MĂSURAREA ŞI ANALIZA VIBRAŢIILOR STRUCTURILOR ANALIZA DINAMICII SISTEMULUI ROTOR-LAGĂRE

GENERALITĂŢI Din marea clasă a maşinilor cu rotor fac parte următoarele subclase de maşini: turbine, generatoare, motoare, compresoare, pompe şi suflante. Deşi varietatea maşinilor cu rotor, ca tipuri şi dimensiuni, este mare chiar şi în cadrul aceleiaşi subclase de maşini, totuşi, ele au un element comun: rotorul. Rotorul este un subansamblu al acestor maşini, format dintr-un arbore pe care se găsesc unul sau mai multe discuri şi care execută o mişcare de rotaţie în jurul propriei axe. Acest element, aflat în mişcare de rotaţie, are proprietăţi dinamice specifice maşinilor cu rotor, care nu se întâlnesc la celelalte tipuri de maşini sau structuri. În funcţionarea maşinilor, rotorul este supus unor vibraţii de încovoiere şi de răsucire. Aceste vibraţii sunt dependente de geometria rotorului şi de tipul lagărului, precum şi, în egală măsură, de forţele excitatoare. Rotorul, în mişcare de precesie, excită propria fundaţie pe care este amplasat. Aceasta, la rândul ei, influenţează în mai mică sau mai mare măsură vibraţia rotorului. Complexitatea fenomenelor dinamice este mare dacă se ţine cont că asupra rotorului pot acţiona forţe hidro şi aerodinamice, câmpuri cu gradient variabil de temperatură şi presiune, câmpuri electromagnetice etc.

În continuare,sunt prezentate pe scurt principalele caracteristici ale dinamicii maşinilor cu rotor, comparativ cu cele ale sistemelor fără rotor. Toate fenomenele dinamice, care apar în timpul funcţionării maşinilor cu rotor, sunt strâns legate de mişcarea de rotaţie a rotorului, existând un transfer de energie din direcţia mişcării de rotaţie către cea de precesie. În timp ce, în cazul structurilor pasive, un mod de vibraţie este caracterizat de forma sa proprie, la structurile active, mişcarea de vibraţie a rotorului este definită de modul de precesie. De aceea, mişcarea de vibraţie a rotorului cuprinde două componente laterale, inseparabile, denumite componenta verticală şi, respectiv, cea orizontală a modului propriu de precesie. În cazul structurilor negiroscopice, noţiunea de frecvenţă negativă este lipsită de sens. În cazul maşinilor cu rotor, ea apare şi este reprezentată de frecvenţa cu care centrul geometric al unei secţiuni transversale a arborelui se roteşte în jurul axei lagărelor, sensul mişcării fiind în sens contrar mişcării de rotaţie a arborelui în jurul propriei axe. Acest tip de mişcare poartă numele de mişcare de precesie inversă. Dacă însă cele două mişcări de rotaţie, menţionate anterior, au loc în acelaşi sens, mişcarea rotorului se numeşte de precesie directă.

În dinamica maşinilor cu rotor, datorită existenţei în general a unor mici diferenţe, nesimetrii, a caracteristicilor sistemului pe cele două direcţii, verticală şi orizontală, modurile de precesie apar perechi - de exemplu: primul mod vertical şi primul mod orizontal. O altă trăsătură specifică structurilor cu rotor o constituie faptul că acestea au propria forţă perturbatoare, care apare ca urmare a existenţei maselor neechilibrate aflate în mişcare de rotaţie. Chiar dacă turaţia arborelui este de zeci de mii de rotaţii pe minut, la marea majoritate a maşinilor cu rotor sunt excitate numai primele două sau trei moduri proprii de precesie. Aceasta se explică prin faptul că ele corespund modurilor proprii ale rotorului, precum şi pentru că sunt în general slab amortizate. Ca urmare, în studiul dinamic al maşinilor cu rotor, importante sunt primele moduri proprii. Dacă în cazul structurilor fără rotor, atunci când se studiază un număr mare de moduri proprii de vibraţie, informaţiile referitoare la defazajul dintre excitaţie şi răspuns pot fi uneori neglijate, în cazul maşinilor cu rotor, ele trebuie luate mereu în considerare, acest defazaj fiind de fapt mărimea care face legătura dintre mişcarea de rotaţie şi cea de precesie (este folosit în general sub denumirea de semnal de fază).

În studiul dinamic de determinare a pulsaţiilor proprii ale structurilor fără rotor, amortizările pot fi neglijate. Neglijarea lor însă în cazul structurilor cu rotor ar duce la obţinerea de rezultate cu erori mari. Nesimetriile din sistem, introduse de efectul giroscopic al discurilor şi de forţele dinamice din lagăre şi etanşări, determină în modelarea maşinilor cu rotor apariţia matricelor nesimetrice, spre deosebire de stucturile negiroscopice, care sunt modelate prin matrice simetrice. Tipurile de lagăre folosite la maşinile cu rotor sunt: lagăre cu elemente de rostogolire, lagăre cu alunecare şi lagăre hidrostatice. Datorită proprietăţilor deosebite pe care le oferă: capacitate mare de încărcare, amortizări mari, durabilitate ridicată, cel mai des întâlnite sunt lagărele cu alunecare. Acestea, alături de efectul giroscopic al discurilor, fac ca pulsaţiile proprii ale sistemului rotor–lagăre să fie dependente de turaţia arborelui. Amortizarea introdusă de lagărele cu alunecare influenţează nu numai amplitudinea vibraţiei, dar chiar şi valorile pulsaţiilor proprii, iar neglijarea ei, aşa cum se procedează de multe ori în studiul dinamic al sistemelor fără rotor, ar duce la erori mari în calculul dinamic al maşinilor cu rotor.

Rotor elastic în lagăre rigide Fie un disc de masă m fixat pe un arbore care se roteşte cu viteza unghiulară constantă în două lagăre rigide. Constanta elastică a arborelui este considerată ca fiind mai mică de 10% din cea a lagărelor. Se consideră de asemenea că centrul de greutate al discului, punctul G, nu coincide cu centrul său geometric, punctul C, care însă coincide cu centrul secţiunii transversale a arborelui. Fie e distanţa între aceste două puncte şi se adoptă următoarele ipoteze simplificatoare: se neglijează masa arborelui şi toate forţele de frecare; când Ω=0 (arborele nu se roteşte), axa rotorului nu se deformează; constanta elastică a arborelui este: k=48EI/l3, unde: E este modulul lui Young, I – momentul de inerţie al secţiunii transversale a arborelui. Dacă discul se roteşte odată cu arborele, apare o forţă centrifugă mΩ2 care poate fi descompusă în două componente: una verticală şi una orizontală. Deci, discul va vibra în lungul celor două direcţii, iar mişcarea sa va fi în rezonanţă cu pulsaţia proprie a sistemului, deci atunci când viteza unghiulară Ω a arborelui va coincide cu pulsaţia proprie ω a sistemului aflat în repaus. Turaţia arborelui la care are loc acest fenomen de rezonanţă este cunoscută sub numele de turaţie critică.

La aceleaşi rezultate se poate ajunge utilizând principiul lui d'Alembert.

Ţinând cont de relaţiile de mai sus (după derivare şi înlocuire) se obţine: cu soluţia staţionară de forma: Concluzii: Conform relaţiilor de mai sus, se observă că punctul C, centrul geometric al discului, şi de asemenea şi punctul G, centrul de greutate al discului, pentru Ω = constant au o mişcare circulară dacă e ≠ 0, de raze |rC| şi |rG|. Deoarece segmentul şi rC şi rG pot fi scrise sub forma: rezultă că vectorii OC şi OG sunt coliniari, cu alte cuvinte, punctele O, C şi G sunt coliniare. Pentru Ω = constant, poziţia acestor trei puncte este fixă pe linia care le uneşte. Axa arborelui este deformată, dar are o poziţie fixă, care se roteşte în jurul axei OZ, tensiunile care apar în arbore în urma încovoierii fiind constante. Deoarece mişcarea punctului C în jurul axei lagărelor (axa OZ), se produce cu aceeaşi viteză unghiulară Ω ca şi mişcarea punctului G în jurul axei arborelui, mişcarea poartă numele de mişcare de precesie sincronă.

Pentru viteze de rotaţie inferioare celei critice, punctul C se găseşte între O şi G, în timp ce pentru viteze superioare celei critice, C este în exteriorul segmentului OG. În plus, C şi G sunt mereu de aceeaşi parte în raport cu O

Influenţa amortizării externe Soluţia generală are forma: -dacă nu există amortizare: -dacă există amortizare: Soluţia particulară a ecuţiei neomogene are forma: dar de această dată amplitudinea vectorului are o valoare complexă

Eliminând raportul Ω/ω între partea reală (rC)R şi cea imaginară (rC)I , se obţine o curbă polară (curbă de tipul Nyquist)

Rotorul elastic în lagăre elastice

Deci, rotorul simetric care este rezemat pe lagăre anizotrope are două turaţii critice

Dacă se introduce amortizare în lagăre: Deci, un calcul în care se neglijează amortizarea din lagăre va da rezultate eronate ale turaţiilor critice!

Efectul giroscopic al discului Turaţiile critice

Lagărele hidrodinamice

Coeficienţii dinamici ai lagărului hidrodinamic

Interacţiunea dintre rotor şi lagărul hidrodinamic Lagărele cu alunecare sunt superioare lagărelor cu rulmenţi în funcţionarea rotorilor de turaţii ridicate, oferind posibilităţi mari de amortizare, de încărcare şi realizând totodată frecări mici în ansamblul fus–lagăr. De aceea, lagărele cu alunecare sunt des utilizate în maşinile ai căror rotori au viteze de rotaţie mari, cum ar fi: turbine, pompe, compresoare, mărindu-le durata de viaţă şi asigurându-le o funcţionare silenţioasă. Aceste avantaje sunt atribuite caracteristicilor macanice ale filmului de ulei format în interstiţiul dintre cele două suprafeţe, a fusului şi, respectiv, a lagărului. În multe cazuri, caracteristicile dinamice ale lubrifiantului au efect deosebit de important asupra vibraţiilor fusului în lagăr. Astfel, dacă sistemul rotor–lagăr este proiectat corect, amplitudinea vibraţiilor datorate dezechilibrului masic poate fi mult redusă. Din contră, în urma unei proiectări incorecte, nu numai că amplitudinea vibraţiilor poate creşte, dar chiar pot apărea fenomene de instabilitate, cunoscute în literatura de specialitate sub denumirile oil whirl şi oil whip, care sunt vibraţii autoexcitate ale fusurilor rotorului în lagăre, fiind puternic influenţate de proprietăţile dinamice ale filmului de ulei. O mare atenţie trebuie deci acordată în evitarea apariţiei acestui fenomen, lucru în prezent posibil ca urmare a recentelor progrese obţinute în modelarea fenomenelor de lubrificaţie şi în dinamica rotorilor. Alături de fenomenele de instabilitate amintite mai sus, maşinile care lucrează la turaţii înalte mai prezintă şi alte tipuri de vibraţii autoexcitate, cum ar fi cele datorate forţelor aerodinamice, frecărilor interne sau unor neliniarităţi din sistem, care produc vibraţii subsincrone, cum ar fi de exemplu arborii cu secţiune nesimetrică sau unele frecări dintre arbore şi etanşări.

Utilizarea metodei elementelor finite în modelarea sistemului rotor-lagăre Avantajul metodei constă în modelarea relativ uşoară a sistemelor complexe rotor–lagăre–carcasă–fundaţie şi în posibilitatea de introducere a efectului giroscopic, a efectului forţei tăietoare şi a celei axiale, a momentelor torsionale, a îndoirii arborelui, precum şi a forţelor hidro şi aerodinamice.