Stabilnost konstrukcija v. prof. dr Ratko SALATIĆ Poglavlja 6 - 7 Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2017/18 godina

STABILNOST KONSTRUKCIJA Sadržaj poglavlja UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA NOSAČA BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA STABILNOST TANKIH PLOČA POSTKRITIČNO PONAŠANJE LIMENIH NOSAČA STABILNOST LJUSKI 6

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Definicija fenomena Pojava gubitka stabilnosti nosača opterećenih na savijanje pri kojoj dolazi do bočnog pomeranja nosača praćenog torzijom naziva se bočno torziono izvijanje. Pri povećavanju opterećenja, kad ono dostigne kritičnu vrednost, dolazi do grananja formi ravnoteže i nosač pored prvobitne ima još jednu moguću formu ravnoteže u kojoj nosač dobija bočna pomeranja praćena torzionom rotacijom.

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Karakteristike Prvobitna deformisana osa nosača postaje prostorna kriva. Nova forma ravnoteže nije stabilna, jer se pri delovanju proizvoljnih, malih poremećaja javljaju velika pomeranja koja se zadržavaju i nakon iščezavanja poremećajnog dejstva. U ovom slučaju nosač gubi svoju funkciju, odnosno dolazi do loma pre nego što naponi u nosaču dostignu vrednost koja odgovara početku plastičnog tečenja.

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Karakteristike Bočno izvijanje se javlja kod nosača kojima je krutost na savijanje oko jače ose znatno veća od krutosti na savijanje oko slabije ose. To su nosači preseka oblika uskog pravougaonika ili I-nosači. I-nosači, kao tankozidni nosači otvorenog poprečnog preseka, imaju malu torzionu krutost, pa oni spadaju u najosetljivije nosače na bočno izvijanje.

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Linearno elastična teorija bočno torzionog izvijanja Pretpostavke materijal je idealno elastičan (važi Hooke-ov zakon) nosač je idealno prav (nema početnih geometrijskih imperfekcija) sprečena je torziona rotacija oslonaca (viljuškasti oslonci) poprečni presek je nedeformabilan (rotira kao kruta ploča) poprečni presek je obostrano simetričan i konstantan duž čitavog nosača moment inercije Iz je znatno manji od Iy deformacije su male, usvaja se da je sin    i cos  = 1.0 → problem linearizovane bifurkacione teorije

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Prosta greda - Pravougaoni poprečni presek

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Prosta greda - Pravougaoni poprečni presek MOMENTI SAVIJANJA OKO GLAVNIH OSA INERCIJE Klasičan problem savijanja Spregnut problem Problem torzije

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Prosta greda - Pravougaoni poprečni presek DIFERENCIJALNA JEDNAČINA Diferenciranjem po x Diferencijalna jednačina bočnog torzionog izvijanja

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Prosta greda - Pravougaoni poprečni presek REŠENJE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Rešenje diferencijalne jednačine Kritična vrednost momenta

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Prosta greda - I presek DIFERENCIJALNA JEDNAČINA Sektorski momenat inercije Torzija kao zbir Saint Venant-ove i ograničene (sprečene) torzije Diferencijalna jednačina

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Prosta greda - I presek REŠENJE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Prosta greda - I presek REŠENJE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Bočno torziono izvijanje realnog nosača Teorijski (idealni) slučaj konturnih uslova i opterećenja

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Bočno torziono izvijanje realnog nosača uticaj oblika opterećenja (ili oblika momentnog dijagrama) Koeficijenti dužine izvijanja koji zavise od uslova oslanjanja

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Bočno torziono izvijanje realnog nosača

BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA Bočno torziono izvijanje realnog nosača UTICAJ MESTA DELOVANJA OPTEREĆENJA

STABILNOST KONSTRUKCIJA Sadržaj poglavlja UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA NOSAČA BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA STABILNOST TANKIH PLOČA POSTKRITIČNO PONAŠANJE LIMENIH NOSAČA STABILNOST LJUSKI 7

STABILNOST TANKIH PLOČA Metode za određivanje kritičnih opterećenja Mogu se koristiti iste metode kao i u slučaju pritisnutih štapova Kritične vrednosti sila, koje deluju u srednjoj ravni ploče, dobijaju se pod pretpostavkom, da od početka ploča ima neku prvobitnu krivinu ili neko poprečno opterećenje. One vrednosti sila u srednjoj ravni, pod kojim ugibi teže da postanu beskonačno veliki, obično su kritične vrednosti opterećenja. Drugi način je da se pretpostavi da se ploča blago izbočava pod dejstvom sila, koje deluju u srednjoj ravni, pa da se onda određuju sile koje mogu da održe ploču u tako blago izvijenom obliku.

STABILNOST TANKIH PLOČA Metode za određivanje kritičnih opterećenja Dobija se diferencijalna jednačina elastične površine pretpostavljajući da nema poprečnog opterećenja. Ako nema zapreminskih sila, jednačina izbočavanja ploče ima oblik:

STABILNOST TANKIH PLOČA Metode za određivanje kritičnih opterećenja Energetska metoda – posmatra se energija savijanja i odgovarajući rad izvršen od strane sila koje deluju u srednjoj ravni ploče. Ako je rad, izvršen od ovih sila, manji od deformacione energije savijanja za bilo koji mogući oblik bočnog izbočavanja, prvobitni ravan ravnotežni oblik je stabilan. Ako isti rad postane veći od energije savijanja za bilo koji oblik bočnog izbočavanja, ploča je nestabilna i dolazi do izbočavanja. Kritično opterećenje se dobija iz uslova: Rad spoljašnjih sila Energija savijanja

STABILNOST TANKIH PLOČA Metode za određivanje kritičnih opterećenja Multiplikator opterećenja Za minimum γ, varijacija izraza Približno rešenje Jednačine iz uslova da se dobije minimalno kritično opterećenja

STABILNOST TANKIH PLOČA Jednačina izbočavanja ploče Jednačine ravnoteže sila u vertikalnom pravcu (opšta teorija savijanja tankih ploča)

STABILNOST TANKIH PLOČA Jednačina izbočavanja ploče – normalne sile Suma projekcija normalnih sila na z-pravac

STABILNOST TANKIH PLOČA Jednačina izbočavanja ploče – smičuće sile Suma projekcija smičućih sila na z-pravac

STABILNOST TANKIH PLOČA Jednačina izbočavanja ploče Sumiranje svih sila u pravcu z-ose, za problem stabilnosti (q=0) Diferencijalna jednačina izbočavanja ploče

STABILNOST TANKIH PLOČA Naprezanje ploče

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u jednom pravcu

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u jednom pravcu Diferencijalna jednačina Rešenje u obliku dvostrukog trigonometrijskog reda Izvodi Uslovna jednačina

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u jednom pravcu Jednačina stabilnosti Kritično opterećenje Kritičan napon Kritičan napon

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u jednom pravcu Kritičan napon Minimalni kritičan napon, n=1 Minimalni kritičan napon za kvadratnu ploču

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u jednom pravcu Za druge dimenzije ploče

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u jednom pravcu Za odnos dimenzija ploče α = a/b = 2, Forma izbočavanja sa dva polutalasa Deformaciona površ pri izbočavanju

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u dva pravca

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u dva pravca Rešenje u obliku Izvodi Pretpostavljenog rešenja

STABILNOST TANKIH PLOČA Pravougaona ploča opterećena u dva pravca Uslovna jednačina Jednačina površine ugiba

STABILNOST TANKIH PLOČA Kvadratna ploča opterećena u dva pravca

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena savijanjem i pritiskom Pretpostavljen ugib ploče Primena energetske metode

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena savijanjem i pritiskom Rad spoljašnjih sila Rad unutrašnjih sila pri savijanju ploče Kritična vrednost opterećenja

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena savijanjem i pritiskom Potrebno je odrediti minimum kritične sile Odrediti nule prvog izvoda po svakom koeficijentu amn Dobija se sistem algebarskih jednačina oblika: Ako se grupišu sve jednačine sa jednom određenom vrednošću broja m, one su funkcija koeficijenata ami. Za sve ostale koeficijente usvaja se da su jednaki nuli, pa se za ugib ploče pretpostavlja se izraz:

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena savijanjem i pritiskom Usvaja se m=1, sledi sistem homogenih linearnih jednačina po a1n, , a jednačina stabilnosti dobija se iz uslova da je determinanta jednaka nuli. Ako se razmatra samo prva jednačina, pri čemu a1n≠0 i svi ostali koeficijenti su jednaki nuli: Samo za male vrednosti α, dominantan pritisak u odnosu na savijanje

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena savijanjem i pritiskom Za α=2, čisto savijanje, greška 8% ... Bolja aproksimacija sa dve jednačine . Razlika između tri ičetiri jednačine je 0.33% (brza konvergencija) ... Još bolja aproksimacija sa tri jednačine .

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena savijanjem i pritiskom

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena smičućim naponima Primena energetske metode

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena smičućim naponima Potrebno je odrediti sistem konstanti amn i apq da bi opterećenje bilo minimalno. Iz uslovnih jednačina dobijenih na osnovu izjednačavanja prvih izvoda sa nulom dobijaju se dve grupe jednačina (n+m neparan broj i n+m paran broj). Druga grupa daje manju vrednost

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena smičućim naponima

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena smičućim naponima Aproksimacija je dobra sa pet jenačina, kritično opterećenja se određuje iz jednačine Tačnost se smanjuje sa povećanjem odnosa stranica ploče

STABILNOST TANKIH PLOČA Ploča opterećena smičućim naponima Beskrajno duga ploča 9.40 Kritično opterećenje Aproksimacija funkcijom 5.35