ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Διερεύνηση Μεθόδων Ενημέρωσης και Βελτιστοποίησης Μοντέλων Πεπερασμένων Στοιχείων με Χρήση Πειραματικών Δεδομένων Αλέξανδρος Αραϊλόπουλος ΑΕΜ 1372 Επιβλέπων.
Advertisements

1 /11/05 ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ & ΚΑΤ ΌΙΚΟΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΛΛΑΔΙΟ.
Γιατί θέλω τον OLPC XO. Γιατί είναι οικολογικός ● Καταναλώνει ελάχιστο ή καθόλου ρεύμα ● Μειώνει τη χρήση χαρτιού ● Προωθεί την ανάγκη για ψηφιοποίηση.
Ενότητα: Απορρόφηση αερίων Διδάσκοντες: Χριστάκης Παρασκευά, Αναπληρωτής Καθηγητής Δημήτρης Σπαρτινός, Λέκτορας Δ. Σωτηροπούλου, Εργαστηριακό Διδακτικό.
Γενική εισαγωγή στη φυσικοχημεία Dr. Παρθένα Παναγιωτίδου
Ανθρωπολογία του Θεάτρου Ενότητα 3 η : Ελληνικά Λαϊκά Δρώμενα Γιώργος Σαμπατακάκης, M.Phil (Καίμπρητζ) – Ph.D. (Λονδίνο) Τμήμα Θεατρικών Σπουδών.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ Ι
1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Μουντάκης Κώστας Ομ. Καθηγητής Πρώην σύμβουλος του Παιδ. Ινστιτούτου Μάθημα 1 ΠΗΓΕΣ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ: ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ.
Μέτρα μεταβλητότητας ή διασποράς
Διακριτά Μαθηματικά Μαθηματική Λογική.
Στατιστικές Υποθέσεις
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.
Γυμνάσιο Νέας Κυδωνίας
Διοικητικη πρακτικη 6ο μαθημα
Ανάλυση κατηγορικών δεδομένων
Βάσεις Δεδομένων ΙΙ 5η διάλεξη
Βιομετρία - Γεωργικός Πειραματισμός
ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, διαλ. 4
Φυσική A’ Λυκείου ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Δύναμη και Επιτάχυνση Επιταχυνσιόμετρο
ΠΑΚΤΩΜΕΝΗΣ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ
Διαφορική εξίσωση Riccati.
ΙΣΠΑΝΙΑ Ιάκωβος Θωμάς.
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Democritus University of Thrace Department of Production.
Kυτταρογενετική Ανάλυση καρυοτύπου.
ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΚΑΙ ΥΠΕΡΜΕΣΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
Νόμος του Hooke.
ΑθλητικΗ Ενωση ΛΑρισαΣ
Binary Decision Diagrams
9. Εκλογές, κόμματα, ΜΜΕ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Χαρακτηριστικά μιας Κατανομής
Καλή και δημιουργική χρονιά.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Κεφάλαιο 8 Επεξεργασία Δεδομένων και Υπολογιστικά Φύλλα
Δρ. Γιώργος Μαρκάκης Καθηγητής Βιομετρίας Τ.Ε.Ι. Κρήτης
Μέτρα μεταβλητότητας ή διασποράς
Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών
Γιατί τα πλοία επιπλέουν; Από τον Νεύτωνα στον Αρχιμήδη
گرد آورنده و مدرس : محمد ریخته گر
آمار و کاربرد آن در مدیریت
به نام خدا.
Οι Συναρτήσεις y=αx2 και y=αx2+βx+γ με α≠0 στο Γυμνάσιο
موضوع ارائه : نظريه تقريب. موضوع ارائه : نظريه تقريب.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ
Μηχανική Οι Νόμοι της Κίνησης
Giáo viên: Lâm Thị Ngọc Châu
محاضر بجامعة السودان للعلوم والتكنولوجيا
Θεωρία Βελτιστοποίησης και Εφαρμογές
Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση
מדדי מרכזיות שכיח Mo – (Mode) חציון (Median) Md –
ניהול איכות ובקרת איכות סטטיסטית
ارگونومی فصل نهم.
Тақырыбы: Тригонометриялық функциялардың туындылары
ΚΥΨΕΛΕΣ ΚΑΥΣΙΜΟΥ Επιμέλεια: Γ. Χαριστός, Γ. Νερούτσου
С.Бреусов атындағы жалпы орта мектеп
3 Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ
Παρουσίαση Αριθμητικών Χαρακτηριστικών 1) Διακριτών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Ισορροπία Στερεών Σωμάτων
Κεφάλαιο 8 Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης.
Κεφάλαιο 6 Η Κανονική Κατανομή.
Η έννοια της δύναμης Οι δυνάμεις προκαλούν μεταβολή στην ταχύτητα
Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση
Микроэкономика: Өндірістік шығындар
Προσέγγιση στην επαλληλία των κινήσεων
Βιοστατιστική (Θ) Ενότητα 5: Μη-Παραμετρικές Δοκιμασίες ΤΕΙ Αθήνας
MATH 1310 Section 5.3.
Μεταγράφημα παρουσίασης:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 10-11ο Εφαρμογές παραγώγων – Βελτιστοποίηση οικονομικών συναρτήσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: κατανοείτε τη μονοτονία μιας συνάρτησης, υπολογίζετε τα ακρότατα σημεία μιας συνάρτησης, υπολογίζετε τα σημεία καμπής μιας συνάρτησης, αντιλαμβάνεστε τις έννοιες της βελτιστοποίησης οικονομικών συναρτήσεων.

Ορισμός Μια συνάρτηση 𝑓:𝐴 𝐵 θα λέγεται φθίνουσα αν 𝑓 𝑥 1 ≥ 𝑓 𝑥 2 ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈𝐴 𝜇𝜀 𝑥 1 < 𝑥 2 Μια συνάρτηση 𝑓:𝐴 𝐵 θα λέγεται αύξουσα αν 𝑓 𝑥 1 ≤ 𝑓 𝑥 2 ∀ 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈𝐴 𝜇𝜀 𝑥 1 < 𝑥 2

Κριτήριο πρώτης παραγώγου Έστω η συνάρτηση 𝑓:[𝑎,𝑏] 𝑅 τότε η f είναι αύξουσα στο [α,b] αν και μόνο αν 𝑓′(𝑥)≥0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏 η f είναι φθίνουσα στο [α,b] αν και μόνο αν 𝑓′(𝑥)≤0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏 Αν f’(x)>0 (αντίστοιχα f’(x)<0) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα).

Παράδειγμα 1 Έστω η συνάρτηση 𝑓 𝑥 = − 𝑥 3 +15 𝑥 2 −27𝑥+50 Να εξεταστεί η μονοτονία της. Επίλυση Είναι πεδίο ορισμού D(f)= R Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο 𝑓 ′ 𝑥 = − 𝑥 3 +15 𝑥 2 −27𝑥+50 ′ =−3 𝑥 2 +30𝑥−27= −3( 𝑥 2 −10𝑥+9) Βρίσκουμε τις ρίζες της πρώτης παραγώγου. Δηλαδή πότε f’(x)=0

Παράδειγμα 1 Δ=102-4(1)(9)=100-36=64 Άρα είναι 𝑥 1 = 10+ 64 2(1) = 10+8 2 =9 και 𝑥 2 = 10− 64 2(1) = 10−8 2 =1 Οπότε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου υπολογίζεται από τον πίνακα

x -∞ 1 9 +∞ (x-1) (x-9) f’(x)=-3(x2-10x+9) f(x)

x -∞ 9 +∞ (x-1) - + (x-9) f’(x)=-3(x2-10x+9) f(x)

x -∞ 1 9 +∞ (x-1) - + (x-9) f’(x)=-3(x2-10x+9) f(x)

x -∞ 9 +∞ (x-1) - + (x-9) f’(x)=-3(x2-10x+9) f(x) Φθίνουσα Αύξουσα

Παράδειγμα 2 Έστω η f(x)=x2+5x+6 Είναι πεδίο ορισμού D(f)= R Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 2 +5𝑥+6 ′ =2𝑥+5 Βρίσκουμε τις ρίζες της πρώτης παραγώγου. Δηλαδή πότε f’(x)=0 Είναι 𝑥=− 5 2

Παράδειγμα 2 Οπότε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου υπολογίζεται από τον πίνακα x -∞ -5/2 +∞ 2x+5 - + f(x) Φθίνουσα Αύξουσα

Ορισμός Έστω η συνάρτηση 𝑓:[𝑎,𝑏] 𝑅 τότε η τιμή f(c) είναι: Ολικό μέγιστο στο [α,b] αν και μόνο αν 𝑓 𝑥 ≤𝑓 𝑐 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏 Ολικό ελάχιστο στο [α,b] αν και μόνο αν 𝑓(𝑥)≥𝑓 𝑐 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏

Παράδειγμα 2 (συνέχεια) Έστω η f(x)=x2+5x+6 Ολικό ελάχιστο στο x=-5/2

Παράδειγμα 3 Έστω η συνάρτηση 𝑓 𝑥 = − 𝑥 3 +15 𝑥 2 −27𝑥+50 Να μελετηθούν τα ακρότατα. Επίλυση Από τη μελέτη της μονοτονίας γνωρίζουμε:

Παράδειγμα 3 Τοπικό μέγιστο στο x=9 Τοπικό ελάχιστο στο x=1

Ορισμός Τα σημεία στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης δεν υπάρχει ή μηδενίζεται λέγονται κρίσιμα σημεία. Θεώρημα της δεύτερης παραγώγου για τα ακρότατα Έστω η συνάρτηση 𝑓:[𝑎,𝑏] 𝑅 δύο φορές παραγωγίσιμη και 𝑓 ′ 𝑥 𝑜 =0 𝑥 0 ∈ 𝑎,𝑏 Τότε η f παρουσιάζει: Τοπικό ελάχιστο στο xo αν 𝑓′′( 𝑥 0 )>0 Τοπικό μέγιστο στο xo αν 𝑓 ′′ 𝑥 0 <0 Έστω η συνάρτηση 𝑓:(𝑎,𝑏) 𝑅 δύο φορές παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι 𝑓 ′′ 𝑥 𝑜 =0 𝑥 0 ∈ 𝑎,𝑏 και ότι 𝑓 ′′′ 𝑥 0 ≠0 Τότε το x0 είναι σημείο καμπής της f.

Παράδειγμα 4 Έστω η συνάρτηση 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −18 𝑥 2 +81𝑥−58 Να προσδιοριστούν τα κρίσιμα σημεία της. Επίλυση Είναι πεδίο ορισμού D(f)= R Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο 𝑓′ 𝑥 = (𝑥 3 −18 𝑥 2 +81𝑥−58)′=3 𝑥 2 −36𝑥+81= 3( 𝑥 2 −12𝑥+27) Βρίσκουμε τις ρίζες της πρώτης παραγώγου. Δηλαδή πότε f’(x)=0

Παράδειγμα 4 Δ=(-12)2 -4(1)(27)=144-108=36 Άρα είναι 𝑥 1 = 12+ 36 2(1) = 12+6 2 =9 𝑥 2 = 12− 36 2(1) = 12−6 2 =3 Πιθανά σημεία ακροτάτων τα 3 και 9 Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο 𝑓 ′′ 𝑥 = 3 𝑥 2 −36𝑥+81 ′ =6𝑥−36 Και το πρόσημο των f’’(3) και f’’(9) f’’(3)=-18<0 άρα τοπικό μέγιστο στο x=3 f’’(9)=18>0 άρα τοπικό ελάχιστο στο x=9

Παράδειγμα 4 Η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται για x=6 Εξετάζουμε το πρόσημό της γύρω από 6 για να ελέγξουμε την κυρτότητά της x -∞ 6 +∞ 6x-36 - + f(x) Κοίλη Κυρτή

Παράδειγμα 4