OPERATII ASUPRA IMAGINILOR (2/4) Operatii morfologice

Operatiile executate asupra imaginilor: -operatii matematice; -operatii bazate pe convolutie; -operatii bazate pe derivate; -operatii morfologice.

O imagine binara cu doua seturi A si B. Definitii de baza imagine ~ functie discreta de doua variabile discrete a[m,n]. Alta solutie: set de coordonate de pixeli care apartin obiectelor din imagine. Exemplu: doua obiecte sau seturi A si B (valorile pixelilor binare). O imagine binara cu doua seturi A si B.

Operatiile fundamentale asociate cu un obiect: reuniune, intersectie si complementare din teoria multimilor, in plus, operatia de translatie definita pentru un vector x si un set A: Vectorul = pixel din imagine (varful vectorului este pixelul, iar originea vectorului este originea imaginii, punctul de coordonate (0,0) ). Coordonatele intregi ale pixelilor unei imagini digitale impun restrictii asupra vectorilor de translatie x.

Se definesc operatiile lui Minkowski asupra seturilor (adunarea si scaderea). Fiind date doua seturi A si B se definesc operatia de adunare Minkowski: si operatia de scadere Minkowski:

Pornind de la aceste doua operatii Minkowski se pot defini operatiile morfologice fundamentale, dilatarea: si erodarea: unde Erodarea se mai noteaza: E(A,B) = A Ө B.

a) Dilatarea D(A,B) b) Erodarea E(A,B) Operatiile de dilatare si erodare.

Elementele standard de structurare N4 si N8. Chiar daca ambele seturi A si B pot fi considerate imagini, in mod normal A este imagine, iar B este un element de structurare (rol asemanator in matematica morfologica cu rolul nucleului de convolutie in teoria filtrelor liniare). Elementele de structurare cele mai utilizate: a) N4 b) N8 Elementele standard de structurare N4 si N8.

Aplicatie. Dilatarea unor obiecte dintr-o imagine utilizand elementul de structurare N8, dupa o iteratie, respectiv trei iteratii. Pixelii negrii sunt pixelii originali, iar pixelii gri sunt cei adaugati in urma operatiei.

Aplicatie de baza a dilatarii: refacerea zonelor lipsa (intreruperilor) dintr-un obiect. Exemplu: caractere dintr-un text. Imaginea avand rezolutie mica, anumite caractere prezinta intreruperi. Folosind elementul de structurare N4 s-a realizat o operatie de dilatare obtinand unificarea segmentelor din caractere. Efect asemanator: filtru trece jos => imagine cu niveluri de gri => functie de prag pentru a obtine din nou o imagine binara. Avantajul operatiei morfologice de dilatare: se poate aplica direct asupra imaginii binare.

Aplicatie. Erodarea unor obiecte dintr-o imagine utilizand elementul de structurare N8, dupa o iteratie, respectiv trei iteratii. Pixelii negrii sunt pixelii originali, iar pixelii gri sunt cei eliminati in urma operatiei.

Aplicatie simpla a erodarii: eliminarea detaliilor nesemnificative (din p.d.v. al dimensiunii) dintr-o imagine binara. se va alege un element de structurare cu dimensiunea corespunzatoare detaliului cel mai mare care se doreste sa fie eliminat (si celelalte obiecte mai mari din imagine vor fi erodate). Exemplu: element de structurare de dimensiunea patratului mijlociu: a) imaginea initiala, b) dupa erodare si c) dupa aplicarea unei operatii de dilatare cu acelasi element de structurare. (a) (b) (c)

Proprietati Operatiile de dilatare si erodare au urmatoarele proprietati: comutativitate: non-comutativitatea: asociativitatea:

invarianta de translatie: dualitate: (dilatarea unui obiect ~ erodarea fondului, respectiv erodarea obiectului ~ dilatarea fondului).

non-inversiune: Erodarea: invarianta la translatie:

(A1 este un subset propriu al lui A2): Pentru orice element de structurare B si doua obiecte imagini A1 si A2 astfel incat : (A1 este un subset propriu al lui A2): Asemanator, pentru orice elemente de structurare B1 si B2 astfel incat

Urmatoarele teoreme de descompunere sunt utile pentru implementarea eficienta a unor filtre morfologice:

Set conex in R2 = set in care pentru un segment care uneste oricare doua puncte ale setului, toate punctele acelui segment apartin de asemenea setului (definitie aplicabila cu anumite precautii si in Z2). Set marginit = fiecare element al sau are distanta finita fata de originea coordonatelor sistemului. Set simetric = Seturile N4 si N8 sunt conexe, marginite si simetrice.

Teorema lui Vincent. Pentru un element de structurare B marginit, simetric si fara gauri, care isi contine centrul [0,0]: unde = conturul obiectului (multimea de pixeli care au cel putin un pixel de fond ca vecin). Importanta teoremei: pentru o operatie de dilatare sau de erodare (sau orice alta operatie derivata din acestea) este suficient sa se prelucreze numai pixelii de pe contur => reducere a complexitatii prelucrarilor unei imagini N*N de la O(N2)  O(N).

Cei mai simpli algoritmi de dilatare si erodare: Dilatare. Pentru fiecare pixel al obiectului binar (cu valoarea 1) seteaza pixelii fondului (cu valoarea 0) la valoarea 1 care sunt C-conectati la acel pixel al obiectului. Erodare. Seteaza la valoarea 0 fiecare pixel al obiectului binar (cu valoarea 1) care este C-conectat la un pixel de fond. Compararea acestor doi algoritmi cu relatia precedenta (unde B=NC=4 sau B=NC=8) => sunt echivalenti definitiilor formale pentru dilatare si erodare.

Dilatarea: a) B=N4 b) B=N8 Operatia de dilatare, pentru B=N4 si respectiv, B=N8. Obiectul original este reprezentat cu gri, iar pixelii adaugati la dilatare sunt cu negru

Convolutia booleana Un obiect de imagine binar arbitrar (element de structurare): unde Σ si · sunt operatii booleene SAU si respectiv SI, iar a[j,k] este functia caracteristica: iar δ este o versiune booleana a functiei delta a lui Dirac:

=> dilatarea pentru imaginile binare: si tinand cont de comutativitatea operatiilor logice: utilizand teoremele lui De Morgan => erodarea: Concluzie: dilatarea si erodarea asupra imaginilor binare ~ o forma de convolutie peste algebra booleana.

Deschiderea si inchiderea Cu ajutorul dilatarii si eroziunii se pot construi operatii de ordin mai mare: deschiderea (O-opening) si inchiderea (C-closing): Deschiderea: evidetiaza contururile obiectelor, rupe gatuirile inguste si elimina iesiturile fine. Inchiderea: evidentiaza contururile, dar contrar deschiderii, uneste intreruperile mici si intrandurile lungi inguste, elimina gaurile mici si umple intreruperile din contur.

Reprezentare geometrica intuitiva a operatiei de deschidere: elementul de structurare B (avand centrul sau in originea coordonatelor) este „rostogolit” pe conturul interior al obiectului A => rezultat = reuniunea tuturor translatarilor lui B incluse in A: unde translatia se mai poate nota si sub forma: (B+z) ≡ (B)z.

Reprezentare geometrica intuitiva a operatiei de inchidere: elementul de structurare B (avand centrul sau in originea coordonatelor) este „rostogolit” pe conturul exterior al obiectului A. Un punct x apartine A•B daca (B+z)∩A≠Ø, pentru orice translatie a lui B care contine x.

Proprietati comune ale celor doua operatii: a) dualitatea b) translatia

Operatia de deschidere, considerand elementul de structurare B si imaginile A, A1 si A2, unde A1 este o subimagine a lui A2 (A1 inclusa in A2), are in plus proprietatile: c1) antiextensivitate d1) monotonie crescatoare e1) idempotenta

iar inchiderea are in plus proprietatile: c2) extensivitate d2) monotonie crescatoare e2) idempotenta

Aplicatie. Ilustrarea operatiilor de deschidere si inchidere utilizand un element de structurare reprezentat prin cerculet.

a) Imaginea A b) Dilatare cu B c) Erodare cu B Exemplu de aplicare a acestor operatii asupra unei imagini A folosind elementul de structurare N8: a) Imaginea A b) Dilatare cu B c) Erodare cu B

d) Deschidere cu B e) Inchidere cu B

Transformarea „Hit-or-Miss” => instrument important pentru detectarea formelor. Exemplu: set A = trei forme (subseturi) X, Y si Z. Obiectivul este gasirea locatiei uneia dintre forme, de exemplu X. Originea fiecarei forme = centrul de greutate. X inconjurat de o mica fereastra, W => fondul local al lui X in raport de W = multimea diferenta (W – X). (d) erodarea lui A cu X ~ setul locatiilor originii lui X astfel incat X este complet continut in A ~ erodarea lui A cu X = setul tuturor locatiilor originii lui X in care X gaseste o potrivire („match”), adica „hit” in A.

(e) erodarea complementului lui A cu background-ul local (W - X). Setul de locatii pentru care X se potriveste exact in A = intersectia dintre erodarea lui A cu X si erodarea lui AC cu (W – X) (locatia cautata). B = X + background-ul sau => potrivirea („match”) sau setul de potriviri ale lui B in A: Generalizare: B = (B1, B2), cu B1, B2 disjuncte, unde B1 este setul de elemente din B asociate cu un obiect si B2 este setul de elemente din B corespunzand fondului, ex. B1 = X si B2 = (W – X). =>

setul contine toate punctele (originile) la care, simultan, B1 gaseste o potrivire („hit”) in A si B2 gaseste o potrivire in AC. Pe baza definitiei diferentei de seturi si a relatiilor pentru dilatare si erodare => unde (setul reflectat al lui B). Oricare dintre cele trei ecuatii de mai sus reprezinta transformarea „hit-or-miss” morfologica (a doua ecuatie este cea mai sugestiva).

a) b)

c) d)

e)

f) Ideea de a utiliza doua elemente de structurare, B1 asociat cu obiectele si B2 asociat cu fondul: doua sau mai multe obiecte sunt distincte numai daca acestea formeaza seturi neconectate (disjuncte). Fiecare obiect are un fond de cel putin un pixel grosime.