ZNAČAJNE TAČKE I LINIJE TROUGLA Vojislav Petrović Departman za matematiku i informatiku, PMF Novi Sad vojpet@dmi.uns.ac.rs

ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/ ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html X(1)  X(5389) 2 2

 kružnica koja sadrži temena trougla 1. OPISANA KRUŽNICA opisana kružnica  kružnica koja sadrži temena trougla A C B Da li za svaki trougao postoji opisana kružnica? Ako postoji, koliko ih ima? Kako konstruisati opisanu kružnicu? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

TEOREMA 1.1. Za svaki trougao postoji opisana kružnica.   TEOREMA 1.2. Za svake tri nekolinearne tačke postoji tačka jednako udaljena od njih.   TEOREMA 1.3. Simetrale stranica svakog trougla seku se u jednoj tački.   TEOREMA 1.4. Simetrale dveju stranica svakog trougla seku se u jednoj tački. 4 4 4

Δ ABC k(A, B, C) O  centar r  poluprečnik  OA = OB = OC = r  sa  sb  sc = {O} A C B sb k  sa  sb = {O} sa O sc 5 5 5

  Dokaz T 1.4. pretp.  ΔABC , sa  sb (1) CB  sb  CB  sa (2)  (1), VE CB  sa (2)  (2) CA  CB CA  sb  A, B, C  kolinearne A C B sa sb O k   ABC  6 6 6

TEOREMA 1.5. Ako je O centar opisane kružnice oko ΔABC, tada je  BOC = 2α, COA = 2β,  AOB = 2γ.  B C A O O α β γ A B C A B C α β γ β γ 2α 2β 2α 180o 2β 2β O 2γ 2γ 2γ 7 7 7 7

TEOREMA 1.6. Neka je O centar opisane kružnice oko ΔABC i neka su Oa , Ob , Oc tačke simetrične tački O u odnosu na prave BC, CA, AB, redom. Tada je ΔOaObOc  ΔABC.  A B C Ob Oa O Oc 8 8 8

2. ORTOCENTAR TEOREMA 2.1. Prave određene visinama svakog trougla seku se u jednoj tački - ortocentru. Dokaz. c1(C) || AB b1(C) || CA a1(A) || BC c1  b1 = {A1} a1 b1  a1 = {C1} B1 C B A b1 A1 c1 a1  c1 = {B1} hc ABA1C , ABCB1  paralelogrami C  sredina A1B1 H  hc  sim. A1B1 hc  A1B1 . . . ha  sim. B1C1 C1 hb  sim. C1A1 T 1.3  ha  hb  hc = {H}  centar op. kružn. Δ A1B1C1  9 9 9 9

C B A A B C B C A H = H H TEOREMA 2.2. Ako je H ortocentar oštrouglog ili tupouglog ΔABC tada je svaka od tačaka A, B, C, H ortocentar trougla koji obrazuju preostale tri.  10 10 10

TEOREMA 2.3. Ako je H ortocentar oštrouglog ΔABC, tada je  BHC= 180o  α, CHA = 180o  β,  AHB = 180o  γ.  C B A B C A H H 11 11 11 11

TEOREMA 2.4. Tačke simetrične ortocentru trougla u odnosu na prave određene stranicama trougla pripadaju kružnici opisanoj oko trougla. Dokaz. BCHa = φ = BAHa = BCC' = 90o  β CBHa = θ = CAHa = CAA' = 90o  γ C B A Ha φ C' φ  ΔBCHa  ΔBCH (USU) A'  HA' = Ha A' Hb B' H θ θ  σBC (H) = Ha φ θ Hc . . . σCA (H) = Hb σAB (H) = Hc  12 12 12 12

TEOREMA 2.5. Tačke simetrične ortocentru trougla u odnosu na sredine stranica trougla pripadaju kružnici opisanoj oko trougla. Dokaz. P, Q, R  sred. BC, CA, AB σP (H) = HP  HP = HP P  BHPCH  paralelogram BP = C P  BHPC = BHC = 180o  α T 2.3 A C B HQ HP  HP  k(A, B, C) P . . . Q HQ  k(A, B, C) H HR HR  k(A, B, C) R  13 13 13

AHP , BHQ , CHR  prečnici k(A, B, C) Napomena. AHP , BHQ , CHR  prečnici k(A, B, C) P  sred. HHP A'  sred. HHa (T 2.4)  PA'  sred. linija  HHP Ha A B C Ha  PA'  HP Ha HP A' P  AHaHP =  AA'P = 90o H O AHP  prečnik k(A, B, C) . . . BHQ  prečnik k(A, B, C) CHR  prečnik k(A, B, C) 14 14 14

TEOREMA 2.6. Rastojanje od temena do ortocentra trougla dvaput je veće od rastojanja centra opisane kružnice od naspramne stranice. Dokaz. CH = 2OC1 (1) A C B O k T 2.5  HC1  CO = {D} Dk CD prečnik k H D OC1  sred. linija  HDC  (1) C1  Napomena. CH = 2OC1 15 15 15 15

TEOREMA 2.7. Neka je S tačka u unutrašnjosti oštrog aOb i neka su A' i B' njene normalne projekcije na krake a i b, redom. Ako su B" i A" normalne projekcije tačaka A' i B' na krake b i a, redom, tada je OS  A"B". O a b α Dokaz. aOb = α < 90o B SA'  b = {B} SB'  a = {A} B' θ OAB' = 90o  α = θ = OBA' B" θ OA'B" = OB'A" = θ S A ΔOA"B'  ΔOB"A' ΔOA'B  ΔOB'A θ θ A" A' OA" OB" OB' OA' = OA OB =  A"B"  AB (1) AS  b  BS  a  S  ortocentar ΔOAB  OS  AB  OS  A"B" (1) 16 16 16 

3. TEŽIŠTE TEOREMA 3.1. Težišne linije (duži) svakog trougla seku se u jednoj tački - težištu. Težište deli svaku težišnu liniju u odnosu 2 : 1 računajući od temena. C B A B1 A1 T C1 17 17 17 17

. . .  Dokaz. AA1  BB1 = {T} A1B1  sred. linija ΔABC B1A1 || AB B1A1 = AB 1 2 (1) B1 A1 A'  sred. AT B'  sred. BT (2) A'B'  sred. linija ΔABT T A'B' || AB A'B' = AB 1 2 A' B' (3) (1), (3)  B1A1 || A'B' B1A1 = A'B' C B A  A'B'A1B1  paralelogram C1  A' T = TA1 B'T = TB1 (4) (2), (4)  AT : TA1 = BT : TB1 = 2 : 1 (5) A1 T1 AA1  CC1 = {T1} . . . AT1 : T1A1 = CT1 : T1C1 = 2 : 1 (6) (5), (6)  T  T1  AT : TA1 = BT : TB1 = CT : TC1 = 2 : 1 18 18 18 18 

TEOREMA 3.2. Tačka T je težište ΔABC ako i samo ako je TA + TB + TC = 0 . Dokaz. () T  težište ΔABC A C B C1  sred. AB C  T  C1 CT = 2TC1 T  C1  D TC1 = C1D T TADB  paralelogram TA + TB = TD = 2TC1 =  TC C1 D TA + TB + TC = 0 A C B () XA + XB + XC = 0 (1) XA + XB = 2XC1 C1  sred. AB X (1)  XC =  2XC1 C1  C  X  C1 , CX = 2XC1  X = T 19 19 19 19 

Napomena. A1, A2, ... , An , n  1  proizvoljne tačke ! T TA1 + TA2 + ... + TAn = 0 T  težište sistema A1, A2, ... , An {A1, A2, ... , An} = A  B A  B =  |A| = k |B| = n  k T1  težište sistema A T2  težište sistema B T  težište sistema {A1, A2, ... , An} n  k B T1  T  T2 k A TT1 : TT2 = (n  k) : k  T1 T T2 n  k k TT1 = TT2  20 20 20

TEOREMA 3.3. Težišne linije dele trougao na 6 trouglova jednakih površina. Dokaz. P(ABC) = S A B C S 2 = C1 P(AC1C) = P(BC1C) (1) B1 A1 T P(AC1T) = P(AC1C) 1 3 S 6 = (1) T A C B C1 . . .  21 21 21

TEOREMA 3. 4. Neka je M tačka koja pripada unutrašnjosti ΔABC TEOREMA 3.4. Neka je M tačka koja pripada unutrašnjosti ΔABC. M je težište ΔABC ako i samo ako je P(ABM) = P(BCM) = P(CAM) . A B C Dokaz. () M = T  težište ΔABC M 1 3 = P(ABC) T 3.3  P(ABM) = P(BCM) = P(CAM) () M int ΔABC P(ABM) = P(BCM) = P(CAM) A C B  P(ABM) = P(BCM) = P(CAM) = P(ABC) 1 3 (1) a' b' x, y, z  rast. M od BC, CA, AB y M x c' (1)  x = ha , y = hb , z = hc 1 3 z Ma'  b'  c' = T  22 22 22

Napomena. Ako je M tačka u ravni ABC, takva da je P(ABM) = P(BCM) = P(CAM) , tada takvih tačaka ima 4! M2 A B C M1 M M3 23 23 23 23

 kružnica koja dodiruje sve stranice trougla 4. UPISANE KRUŽNICE upisana kružnica  kružnica koja dodiruje sve stranice trougla C A B Da li za svaki trougao postoji opisana kružnica? Ako postoji, koliko ih ima? Kako konstruisati opisanu kružnicu? 24 24 24 24

TEOREMA 4.1. Za svaki trougao postoji upisana kružnica.  TEOREMA 4.2. Simetrale unutrašnjih uglova svakog trougla seku se u jednoj tački  centru upisane kružnice.    TEOREMA 4.3. Simetrale dva unutrašnja ugla svakog trougla seku se u jednoj tački  centru upisane kružnice.  C A B r r S 25

TEOREMA 4.4. Ako je S centar upisane kružnice u ΔABC, tada je BSC = 90o + , CSA = 90o + , ASB = 90o + . α 2 β 2 γ 2  C A B S 26 26 26 26

TEOREMA 4.4. Neka simetrala  ACB seče kružnicu opisanu oko ΔABC u tački M. Tada je MS = MA = MB. Dokaz. γ 2 = ACM = BCM  M  sred. AB  MA = MB (1) ΔASC ASM = SAC + SCA C B A α 2 = γ + (2) k M S SAM = SAB + BAM α 2 = + BCM α 2 = γ + (3) (2), (3)  MA = MS (4)  (1), (4)  MA = MB = MS 27 27 27

spolja upisana kružnica  kružnica koja dodiruje jednu stranicu trougla i produžetke druge dve ka kb B C A kc 28

TEOREMA 4.5. Simetrala jednog unutrašnjeg ugla trougla i simetrale spoljašnjih uglova kod druga dva temena seku se u jednoj tački - centru spolja upisane kružnice.  ka B2 ra Sa A C B ra ra A1 C2 29 29 29 29

upisana i spolja upisane kružnice ka Sa kb A C B Sb S kc Sc 30

TEOREMA 4.6. Neka kružnica upisana u ΔABC dodiruje stranice BC, CA i AB redom u tačkama A1, B1 i C1 i neka spolja upisana kružnica ka dodiruje stranicu BC u tački A2 i produžetke stranica CA i AB u tačkama B2 i C2, redom. Tada je: (a) AC2 = AB2 = a + b + c 2 (b) BA2 = BC2 = CA1 = CB1 CA2 = CB2 = BA1 = BC1 (c) B1B2 = C1C2 = a. 31 31 31 31

ka B2 Sa C A1 B1 A2 S k A C1 B C2 32 32 32 32

(x + y) + (x + z) + (BA2 +CA2) = AB1 = AC1 = x BC1 = BA1 = y CA1 = CB1 = z (1) BA2 = BC2 CA2 = CB2 (2) AC2 = AB2  x + y + BC2 = x + z + CB2  x + y + BA2 = x + z + CA2 (2) (3) x + y + BA2 + x + z + CA2 = (x + y) + (x + z) + (BA2 +CA2) = A B C a + b + c = 2(x + y +z) (4) B2 (2), (3)  x + y + BA2 = (a + b + c) 1 2 Sa = x + y +z  BA2 = BC2 = z (5) A1 B1 ka (2), (3)  x + z + CA2 = x + y + z A2 S k  CA2 = CB2 = y (6) C1 C2 33 33 33

 = (a + b +c) (a) (3), (4), (5), (6)  AC2 = AB2 = x + y + z (b) 1 2 (a) (3), (4), (5), (6)  AC2 = AB2 = x + y + z (b) (5)  BA2 = BC2 = CA1 = CB1 = z (6)  CA2 = CB2 = BA1 = BC1 = y (c) (5) , (6)  B1B2 = C1C2 = y + z = a B C A S Sa B2 A2 C2 ka C1 B1 A1 k x y z  34 34 34 34

5. OJLEROVA PRAVA TEOREMA 5.1. Ortocentar H, težište T i centar opisane kružnice O leže na jednoj pravoj (Ojlerova prava) ili se poklapaju ( jednakostraničan trougao). Ukoliko trougao nije jednakostraničan važi H  T  O i HT = 2 TO. C A B C A B T O H H = T = O 35 35 35 35

 Dokaz. C1  sred. AB T 2.6  CH = 2OC1 (1) CC1  HO = {X} CHX  C1OX = 2 : 1 (1) CX : C1X = HX : OX = CH : C1O X = T O H CX : C1X = 2 : 1  X = T HTO  Ojlerova prava C1  36 36 36 36

6. OJLEROVA KRUŽNICA TEOREMA 6.1. Podnožja visina, sredine stranica i sredine duži koje spajaju temena trougla sa ortocentrom pripadaju jednoj kružnici  Ojlerova kružnica ili kružnica 9 tačaka. A C B H 37 37 37 37

. . . Dokaz.  B1 A1 AB  B1 A1  sr. linija ΔABC (1)  A2 B2 AB  A2 B2  sr. linija ΔABH (2) (1), (2)  B1A1 A2 B2   A1 B1 A2B2  paralelogram (3) B1 A2  sr. linija ΔAHC  B1 A2  CH (4) A C B CH  AB (5) (2), (3), (4), (5)  A1 B1 A2B2  pravougaonik B' A' C' C2 A2 B2  A1 A2 = B1 B2 (6) A1 C1 B1 A1 A2  B1 B2 = {G}  zajedn. sredina (7) H G . . . A1 C1 A2 C2  pravougaonik  A1 A2 = C1 C2 (8) A1 A2  C1 C2 = {G1}  zajedn. sredina (9) (6), (7), (8), (9)  A1 A2 = B1 B2 = C1C2 , G  G1  A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2  k(G; A1 A2) 1 2 38 38 38

. . .  G  centar op. kružnice za ΔA2 A1 A'  A'  k(G; A1 A2) B G  centar op. kružnice za ΔA2 A1 A'  A'  k(G; A1 A2) 1 2 C2 A' . . . B1 A1 B' H G 1 2 B'  k(G; B1 B2)  k(G; A1A2) 1 2 1 2 C'  k(G; C1 C2)  k(G; A1A2) 1 2 A2 B2 C' C1  A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , A', B', C'  k(G; A1 A2) 1 2  39 39 39

TEOREMA 6.2. Neka su O i H redom centar opisane kružnice i ortocentar ΔABC i neka je k'(G; r) Ojlerova kružnica za ΔABC. Tada je G sredina duži OH i r = R, gde je R poluprečnik opisane kružnice. 1 2 Dokaz. T 2.6  OC1 = C2 H = CC2 (1) A B C  C1OC2H  paralelogram C2 C1C2  OH = {X} R X  sred. C1C2 i OH (2) r O H G T 5.2  G  sred. C1C2 (3) (2), (3)  X = G C1 (1)  C1OCC2  paralelogram  C1C2 = OC = R  2r = R  r = R 1 2  40 40 40

TEOREMA 6.3. Ako je H ortocentar oštrouglog ili tupouglog ΔABC, tada se Ojlerove kružnice trouglova ABC, ABH, BCH i CAH poklapaju. Dokaz. kABC = k(A', B' C', A1, B1, C1, A2, B2, C2)  Ojlerova kružnica ΔABC T 2.2  C  ortocentar ΔABH kABH = k(B', A', C', B2, A2, C1, B1, A1, C2)  kABC A C B A1 C1 B1 C2 A2 B2 A' B' C' H slično kBCH  kABC kCAH  kABC  41 41

TEOREMA 6.4. Kružnica opisana oko trougla sadrži središta duži koje spajaju centar upisane kružnice s centrima spolja upisanih kružnica u trougao. Dokaz. S  centar upisane kružnice ka Sa , Sb , Sc  centri spolja upisanih kružnica A B C SSa  ka = {K} Sa kb SSb  kb = {L} K Sb k L SSc  kc = {M} S ASa  Sb Sc BSb  Sc Sa CSc  Sa Sb kc  ASa, BSb , CSc  visine ΔSa Sb Sc M  S  ortocentar ΔABC Sc  k(A, B, C)  Ojl. kružnica ΔABC  K, L, M  sred. SSa, SSb, SSc  42 42

TEOREMA 6.5. (Feuerbach, 1822) Ojlerova kružnica dodiruje upisanu i sve tri spolja upisane kružnice u trougao.  A S C B Sc Sb Sa 43 43 43 43

7. FERMAOVA TAČKA TEOREMA 7.1. Neka je ABC proizvoljan trougao i neka su BCA', CAB', ABC' jednakostranični trouglovi, takvi da tačke A', B' C' leže sa onih strana pravih BC, CA, AB sa kojih nisu temena A, B, C, redom. Tada se prave AA', BB', CC' seku u tački F  Fermaovoj tački ΔABC. A' A' A' B' B' A B C B' F A B C = F A B C F C' C' C' α, β, γ < 120o γ = 120o 44 44 44 44 γ > 120o

LEMA 7.1. (Čeva, 1678) Neka je ABC proizvoljan trougao i neka su X, Y, Z, tačke na pravama BC, CA, AB, redom, tako da nijedna nije teme ABC. Prave AX, BY, CZ se seku u jednoj tački ili su sve tri paralelne ako i samo je BX XC CY YA AZ ZB . = 1.  Y X X A B C A B C A B C Y X Y Z Z Z 45 45 45 45

LEMA 7. 2. Neka su ABC i ABD trouglovi sa površinama P1 i P2 LEMA 7.2. Neka su ABC i ABD trouglovi sa površinama P1 i P2. Ako prava CD seče pravu AB u tački S, tada je P1 : P2 = CS : DS.  A C B hc A B C hc D hd D S hd S P1 : P2 = hc : hd = CS : DS 46 46 46

. . . . . .  Dokaz teoreme 7.1. AA'  BC = {K} BB'  CA = {L} CC'  AB = {M} PBCB' = PA'CA = P1 (1) A' PCAC' = PB'AB = P2 PABA' = PC'BC = P3 B' B C A K L BK KC CL LA . AM MB . BK KC CL LA . AM MB . = F C' M P3 P1 P1 P2 . P2 P3 . = L 7.2, (1) = 1 L 7.1  AA'  BB'  CC' = {F}  47 47 47

8. NAPOLEONOVA TAČKA ΔBCA' , ΔCAB' , ΔABC'  jednakostranični Ao  centar ΔBCA' Bo  centar ΔCAB' B' B C A Ao Co  centar ΔABC' Bo N AAo  BBo  CCo ={N} C' N  Napoleonova tačka za ΔABC Co 48 48

ΔAoBoCo , ΔA1B1C1  jednakostranični Napomena. ΔAoBoCo , ΔA1B1C1  jednakostranični P(AoBoCo)  P( A1B1C1) = P(ABC) A' C" A B C Ao A B C B' Bo A" B" C1 B1 C' A1 Co 49 49

Da li važi za spolja pripisane n-uglove za svako n  3? F Da li važi za spolja pripisane n-uglove za svako n  3?

ΔBCA'  ΔCAB'  ΔABC'  jednakokraki DA ΔBCA'  ΔCAB'  ΔABC'  jednakokraki AA'  BB'  CC' ={M} C B A A' θ φ θ φ B' C' M θ φ θ Dokaz. Kao za Fermaovu tačku F.

9. ŽERGONOVA TAČKA k  kružnica upisana u ΔABC k  BC = {P} k  CA = {Q} k  AB = {R} AP  BQ  CR = {X} X  Žergonova tačka za ΔABC A C B P k Q S X R 52 52

10. NAGELOVA TAČKA ka, kb, kc  spolja upisane kružnice u ΔABC P1, Q1, R1  tačke dodira sa BC, CA, AB ka AP1  BQ1  CR1 = {X1} kb A C B X1  Nagelova tačka za ΔABC Q1 X1 P1 kc R1 53 53