4η Εβδομάδα έγινε την 5η: 1η Διάλεξη 5-3-2018 έγινε 12-3-2018 Ελένη Κανδηλώρου
Παράδοση Λύση άσκησης. Μέθοδοι σημειακής εκτίμησης: Ροπών, Ελαχίστων Τετραγώνων, Μεγίστης Πιθανοφάνειας.
Λύση της άσκησης Πρόβλημα Αμερόληπτη εκτίμηση του μέσου? Δείγμα Χ1=6,7 Χ2=7,0 ... Χ9=6,0 Ζητούμενο Για να βρεθεί μια αμερόληπτη εκτίμηση θα πρέπει η εκτιμήτρια του μέσου να είναι αμερόληπτη
Λύση Ε (Χ) = Ε {(1/n) ΣΧi } = (1/n) * E [ΣΧi ] = (1/n) μ * n = μ Αμερόληπτη εκτίμηση: Χ = {(6,7+7,0+...+6,0)/9} = (63/9) = 7
Μέθοδοι Σημειακής Εκτίμησης Μέθοδος: Ροπών, Ελαχίστων Τετραγώνων, Μεγίστης Πιθανοφάνειας. Κάθε μια από τις μεθόδους αυτές οδηγεί σε εκτιμήτριες με επιθυμητές ιδιότητες.
Μέθοδος Ροπών Ορισμός: Η ροπή r τάξης μιας τ.μ. oρίζεται η συνάρτηση, μ r = Ε (Χ r) δεδομένου ότι υπάρχει αυτή η μέση τιμή. Ένα τ.δ. Χ1, Χ2, ..., Χn Μπορούμε απ’ αυτό να ορίσουμε την ροπή r τάξης του δείγματος:
Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην εξίσωση μερικών από τις 1ες ροπές του πληθυσμού με τις τιμές των αντίστοιχων ροπών ενός τ.δ.
Έχουμε τόσες ροπές (εξισώσεις) όσο είναι & ο αριθμός των παραμέτρων που θέλουμε να εκτιμήσουμε. μ r = m r r = 1, 2, …, kεξισώσεις Άρα, Ε(Χr) = [ (1/n) Σ Χir ]
Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους μ & σ2 της κανονικής κατανομής με τη μέθοδο των ροπών. Δεδομένα: x ~ Ν (μ, σ2) 2 αγνώστους = 2 εξισώσεις/ροπές μ & σ2 Ζητούμενο: εκτίμηση των παραμέτρων μ & σ2
Λύση Έχουμε: Έστω το τ.δ. : (Χ1, Χ2, ..., Χn ) Οι αντίστοιχες δειγ/κές ροπές είναι:
Όσες εξισώσεις (ροπές) = τόσοι άγνωστοι 1η εξίσ.: μ = Χ (διότι, μ1= m1) 2η εξίσ.: ??? Η επόμενη εξίσωση: ???
± n X2
Δηλαδή: