Departman za matematiku i informatiku Novi Sad TEORIJA GRAFOVA Vojislav Petrović Departman za matematiku i informatiku Novi Sad vojpet@dmi.uns.ac.rs

UVOD SAOBRAĆAJNA MREŽA A, B, C, D, E, F  gradovi l1 l2 l3 l4 l5 l7 l6 A, B, C, D, E, F  gradovi l1, l2, l3, l4, l5, l6, l7  putevi  osetljivi čvorovi (s obzirom na povezanost): C  osetljive linije: l6 , l7  minimalna povezujuća podmreža: {l1, l2, l5, l6, l7}

struktura s obzirom na poznanstvo GRUPA OSOBA struktura s obzirom na poznanstvo B A E D C F

RASPODELA POSLOVA (job assignment) A B E C D a b c d e A B D A B E C D a b c d e c d

 Si i Sj različite frekvencije PODELA FREKVENCIJA S1, S2, S3, S4, S5, S6  radio stanice |Si Sj| < 10 km  Si i Sj različite frekvencije S5 S6 S1 S2 S3 S4 Koliko je najmanje različitih frekvencija potrebno?

NAJKRAĆI (NAJJEFTINIJI) PUT S1, S2, S3, S4, S5, S6  gradovi (destinacije) Odrediti najkraći (Si - Sj)  put. S1 - S6 direktan  15 S5 S6 S1 S2 S3 S4 S1 - S4 S1 S2 S3 S4  40 15 35 30 20 25 45 10 55 S1 S2 S3 S4 S5 S6 10 30 45 35 15  25 55 20 10 15   20 10

1. OSNOVNI POJMOVI graf  G = (V, E) V  čvorovi (vertices, points, nodes) E  grane, ivice (edges, arcs, lines) G : v1 v4 v3 v2 v6 v5 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9} e4 = v4v4  petlja (lupa) e8 , e9  paralelne grane v6  izolovan čvor

prost graf  nema petlji, ni paralelnih grana NG (v)  skup suseda čvora v u grafu G NG (v) = {uV(G) | vuE(G)} dG (v)  stepen čvora v dG (v) = |NG (v)| v1 v2 v4 v3 v6 v5 e1 e2 e3 e5 e6 e7 e8 N (v1) = {v2, v3, v5}  d (v1) = 3 N (v4) = {v3, v5}  d (v4) = 2 N (v6) =   d (v6) = 0

(G)  minimalan stepen (G) = min d(v) vV(G) (G)  maksimalan stepen (G) = max d(v) vV(G) regularan graf  svi čvorovi istog stepena k-regularan graf  d(v) = k , vV(G) v1 v4 v3 v2 v6 v5 v1 v4 v3 v2 v6 v5 (G) = d (v6) = 0 (G) = d (v2) = 4 3-regularan (kubni) graf

matrica susedstva  A(G) V(G) = {v1, ... , vn} E(G) = {e1, ... , em} v1 v4 v3 v2 v6 v5 e1 e7 e6 e5 e4 e3 e2 e8 matrica susedstva  A(G) 1 vivjE(G) A(G) = [aij] n  n aij = 0 vivjE(G) matrica incidencije  B(G) 1 viej B(G) = [Bij] n  m bij = 0 viej v1 v2 v3 v4 v5 v6 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 1 1 A(G) = B(G) =

TEOREMA 1.1. Zbir stepena čvorova svakog grafa je paran broj i jednak dvostrukom broju grana, tj. å vV(G) d(v) = 2 |E(G)|. u v e Dokaz.  broji e = uv dvaput jednom u d (u) i jednom u d (v)  v1 v4 v3 v2 v6 v5 d(v1) + d(v2) + d(v3) + d(v4) + d(v5) + d(v6) = 3 + 4 + 3 + 3 + 3 + 0 = 16 = 2  8 = 2 |E(G)|

POSLEDICA 1.1. Broj čvorova neparnog stepena svakog grafa je  paran.  v1 v4 v3 v2 v6 v5 POSLEDICA 1.2. Ako su svi čvorovi grafa neparnog stepena, tada je broj čvorova paran.  POSLEDICA 1.3. Ako graf ima neparan broj čvorova, tada je bar jedan parnog stepena. 

TEOREMA 1.2. U svakom grafu postoje dva čvora jednakih stepena. Dokaz. V(G) = {v1, v2, ... , vn} 0  d (vi)  n  1 v1 , v2 , ... , vn v1 , v2 , ... , vn 2 n  1 1 2 n  2 1 v1 , v2 , ... , vn  2 n  1 1 1 3 n  1 2  2 n  1 1   vi, vj , d(vi) = d(vj) 

v5 v4 d (v3) = d (v4) = 3 v6 v3 5, 4, 3, 3, 2, 1 v1 v2 PITANJE 1.1. Da li za svako n  2 postoji graf sa n čvorova u kojem dva čvora imaju jednake stepene, a svi ostali različite?

ZADACI 1.1. Dokazati da za svaki paran prirodan broj n, (n  4), postoji 3-regularan graf sa n čvorova. 1.2. Dokazati da za svaki prirodan broj n, (n  5), postoji graf sa n + 1 čvorova u kojem su tačno n čvorova stepena 3. 1.3. U skupu od n (n  4) osoba među svake četiri osobe postoji jedna koja se poznaje sa preostale tri. Dokazati da u tom skupu postoji osoba koja se poznaje sa svim ostalim. 1.4. U grupi od n (n  3) osoba među svake 3 osobe postoji jedna koja se poznaje s preostale 2. Da li uvek mora da postoji osoba koja poznaje sve ostale?

1. 5. U skupu od n (n  2) osoba neke se poznaju, a neke ne 1.5.* U skupu od n (n  2) osoba neke se poznaju, a neke ne. Pritom, svake dve osobe koje imaju jednak broj poznanika, nemaju zajedničkih poznanika. Dokazati da postoji osoba koja ima tačno jednog poznanika. 1.6. U skupu od 2n (n  2) osoba među svake tri osobe postoji jedna koja se poznaje sa ostale dve. Dokazati da se skup može razbiti na n parova, tako da svaki par čine poznanici. 1.7.* U jednoj grupi svake dve osobe koje se poznaju nemaju zajedničkih poznanika. Svake dve osobe koje se ne poznaju imaju tačno 2 zajednička poznanika. Dokazati da sve osobe imaju isti broj poznanika. 1.8.* Dokazati da za svako n (n  2) postoji graf sa n čvorova u kojem dva čvora imaju jednake stepene, dok su stepeni svih ostalih čvorova različiti.

2.1. IZOMORFIZAM GRAFOVA ÷ ø ö ç è æ v2 u4 u3 u2 u1 v4 v3 v2 v1 vi  ui

G1 : G2 : ai  xi bi  yi G3 : G1 i G3 ? a1 a2 a3 b1 b2 b3 x1 x2 x3 y1

(c) dG (v) = dH ( f (v)) , vV. G = (V, E) H = (V1, E1) G1 : G3 : G  H (G izomorfan sa H)  f  izomorfizam (1) f : V  V1  bijekcija (2) uvE  f (u) f (v)E1 G1  G3 TEOREMA 1.3. Neka je G = (V, E), H = (V1, E1), G  H i f : V  V1 izomorfizam. Tada je: (a) |V| = |V1| ; (b) |E| = |E1| ; (c) dG (v) = dH ( f (v)) , vV. 

2.2. SPECIJALNI GRAFOVI KOMPLETAN GRAF Kn |V(Kn)| = n |E(Kn)| = d (v) = n  1 (n  1)  regularan

PRAZAN GRAF Kn |V (Kn)| = n |E (Kn)| = 0 d (v) = 0 0-regularan K5 K4

BIPARTITAN GRAF G(X, Y ) V(G) = X  Y X , Y   , X  Y =  X, Y  klase (particije) w v u a b c d e f a b c d e f

KOMPLETAN BIPARTITAN GRAF Km, n V(G) = X  Y , X  Y =  X Y n m X, Y   , X  Y =  |X| = m , |Y| = n E(G) = {xy | xX, yY} |V(G)| = m + n |E(G)| = mn K2, 3 K1, 3 d(x) = n ,  xX d(y) = m ,  yY

ZADACI 2.1. Koji od sledećih grafova su izomorfni? 2.2. (a) Odrediti potreban i dovoljan uslov da bipartitni grafovi Kp, q i Kr, s budu izomorfni. (b) Koliko ima neizomorfnih kompletnih bipartitnih grafova sa 7 čvorova? 2.3. (a) Da li postoji bipartitan graf sa 10 čvorova i 25 grana? (b) Koliko maksimalno grana može da ima bipartitan graf sa n čvorova?

(a) Qn je n-regularan graf; 2.4. n-dimenzionalna kocka Qn (n  2) je graf čiji skup čvorova skup svih uređenih n-torki (a1, a2, ... , an) gde ai{0, 1}. Dva čvora su susedna u ako i samo ako se odgovarajuće n-torke razlikuju u tačno jednoj koordinati. Dokazati da za n-dimenzionalnu kocku Qn važe sledeća tvrđenja: (a) Qn je n-regularan graf; (b) |V(Qn)| = 2n , |E(Qn)| = n2n  1; (c) Qn je bipartitan graf. Q1 Q2 Q3

3. PODGRAFOVI I OPERACIJE S GRAFOVIMA H podgraf G , H  G  V(H)  V(G)  E(H)  E(G) H pokrivajući podgraf G  V(H) = V(G)  E(H)  E(G) v1 v2 v4 v3 e1 e2 e3 e4 G : v1 v2 e1 v4 e3 H : v1 v2 v3 v4 e1 e2 e4 H1 : H  G H1 pokrivajući podgraf G

indukovan podgraf G = (V, E) V'  V G' = G [V']  indukovan sa V' 1. V(G') = V' 2. E(G') = {uv | u, vV', uvE} G' : v1 v2 e1 v4 e3 e2 v1 v2 e1 v4 e3 H : v1 v2 v4 v3 e1 e2 e3 e4 G : G' = G [{v1, v2, v4}] H  G [{v1, v2, v4}]

G = (V, E) E'  E G' = G [E']  indukovan sa E' 1. V(G') = {u |  uvE'} 2. E(G') = E' v1 v2 v4 v3 e1 e2 e3 e4 G : v1 v2 v3 v4 e1 e4 G' : v1 v2 v3 v4 e1 e2 e4 H1 : G' = G [{e1, e4}] H1  G [{e1, e4}]

uklanjanje čvora (grupe čvorova) vV(G) G' = G  v = G [V(G)  v] V'  V(G) G' = G  V' = G [V(G)  V'] uklanjanje grane (grupe grana) eE(G) G' = G  e V(G') = V(G) E(G') = E(G)  e E'  E(G) G' = G  E' V(G') = V(G) E(G') = E(G)  E' v1 v4 v3 v2 v6 v5 G : v4 v3 v2 v6 v5 v1 v4 v2 v5 G  v1 : G  {v3, v6} : v3 v1 v4 v2 v6 v5 v1 v4 v3 v2 v6 v5 G  v2v5 : G  {v1v2, v2v5, v3v4} :

E(G) = {uv | u, vV(G), uvE(G)} komplement grafa G V(G) = V(G) H : H : E(G) = {uv | u, vV(G), uvE(G)} samokomplementaran graf G  G

ZADACI 3.1. Šta predstavljaju sledeći grafovi: (a) Kn  v, vV(Kn); (b) Kn  V', V'  V(Kn); (c) Km, n  v, vV(Cn); (d) Km, n  V', V'  V(Km, n). 3.2. Odrediti komplemente sledećih grafova : (a) Kn ; (b) Kn ; (c) Km, n . (e) (d) 3.3. Odrediti sve samokomplementarne grafove s najviše 5 čvorova.

4. PUTEVI, KONTURE , POVEZANOST staza (trail)  W u grafu G W = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek vk = v0 v1 v2 ... vk viV(G) i = 0, 1, ... , k ei = vi  1vi E(G) i = 1, ... , k W = v5 v2 v1 v3 v2 ei  ej , i  j (v5-v2)-staza d(W) = 4 v1 v4 v3 v2 v5 v0, vk  krajnji čvorovi W  (v0-vk)-staza = (vk-v0)-staza v1, v2, ... , vk  1  unutrašnji čvorovi W  zatvorena staza  v0 = vk W = v2 v3 v1 v2 v4 v5 v2 d(W)  dužina staze W = |E(W)| zatvorena staza = broj grana na W d(W) = 6

Ojlerov put u G staza W E(W) = E(G) Ojlerova kontura u G v1 v2 v3 v5 v1 v3 v4 v5 v2 v1 v3 v6 v4 v5 v2 Ojlerova kontura u G zatvorena staza W E(W) = E(G) v1 v3 v4 v6 v1 v4 v5 v6 v3 v2 v1

put (path)  P u G Pk + 1 = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek vk = v0 v1 v2 ... vk viV(G) i = 0, 1, ... , k ei = vi  1vi E(G) i = 1, ... , k P4 = v1 v3 v2 v5 vi  vj , i  j kontura (cycle)  C u G Ck + 1 = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek vk ek +1 v0 v1 v4 v3 v2 v5 = v0 v1 v2 ... vk v0 viV(G) i = 0, 1, ... , k ei = vi  1vi E(G) i = 1, ... , k + 1 vk + 1 = v0 vi  vj , i  j C4 = v1 v3 v4 v5 v1

Hamiltonova kontura u G Hamiltonov put u G put P V(P) = V(G) P6 = v1 v2 v6 v5 v3 v4 v1 v4 v3 v2 v5 v6 Hamiltonova kontura u G kontura C V(C) = V(G) C6 = v1 v2 v6 v5 v4 v3 v1

 u, vV(G) ,  (u-v)-put u G v1 i v4 povezani u i v povezani   (u-v)-put u G v1 i v6 nepovezani uV(G)  u povezan sa u def. G  povezan  u, vV(G) ,  (u-v)-put u G G1 : G2 : K5 : povezan nepovezan nepovezan komponenta povezanosti (komponenta)  najveći povezan podgraf u G (s obzirom na inkluziju ) ω(G)  broj komponenti ω(G1) = 1 ω(G2) = 2 ω(K5) = 5 G  povezan  (G) = 1 G  nepovezan  (G) > 1

ZADACI 4.1. Odrediti sve povezane grafove G sa bar 3 čvora koji ispunjavaju sledeći uslov. Za svako u,v,wV(G) iz uvE(G) i vwE(G) sledi uwE(G). 4.2. Odrediti sve grafove G sa bar 3 čvora koji ispunjavaju sledeći uslov. Za svako u, v, wV(G) iz uvE(G) i vwE(G) sledi uwE(G). 4.3. Za svaki graf G, bar jedan od grafova G i G je povezan. Dokazati. 4.4. Odrediti sve 2-regularne grafove čiji su komplementi nepovezani. 4.5. Ako je d(G) ≥ 3, dokazati da je d(G) ≤ 2.

4.6. Ako je |V(G)| = n ≥ 3 i δ(G) ≥ , dokazati da je graf G povezan. 2 4.6. Ako je |V(G)| = n ≥ 3 i δ(G) ≥ , dokazati da je graf G povezan. 4.7. Dokazati da za n-dimenzionalnu kocka Qn važe sledeća tvrđenja: (a) Qn (n  1) je povezan graf; (b) Qn (n  2) ima Hamiltonovu konturu. 4.8. Koji od grafova na slici imaju Hamiltonovu konturu?