ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 10-11ο Εφαρμογές παραγώγων – Βελτιστοποίηση οικονομικών συναρτήσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: κατανοείτε τη μονοτονία μιας συνάρτησης, υπολογίζετε τα ακρότατα σημεία μιας συνάρτησης, υπολογίζετε τα σημεία καμπής μιας συνάρτησης, αντιλαμβάνεστε τις έννοιες της βελτιστοποίησης οικονομικών συναρτήσεων.

Ορισμός Μια συνάρτηση 𝑓:𝐴 𝐵 θα λέγεται φθίνουσα αν 𝑓 𝑥 1 ≥ 𝑓 𝑥 2 ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈𝐴 𝜇𝜀 𝑥 1 < 𝑥 2 Μια συνάρτηση 𝑓:𝐴 𝐵 θα λέγεται αύξουσα αν 𝑓 𝑥 1 ≤ 𝑓 𝑥 2 ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈𝐴 𝜇𝜀 𝑥 1 < 𝑥 2

Κριτήριο πρώτης παραγώγου Έστω η συνάρτηση 𝑓:[𝑎,𝑏] 𝑅 τότε η f είναι αύξουσα στο [α,b] αν και μόνο αν 𝑓′(𝑥)≥0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏 η f είναι φθίνουσα στο [α,b] αν και μόνο αν 𝑓′(𝑥)≤0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏 Αν f’(x)>0 (αντίστοιχα f’(x)<0) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα).

Παράδειγμα 1 Έστω η συνάρτηση 𝑓 𝑥 = − 𝑥 3 +15 𝑥 2 −27𝑥+50 Να εξεταστεί η μονοτονία της. Επίλυση Είναι πεδίο ορισμού D(f)= R Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο 𝑓 ′ 𝑥 = − 𝑥 3 +15 𝑥 2 −27𝑥+50 ′ =−3 𝑥 2 +30𝑥−27= −3( 𝑥 2 −10𝑥+9) Βρίσκουμε τις ρίζες της πρώτης παραγώγου. Δηλαδή πότε f’(x)=0

Παράδειγμα 1 Δ=102-4(1)(9)=100-36=64 Άρα είναι 𝑥 1 = 10+ 64 2(1) = 10+8 2 =9 και 𝑥 2 = 10− 64 2(1) = 10−8 2 =1 Οπότε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου υπολογίζεται από τον πίνακα

x -∞ 1 9 +∞ (x-1) (x-9) f’(x)=-3(x2-10x+9) f(x)

x -∞ 9 +∞ (x-1) - + (x-9) f’(x)=-3(x2-10x+9) f(x)

x -∞ 1 9 +∞ (x-1) - + (x-9) f’(x)=-3(x2-10x+9) f(x)

x -∞ 9 +∞ (x-1) - + (x-9) f’(x)=-3(x2-10x+9) f(x) Φθίνουσα Αύξουσα

Παράδειγμα 2 Έστω η f(x)=x2+5x+6 Είναι πεδίο ορισμού D(f)= R Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 2 +5𝑥+6 ′ =2𝑥+5 Βρίσκουμε τις ρίζες της πρώτης παραγώγου. Δηλαδή πότε f’(x)=0 Είναι 𝑥=− 5 2

Παράδειγμα 2 Οπότε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου υπολογίζεται από τον πίνακα x -∞ -5/2 +∞ 2x+5 - + f(x) Φθίνουσα Αύξουσα

Ορισμός Έστω η συνάρτηση 𝑓:[𝑎,𝑏] 𝑅 τότε η τιμή f(c) είναι: Ολικό μέγιστο στο [α,b] αν και μόνο αν 𝑓 𝑥 ≤𝑓 𝑐 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏 Ολικό ελάχιστο στο [α,b] αν και μόνο αν 𝑓(𝑥)≥𝑓 𝑐 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏

Παράδειγμα 2 (συνέχεια) Έστω η f(x)=x2+5x+6 Ολικό ελάχιστο στο x=-5/2

Παράδειγμα 3 Έστω η συνάρτηση 𝑓 𝑥 = − 𝑥 3 +15 𝑥 2 −27𝑥+50 Να μελετηθούν τα ακρότατα. Επίλυση Από τη μελέτη της μονοτονίας γνωρίζουμε:

Παράδειγμα 3 Τοπικό μέγιστο στο x=9 Τοπικό ελάχιστο στο x=1

Ορισμός Τα σημεία στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης δεν υπάρχει ή μηδενίζεται λέγονται κρίσιμα σημεία. Θεώρημα της δεύτερης παραγώγου για τα ακρότατα Έστω η συνάρτηση 𝑓:[𝑎,𝑏] 𝑅 δύο φορές παραγωγίσιμη και 𝑓 ′ 𝑥 𝑜 =0 𝑥 0 ∈ 𝑎,𝑏 Τότε η f παρουσιάζει: Τοπικό ελάχιστο στο xo αν 𝑓′′( 𝑥 0 )>0 Τοπικό μέγιστο στο xo αν 𝑓 ′′ 𝑥 0 <0 Έστω η συνάρτηση 𝑓:(𝑎,𝑏) 𝑅 δύο φορές παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι 𝑓 ′′ 𝑥 𝑜 =0 𝑥 0 ∈ 𝑎,𝑏 και ότι 𝑓 ′′′ 𝑥 0 ≠0 Τότε το x0 είναι σημείο καμπής της f.

Παράδειγμα 4 Έστω η συνάρτηση 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −18 𝑥 2 +81𝑥−58 Να προσδιοριστούν τα κρίσιμα σημεία της. Επίλυση Είναι πεδίο ορισμού D(f)= R Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο 𝑓′ 𝑥 = (𝑥 3 −18 𝑥 2 +81𝑥−58)′=3 𝑥 2 −36𝑥+81= 3( 𝑥 2 −12𝑥+27) Βρίσκουμε τις ρίζες της πρώτης παραγώγου. Δηλαδή πότε f’(x)=0

Παράδειγμα 4 Δ=(-12)2 -4(1)(27)=144-108=36 Άρα είναι 𝑥 1 = 12+ 36 2(1) = 12+6 2 =9 𝑥 2 = 12− 36 2(1) = 12−6 2 =3 Πιθανά σημεία ακροτάτων τα 3 και 9 Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο 𝑓 ′′ 𝑥 = 3 𝑥 2 −36𝑥+81 ′ =6𝑥−36 Και το πρόσημο των f’’(3) και f’’(9) f’’(3)=-18<0 άρα τοπικό μέγιστο στο x=3 f’’(9)=18>0 άρα τοπικό ελάχιστο στο x=9

Παράδειγμα 4 Η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται για x=6 Εξετάζουμε το πρόσημό της γύρω από 6 για να ελέγξουμε την κυρτότητά της x -∞ 6 +∞ 6x-36 - + f(x) Κοίλη Κυρτή

Παράδειγμα 4