ravnotežni oblik koji ima tu sposobnost zove se stabilni oblik ravnoteže (stabilna ravnoteža). Konstrukcija koja ima stabilan oblik ravnoteže dobiva nakon prestanka djelovanja slučajnih vanjskih opterećenja opet takav oblik ravnoteže. Sigurnost konstrukcije, čiji ravnotežni oblik nije stabilan, zapravo ne postoji, jer i najmanji vanjski uzrok može izazvati promjenu oblika, tj. deformaciju, koja zbog nepostojanja otpora može postati vrlo velika i izazvati raskid konstrukcije.

STABILNOST ELEMENATA KONSTRUKCIJA Kod konzole opterećene prema slici početni oblik ravnoteže, koji je potreban da bi takav sistem bio upotrebljiv kao nosač, jest ravni oblik savijanja. Taj će oblik ravnoteže biti stabilan do određene vrijednosti sile P, koja djeluje na konzolu. Kod velikih vrijednosti opterećenja tlačna naprezanja u donjim slojevima konzole bit će dovoljno velika da i pri djelovanju vrlo male bočne sile u rebro nosač izgubi prijašnji oblik ravnoteže.

STABILNOST ELEMENATA KONSTRUKCIJA Na slici shematski je prikazana deformacija cilindrične ljuske, koja je opterećena na tlak, uz pretpostavku da je P > Pk, što znači da će ljuska ostati trajno deformirana, prema slici.

STABILNOST ELEMENATA KONSTRUKCIJA Početni oblik ravnoteže konstrukcije (pravocrtni, kružni, ravni oblik savijanja) pri određenoj vrijednosti opterećenja prestaje biti stabilan. Ta se pojava naziva gubitak stabilnosti. Vrijednosti opterećenja pri kojima nastaje gubitak stabilnosti nazivaju se kritične vrijednosti opterećenja ili kraće kritična opterećenja. Popuštanje koje nastaje uslijed kritičnih opterećenja ima karakter iznenadne pojave, jer ne postoje nikakvi znakovi o predstojećem gubitku stabilnosti. U isto vrijeme sam proces porasta deformacija pri gubitku stabilnosti zbiva se vrlo brzo.

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA Najjednostavniji primjer gubitka stabilnosti jest kad pravocrtni oblik ravnoteže prizmatičnog štapa, koji je aksijalno opterećen na tlak, prestaje biti stabilan. Pri tome se nestabilni pravocrtni oblik neizbježno gubi i štap dobiva fleksioni oblik ravnoteže. Takva pojava gubitka stabilnosti naziva se izvijanje. Na slici shematski je prikazan prizmatični štap AB, koji je opterećen na tlak aksijalnom silom P. Slika b prikazuje slučaj kada je tlačna sila P manja od kritične sile Pk. Ovdje je pravocrtni oblik ravnoteže stabilan, što je naznačeno pravocrtnim odsječkom AB. Fleksiona deformacija, pokazana iscrtkanom linijom, ne može se održati, jer tlačna sila P nije dovoljno velika. Na slici c pokazano je kad je tlačna sila P dobila kritičnu vrijednost Pk. Sada je pravocrtni oblik ravnoteže nestabilan (iscrtkana linija) i zato će se uzdužna os štapa izviti (puna linija).

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA Slučaj a: Oba kraja štapa su zglobno vezana, a jedan se može pomicati u pravcu uzdužne osi štapa. Za štap učvršćen na krajevima s pomoću zglobova (a) kritična sila izvijanja određena je izrazom: To je Eulerova jednadžba za osnovni slučaj izvijanja štapa.

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA Slučaj b: Jedan kraj štapa je ukliješten, a drugi slobodan (b). Kritična sila za ovaj slučaj izvijanja određen je izrazom:

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA Slučaj c: Oba kraja štapa su ukliještena (najmanje jedan kraj štapa može se pomicati uzduž štapa). Kritična sila za ovaj slučaj izvijanja (c) određen je izrazom:

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA Slučaj d: Jedan kraj štapa je ukliješten, a drugi vezan zglobno i pomičan u uzdužnom pravcu. Kritična sila za ovaj (d) slučaj izvijanja određena je izrazom:

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA Dobiveni izrazi za Pk u posljednja tri slučaja (b), (c) i (d) mogu se izvesti neposredno iz izraza za Pk u slučaju (a) ako se u jednadžbi koja odgovara slučaju (a) umjesto l uvrsti 2l za slučaj (b), l/2 za slučaj (c) i 0,7l za slučaj (d). Daljnje analize mogu se svesti na slučaj (a), ako u izrazu za Pk umjesto l uvrstimo odgovarajuću reduciranu duljinu štapa, 2 l, l/2 ili 0,7 l. Označimo li: gdje konstanta k zavisi od načina učvršćenja krajeva štapa.

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA Eulerova formula za kritičnu silu može se napisati u poopćenom obliku: gdje je l0 slobodna duljina izvijanja štapa, razmak između dviju susjednih točaka infleksije njegove elastične linije (sinusna linija). Štap te duljine možemo onda smatrati štapom s poduprtim krajevima (slučaj a).

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA. EULEROVA KRITIČNA SILA Izrazimo li moment inercije pomoću radijusa inercije, prema izrazu: možemo Eulerov izraz za kritičnu silu napisati u obliku: Vidimo da kritična sila zavisi: a) od materijala štapa, b) od poprečnog presjeka štapa, c) od duljine štapa i d) od načina učvršćenja njegovih krajeva.

NESTABILNOST KAO UZROK PRELOMA ŠTAPA Krutost mnogih suvremenih konstrukcija znatno je manja nego onih od prije nekoliko desetljeća, jer danas tehnika raspolaže nizom visokootpornih metala i legura, što uz znatno usavršene metode proračuna, omogućuje da se težina elemenata takvih konstrukcija osjetno smanji. Posljedica smanjenja krutosti je povećavanje mogućnosti pojave nestabilne ravnoteže i izvijanja elemenata. Razmotrimo problem izbora savitljivog štapa, koji je opterećen na pritisak silom P. Sve dok je uzdužna os štapa pravocrtna, tlačno naprezanje σt određeno je relacijom:

NESTABILNOST KAO UZROK PRELOMA ŠTAPA Ako je materijal rastezljiv i ako želimo spriječiti pojavu plastičnih deformacija, moramo nastojati da bude zadovoljen uvjet: gdje je σ0 granica gnječenja. Osim na gnječenje potrebno je izvršiti provjeru kritične sile izvijanja:

NESTABILNOST KAO UZROK PRELOMA ŠTAPA Pri proračunu trebaju biti zadovoljene obje gornje jednadžbe. Taj zahtjev je prikazan u obliku dijagrama na slici, koji prikazuje zavisnost sile P od duljine štapa. Kombinacije vrijednosti P i l koje istovremeno zadovoljavaju uvjete, leže u neispruganom području koje je omeđeno linijom ABC. Za kratke štapove uvjet deformacija ograničuje dopušteno opterećenje, dok je za dugačke štapove mjerodavan uvjet stabilnosti. Prema tome, dijagram na slici pokazuje da prijelom štapa može nastupiti bilo zbog popuštanja materijala (gnječenje), bilo zbog izvijanja.

NESTABILNOST KAO UZROK PRELOMA ŠTAPA

KRITIČNO NAPREZANJE U Eulerovoj jednadžbi za veličinu kritične sile ne figurira naprezanje. Oblik presjeka obuhvaćen je samo u momentu inercije presjeka. Da bismo izrazili naprezanje podijelit ćemo obje strane te jednadžbe površinom presjeka F, pa imamo:

KRITIČNO NAPREZANJE Označimo li s, naprezanje izvijanja ili kritično naprezanje, a gdje je i = polumjer inercije i

KRITIČNO NAPREZANJE vitkost štapa dobit ćemo Eulerovu formulu u drugom obliku: Ta formula pokazuje da zavisi samo od svojstava materijala i od vitkosti štapa.

KRITIČNO NAPREZANJE Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu na glavne osi, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobivamo veću proračunsku vitkost:

KRITIČNO NAPREZANJE