ارائه دهندگان اعظم خیرالهی مریم خضریان سحر سلیمانی

THE CANONICAL ENSEMBLE CHAPTER 3 THE CANONICAL ENSEMBLE

فهرست 1-3- تعادل بین سیستم و منبع حرارتی 2-3- سیستم در آنسامبل کانونی 3-3- معنی فیزیکی کمیات آماری گوناگون در آنسامبل کانونی 4-3- پیشنهاد رابطه برای تابع پارش 5-3- سیستم های کلاسیکی 6-3- افت و خیز انرژی در آنسامبل کانونی: ارتباط با آنسامبل میکروکانونی 7-3- دو قضیۀ " همپارش" و "ویریال” 8-3- سیستم نوسانگر هارمونیک 9-3 آمار پارامغناطیس

اجرا

پـایـان خروج

2- مقدمات رياضی يادآوری بعضی از عمليات روی توابع مختلط: 1-شرط کوشی ريمان برای مشتق پذيری تابع مختلط f(z) 2-بعضی تعاريف 3-قضيه انتگرال کوشی 4-بسطهای تيلور و لوران در فضای مختلط 5-حساب مانده ها 6- روش سريعترين کاهش برگشت

2-1)شرط کوشی ريمان برای مشتق پذيری تابع مختلط :f(z) برای آنکه f(z)مشتق پذير باشد,می بايست δz از هر مسيری به صفر نزديک شود عبارت بالا برقرار باشد : از دو مسير زير عمل می کنيم:

شرط مشتق پذيری کوشی برای f(z) داريم: (I) (II) (II) = (I) شرط مشتق پذيری کوشی برای f(z)

2-2) بعضی تعاريف 1-تابع تحليلی: اگر تابع f(z)در نقطه z=z0مشتق پذير باشد،در اين نقطه تحليلی است. 2-تابع مختلط تام: اگر تابع f(z) در تمام صفحه مختلط مشتق پذير(تحليلی) باشد،مختلط تام است. 3-نقطه تکين: اگر تابع f(z)در نقطه z=z0مشتق پذير نباشد، اين نقطه ،تکين است. 4-پربند: عبارتست از منحنی مسير انتگرال گيری 5-ناحيه همبند ساده: ناحيه ای در صفحه مختلط است که تابع روی آن تحليلی است. 6-ناحيه همبند چندگانه: اگر قسمتی از مسير يا داخل مسير برای تابع در يک ناحيه تعريف نشده باشد.

2-3)قضيه انتگرال کوشی نتيجه انتگرال کوشی: قضيه: اکر تابع f(z)،در تمام ناحيه محدود به منحنی مسيرو روی مسير انتگرال گيری تحليلی باشد آنگاه: نتيجه انتگرال کوشی: انتگرال خطی توابع تحليلی فقط تابع نقاط ابتدایی و انتهایی است و به مسير وابسته نيست.

تعميم به ناحيه همبند چند گانه: داريم: وبا فرض آنکه A,f,C,Dبسيار نزديک باشند: ولذا انتگرال به مسير بستگی ندارد.

با استفاده از عدم وابستگی انتگرال ذکر شده به مسير، می توان ثابت کرد:

بسط های تيلور و لوران توابع مختلط با استفاده از انتگرال کوشی و تعريف حدی مشتق در فضای مختلط ،می توان نشان داد مشتق nام تابع در نقطه z0عبارت است از: می توان ثابت کرد که اگر f(z)در يک مسير حول z0تحليلی باشد، می توانf(z)را حول z0بسط داد که آن را بسط تيلور f(z)مي ناميم:

اما اگر در ناحيه انتگرال گيری ناحيه ممنوعه(ناحيه ای که تابع در آن غير تحليلی است) وجود داشته باشد،می توان ثابت کرد،برای بسط حول نقطه z0،برای نواحی که به صورت طوقه ای تحليلی اند،بايستی از بسط لوران استفاده کرد.در واقع بسط لوران تعميم بسط تيلور در حضور تکينگيهاست:

2-5)حساب مانده ها: اگر تابعf(z) را به صورت زير بنويسيم،اين تابع در z=z0دارای تکينگی است. عبارتست از: ضريب در بسط لوران f(z)حول z0 است و مانده f(z)در z0خوانده می شود.

اثبات: کافيست از بسط لوران روی يک منحنی بسته انتگرال بگيريم:

2-6)روش تند ترين کاهش: اين روش يکی از راههای بررسی رفتار مجانبی يک تابع است. اگر بتوان تابع مورد بررسی را به فرم انتگرالی زير نوشت: آنگاه با فرض حقيقی بودن s وانتخاب پر بند cبه گونه ای که يا f(z)در هر دو سوی منحنی c به صفر ميل کند يا پربند بسته باشد،وبا فرض آنکه جزء نمايی انتگرالده بر عامل g(z) غالب باشد،داريم: بررسی کيفی: اگر s >> 0 ، هر جا جزء حقيقی f(z)بزرگ باشد انتگرالده بزرگ است و هر جا جزء حقيقی f(z) کوچک يا منفی باشد،انتگرالده کوچک است . در رفتار مجانبی با فرض بزرگ بودن f(z)وs،تمام سهم انتگرالده در انتگرال ،از ناحيه ای خواهد بود که در آن جز حقيقی f(z)،يک مقدار ماکزيمم به خود می گيرد.انتگرالده در نواحی دور از اين ماکزيمم مثبت،تا حد چشمپوشی کوچک است.

توصيف محاسباتی و معرفی نقطه زينی: فرض:در ناحيه ای که uماکزيمم است v ثابت است.اين فرض با توجه به کوچکی زياد انتگرالده در نواحی دور از ماکزيمم برای u،قابل قبول است،زيرا در اين نواحی ،تغييرات عامل فاز نقش زيادی نمی تواند داشته باشد.در اين حالت داريم: لذا ماکزيمم برای انتگرالده در ماکزيمم u رخ می دهد.در اين حالت داريم:

و برای ماکزيمم بودن در اين نقطه: وبا توجه به شرط کوشی: لذا z0يک مکان وقوع اکسترمم برای f (z)و در نتيجه برای I(s)است.

منظور از ماکزيمم بودن u،تنها ماکزيمم بودن در يک پربند خاص است منظور از ماکزيمم بودن u،تنها ماکزيمم بودن در يک پربند خاص است.در صفحه متناهی ،نه جزٕء حقيقی uو نه جزء موهومی v،برای تابع تحليلی مورد نظر،هيچ يک ماکزيمم مطلق نمی سازند. می توان با استفاده از رابطه کوشی نشان داد که uوvدر معادله لاپلاس صدق می کنند و تقعر های uوv نسبت به متغير های xوy،همواره قرينه اند.لذا uوvدر يک,y) (xخاص ،هيچ يک ماکزيمم يا مينيمم مطلق نمی سازند.اين در حاليست که f(z)در ناحيه تحت بررسی،نقطه تکينی نيزندارد. لذا با توجه به نمودار ،يک نقطه زينی(saddle point)در z=z0داريم که ممکن است برای يک پربند،يک ماکزيمم برای u،وبرای پربند ديگری برای u يک مينيمم بسازد.

سريعترين کاهش برای u: چنانچه شيب نمودار ها برای(x,y) uوv(x,y)در هر نقطه (x,y)درون پربند را با گراديانهايشان معرفی کنيم،می توان با استفاده از شرط کوشی برای هر نقطه (x,y)درون پربند مذبور نشان داد،نمودارهای uوvدرآن نقطه بر هم عمودند. لذا می توان گفت در هر نقطه ازf(z)،uوvبر هم عمودند.ونيز ميتوان گفت :(u=cte)و(v=cte)،يک دستگاه متعامد می سازند.پس می توان گفت:منحنی (v=cte)همه جا بر شيب u،يعنی گراديان v،عمود است. لذا با توجه به نمودار، سريعترين کاهش برای uروی پربندی رخ می دهد که از z0که نقطه زينی روی آن است، گذشته و vطی آن ثابت باشد(v=cte). پايان مقدمه رياضی

3-تعيين مقدار ميانگين با استفاده از روش سريعترين کاهش پيش تر بيان کرديم: اکنون می خواهيم با بررسی رفتار مجانبی برای <nr>،با روش تند ترين کاهش نشان دهيم که عبارت زير با تقريب بسيار خوبی برقرار است:

ابتدا می بايست مقدمات را به گونه ای فراهم کنيم که بتوانيم روابط موجودرا به فضای مختلط نگاشت داده و سپس از روش تند ترين کاهش موضوع را بررسی کنيم.لذا گامهای زير را در نظر می گيريم: گام اول: در عبارت مربوط به ،مقدار را ضرب کرده و آنرا می ناميم. داريم: البته در پايان هر يک از ها را برابر 1 قرار می دهيم لذا با اين فرض در واقع مقدار wرا تغيير نداده ايم. (3’) گام دوم: يک تابع به صورت روبرو تعريف می کنيم: اکنون می توان رابطه (3)را اينگونه باز نويسی کرد: (4)

اما وجود شرط دوم ما را به مجموعه های خاصی از محدود میکند. زيرا: و اگر را بدين صورت بازنويسی کنيم،آنگاه تنها چيزی که نياز داريم چگونگی وابستگی به ها است. (5) بسط چند جمله ای نیوتن اما وجود شرط دوم ما را به مجموعه های خاصی از محدود میکند.

گام سوم: گام چهارم: (8) بررسی موضوع در روش داروين وفاولر موسوم به روش سريعترين کاهش : گام سوم: يک تابع مولد G(N,Z)برای مقدار در نظر ميگيريم : (6) (7) با توجه به شرط دوم انرژی ما را به يکسری از مجموعه های خاص محدود می کرد. ازسوی ديگر،با نوشتن Gبه صورت بالا،محدوديت انرژی برداشته می شود پس فقط کافيست جمع رویمجموعه ها انجام شوديعنی فقط جمله داخل کروشه.و با توجه به بسط چند جمله ای نيوتن ميتوان نوشت : گام چهارم: (8)

اگر NUعدد صحيحی باشد،رابطه (6)بيانگر بسط لوران تابع G(N,U) حول است. گام پنجم: واحد انرژی را به اندازه ای کوچک در نظر می گيريم که NU عددی صحيح شود. لذا در اين حالت،(6) بيانگر بسط لوران G است ولذا از حساب مانده ها داريم: (9) که در آن پربند حول مبدا( )در نظر گرفته می شود.

می خواهيم برای رفتار مجانبی را بررسی کنيم می خواهيم برای رفتار مجانبی را بررسی کنيم . برای می توان يک نقطه زينی در نظر گرفته و از روش سريعترين کاهش استفاده کرد.ابتدا رفتار انتگرالده را بررسی می کنيم. با حرکت در راستای محور حقيفی مثبت برای انتگرالده داريم: همواره صعودی است.لذا در يک مقدار ی از z که آنرا x0می ناميم يک مينيمم دارد وهيچ اکسترمم ديگری ندارد. لذا در اين نقطه بايد مشتق اول صفر ومشتق دوم مثبت باشد.اين مينيمم به دليل بزرگیNوU بسيار تند است. با توجه به مطالب مقدمه رياضی،انتظار داريم برای يک مسير موازی با محور موهومی که از X0عبور کند(معادل با v=cteدر مقدمه)،انتگرالده يک ماکزيمم (و هيچ اکسترمم ديگری )در x0داشته باشد،لذا می توان x0 را يک نقطه زينی به حساب آورد. اکنون با انتخاب پربند انتگرال به صورت دايره ای به شعاع x0،وبا توجه به وجود سريعترين کاهش برای انتگرالده در x0، انتظار داريم انتگرالده در x0توزيع حاکم در انتگرال را بدهد.

گام ششم: ابتدا بايد x0(مکان نقطه زينی)را بيابيم. فرض می کنيم: (10) که البتهاين فرض با توجه رشد انتکرالده منطقی به نظر می رسد. لذا داريم: (11) (12) از سوی ديگر: از (10) واضح است که:

لذا داريم: (13) (14)

از آنجا در مجاسبات خود از g’’(x0)،استفاده خواهيم کرد،آن را هم محاسبه می کنيم: با بسط g(z) حول z=x0 در راستای انتگرال گيری يعنی z=x0+iy يا همان مسير سريعترين کاهش،(موازی با محور موهومی) داريم: (16)

از طرفی: لذا با توجه به بالا و جايگذاری معادله (16) در (9) داريم: لذا: (17)

اگر از دو طرف ln گرفته و بر N تقسيم کنيم: (18) If: and: لذا داريم: (19)

گام هفتم: فرض می کنيم: (20) و با جايگذاری f(x)و استفاده از بالا داريم: فرض می کنيم: (20) و با جايگذاری f(x)و استفاده از بالا داريم: (21) اکنون با استفاده از (4)و توجه به رابطه (24) ، برای يک مقدار ثابت U، به انتخاب بستگی دارد.داريم:

با توجه به (21)و(4) داريم: (22) می توان نشان داد عبارت درون کروشه مقدار ی بسيار کوچک وقابل چشمپوشی است.لذا با صرف نظر از اين جملات وتوجه به داريم: (23) که همان چيزيست که در پی آن بوديم. (24)

اکنون می خواهيم دليل صرف نظر از جملات درون کروشه را نشان دهيم. برای اين امر ،نشان مي دهيم افت وخيز نسبی ) ( برای در حد بسيار کوچک است و به سمت صفر ميل می کند. برای اين امر داريم: و نيز: (25)

می توان نوشت: (26) زيرا:

داريم: لذا نهايتا داريم: (27) A

با دقت در عبارت روبرو ،و با توجه ،عبارت درون کروشه صفر خواهد بود ، زيرا: (28) اما اگر به طور صوری بگذاريم وابستگی به ها همچنان برفرار باشد،می توان به توجه به (28)و(23) نوشت: (29) اکنون می توان رابطه (27) را به شکلی جديد باز نويسی کرد:

برگشت داريم: (30) لذا برای نوسان نسبی در داريم: که در آن: لذا برای نوسان نسبی در داريم: که در آن: لذا افت و خيز نسبی حول مربوط به محتمل ترين حالت( )، به صفر ميل می کند،يعنی توزيع حالتها برای آنسامبل کانونيک بسيار تيز می شود و هر حالت غير از محتمل ترين حالت، هر چند هم نزديک به محتمل ترين حالت باشد،احتمالی نزديک به صفر دارد.لذا اينکه در محاسبات تنها محتمل ترين حالت را در نظر بگيريم ،صحيح است. برگشت