U. Oscilații și unde U.1. Oscilatorul armonic U.2. Ecuația oscilatorului armonic U.3. Paralela între oscilațiile mecanice și electromagnetice U,3, Energia oscilatorului U.5. Undele electromagnetice U.6. Spectrul undelor electromagnetice U.7. Ecuația undei plane U.8. Principiul lui Huygens U.9. Reflexia si refracția undelor. Indicele de refracție U.10. Unde staționare U.11. Interferența undelor U.12. Difracția undelor U.13. Principiul Huygens-Fresnel U.14. Difracția pe o fantă

U.1. Oscilatorul armonic este definit prin mișcarea descrisă de proiecția pe diametru a rotației unui punct cu viteză uniformă. De exemplu proiecția pa axa y a rotației unui punct pe cercul de rază A cu viteza unghiulară constantă este: unde am introdus: y : elongația A : amplitudinea y A : pulsația (viteza unghiulara) =A φ=ωt φ=ωt : faza T : perioada : frecvența; se masoară în herți Hz=s-1 Reamintim că vectorul r care se rotește cu o viteză unchiulară constantă de numește fazor

Viteza este derivată spațiului în raport cu timpul Intrucat derivarea funcției cos trebuie facută dupa argumentul ei φ=ωt , înmulțim și impărțim cu d(ωt): Accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul. făcand aceeași operație ca mai sus obținem:

ecuația oscilatorului armonic U.2. Ecuația oscilatorului armonic Intrucât derivata vitezei este derivată a doua a spațiului, rezultă ca pentru oscilatorul armonic forța este de tip elastic, adică este proporțională cu elongația: unde: Obținem în acest mod ecuația oscilatorului armonic

U.3. Paralela între oscilațiile mecanice și cele electromagnetice Oscilații mecanice ale unei mase prinse de un resort elastic: In decursul oscilațiilor energia potențială a resortului când elongația este maximă se transformă în energia cinetică a masei m când trece prin poziția de echilibru și invers

Oscilații electromagnetice ale unui circuit LC: In decursul oscilațiilor energia electrică a condensatorului se transformă în timpul mișcării sarcinilor de pe plăcile acestuia (deci apariția unui curentel ectric) în energia magnetică a bobinei prin fenomenul de inducție electromagnetică și invers

Obținem deci urmatoarea paralela între oscilațiile mecanice și oscilațiile electromagnetice m: masa oscilatorului L: impedanța bobinei k: constanta elastică a arcului : inversa capacității condensatorului y: elongația arcului q: sarcina electricaă a condensatorului : forța elastică a arcului : tensiunea condensatorului : viteza masei : intensitatea electrică în bobină : forța de inerție : tensiunea indusă Pulsația oscilatorului

U.4. Energia oscilatorului energia totala se conserva: este suma energiei cinetice si a celei potențiale. Considerand k=mω2, obținem ca energia totala se conserva: Energia oscilatorului este proporțională cu patratul frecvenței oscilației, deoarece: In cazul circuitului LC, conform cu regulile de echiva- lenta cu resortul mecanic,energia totală se poate scrie fie ca energie electrică acumulată în condensator, ori ca energie maximă a câmpului magnetic al bobinei:

U.5. Undele electromagnetice se obțin ca rezultat al urmatoarelor fenomene: Inducția electromagnetică: variația câmpului magnetic produce câmp electric Inducția magnetoelectrică: variația câmpului electric produce câmp magnetic Producerea reciprocă de campuri oscilante se propagă sub formă de unde electromagnetice polarizate în plane perpendiculare definește lungimea de undă, ca distanța între două maxime susccesive

James Maxwell a dedus teoretic in 1865 faptul că: undele electrice sunt in faza si polarizate perpendicular pe cele magnetice, propagandu-se în vid cu viteza constantă: 3. 108 m/s James Clark Maxwell Fizician si matematician scotian (1831-1879)

Undele electromagnetice au fost detectate de Heinrich Hertz in 1886 Heinrich Rudolf Hertz Fizician german (1857-1894)

U.6. Spectrul undelor electromagnetice raze γ : fizica nucleară raze X : fizica atomică și moleculară raze ultraviolet, vizibile și infraroșii: optica microunde: electronica unde radio: radio electronica

U.7. Ecuația undei plane Oscilația unui punct se propagă într-un mediu sub formă de unde. Presupunem ca în origine x=0 mediul oscilează dupa o lege armonică: Considerăm că oscilația se propagă într-o Direcție dată sub formă de undă plană cu viteza c Punctul x începe să oscileze dupa timpul: Prin urmare valoarea amplitudinii y(x,t) va fi egală cu cea din origine y(0,t’) la momentul: x y(0,t-x/c) y(x,t)

Obținem astfel urmatoarea relație, care se numește ecuația undei plane Aceasta descrie cum oscilează în timp un punct aflat la distanța x și se mai poate scrie sub formele urmatoare: unde am introdus urmatoarele mărimi: : pulsația : numarul de undă (analogul spațial al pulsației) : lungimea de undă se masoară în metri (m)

U.8. Principiul lui Huygens Orice punct al mediului, pâna la care a ajuns frontul de undă, poate fi considerat ca o noua sursă de oscilație, astfel încât propagarea sâ se continue mai departe în toate direcțiile Principiul lui Huygens nu este unul fundamental ci mai degrabă o metodă simplă de calcul pentru diverse fenomene ondulatorii

Christiaan Huygens (1629-1695) Fizician olandez Explicația fenomenului de refracție din cartea sa

Exemple de aplicare pentru principiului lui Huygens Refracția este schimbarea Direcției de propagare a undelor la trecerea în alt mediu Difracția este schimbarea Direcției de propagare a undelor la trecerea printr-o fantă

U.9. Reflexia și refracția undelor Reflexia este schimbarea direcției de propagare a undelor în același mediu la contactul cu alt mediu Legea reflexiei Unghiul de incidentă este egal cu unghiul de reflexie ‘

Obținem legea refracției Refracția este schimbarea direcției de propagare a undelor la trecerea în alt mediu Din compararea triunghiurilor A’A”B” si A’B”A’” cu latura comună A’B’” Obținem relațiile: n1 ϑ1 unde am introdus vitezele de propagare v1, v2 și indicii de refracție n1, n2 pentru fiecare mediu. ϑ2 n2 Obținem legea refracției (Legea lui Snellius)

U.10. Interferența undelor este compunerea a doua unde coerente Coerenta: doua oscilații sunt coerente daca defazajul între ele ramane constant în timp Franjele de interferenta (maxime si minime) provin de la compunerea undelor ce trec prin doua fante lineare F1 și F2 de lărgimi comparabile cu lungimea de undă Sistemul din figură se numește dispozitivul lui Young F2 F1

Compunerea oscilațiilor într-un punct P care se află la distanța r1 de prima fantă F1 și r2 fața de a doua fantă F2 r2 r1 Δr P F2 F1 Cele doua oscilații se compun astfel: In vederea determinării amplitudinii și fazei undei rezultante utilizăm tehnica de adunare a fazorilor corespunzatori.

Pentru calculul poziției maximelor și minimelor de interferență trebuie sa compunem doua oscilații de faze inițiale diferite unde: Suma proiectiilor y1 si y2 ale fazorilor A1 și A2 este egală cu proiecția y a fazorului sumat A, conform cu figura de mai jos y1 x y2 φ φ1 A1 A2 A y1 x y2 φ φ1 A1 A2 A Aplicând regula generală de adunare a vectorilor rezultă urmatoarea relație pentru amplitudine φ2

Franjele de interferență pe un ecran se formează conform cu Condițiile de maxim și minim Condiția de maxim: defazajul este număr par de semiunde iar amplitudinile se adună Condiția de minim: defazajul este număr impar de semiunde iar amplitudinile se scad

U.11. Undele staționare sunt un caz particular de interferență a doua unde de amplitudini egale care se propaga în sensuri contrare, adică unda directă și cea reflectată Unda reflectată pierde o semiundă (λ/2) la reflexia de perete

Unda incidentă parcurge x1 și se compune x2=x1+2x Unda incidentă parcurge x1 și se compune cu cea reflectată care parcurge distanta x2 Condiția de maxim: defazajul este număr impar de sferturi de undă Condiția de minim: defazajul este număr par de sferturi de undă după cum se poate vedea din figura de pe pagina urmatoare

Se formează un sistem de maxime (ventre) și minime (noduri) staționare Sunt posibile armonice de ordinul n=0,1,2,3,...

U.12. Difracția undelor Figura de difracție pe o fantă infinit lungă, este un caz particular de interferență a undelor care provin de la punctele unei fante de dimensiune comparabilă cu lungimea de undă. Figura de difracție pe o fantă infinit lungă, poartă numele de difracție de tip Fraunhofer

U.13. Principiul Huygens-Fresnel este principiul Huygens completat cu principiul Interferenței undelor provenite de la toate sursele punctuale. Acest principiu nu este unul fundamental, dar este o metodă pentru construcția figurii de difracție formată din maximele și minimele care apar pe un ecran

Joseph von Fraunhofer (1787-1826) Fizician german Augustin Jean Fresnel (1788-1827) Fizician francez

U. 14. Difracția pe o fantă Considerăm difracția pe o fantă dreptunghiulară infinită Undele difractate trec printr-o lentilă convergentă iar figura de difracție se formează în planul focal ABC B A f ϑ δ d C x In punctul central A oscilațiile care vin de la fantă se compun având acceeași fază. Acesta este maximul central de interferență având amplitudinea maximă. In punctul intermediar B diferenta de drum de la punctele din marginile fantei este iar în ecuația de undă defazajul este:

deci diferența de drum este un număr întreg de lungimi de undă. In punctul intermediar B (fig. B) amplitudinile se compun conform principiului Huygens-Fresnel de la fiecare element al fantei, defazajul total fiind: φ=π. In punctul C (fig. C) amplitudinea rezultantă de la toate punctele fantei se anulează (minim de interferență) și faza este în cazul general multiplu par de π deci diferența de drum este un număr întreg de lungimi de undă. In punctul urmator de maxim, constând din compunerea oscilațiilor date de traiectoria C+B, faza este în cazul general multiplu impar de π deci diferența de drum este un număr impar de semilungimi de undă. B φ=0 φ=2π A φ=π C

Intensitatea undelor funcție de unghi |A(ϑ)|2 difractate pe o fantă lineara

Figura de difractie printr-o fanta patrata

Figura de difracție printr-o fantă circulară