בס"ד אינטגרלים משולשים (והחוט המשולש לא במהרה יינתק) בס"ד אינטגרלים משולשים (והחוט המשולש לא במהרה יינתק) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר ב' תשס"ח

סכומי רימן חלוקת התחום לתיבות אלמנטריות אם הגבול באגף ימין קיים וסופי, פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים אינטגרציה על קופסה (1) פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים אינטגרציה על קופסה (2) פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים אינטגרציה על קופסה (3) פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים משפט פוביני (חלש) תהי f פונקציה אינטגרבילית על התיבה אזי פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים דוגמאות דוגמא 1: דוגמא 2: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים תחומים "פשוטים" פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

תחום z-פשוט הפאה העליונה נתונה ע"י x+y+z=2 פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

תחום y-פשוט הפאה העליונה נתונה ע"י x+y+z=2 פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים גלילים דוגמא 1: דוגמא 2: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים חישוב אינטגרל: דוגמא חשב את האינטגרל כאשר D הוא האיזור בשמיני הראשון המוגבל ע"י המישור שמשוואות היא x+y+z=2 . פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים אלגברת האינטגרלים פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

מציאת גבולות האינטגרציה פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

דוגמאות: חשב את הנפח של הגופים הנתונים הטטרהדרון בשמיני הראשון המוגבל ע"י מישורי המערכת והמישורים שמשוואותיהם הן x+z=1 ו- y+2z=2. הפרוסה הנחתכת מן הגליל שמשוואתו היא y=x2-1 והמשיורים שמשוואותיהם הן z+y=0 ו- z=0. פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים ועוד חישוב נפח - 1 מצאו את נפח האיזור במרחב הנמצא מעל הריבוע הנתון ע"י והמוגבל ע"י המשטחים הנתונים ע"י המשוואות הבאות: תשובה: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים פקודות Maple פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים חישוב נפח - 2 מצאו את נפח האיזור במרחב המוגבל ע"י המשטחים הנתונים ע"י המשוואות הבאות: תשובה: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים חישוב נפח - 3 מצאו את נפח האיזור במרחב המוגבל ע"י המשטחים הנתונים ע"י המשוואות הבאות: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

ממוצע של פונקציה על תחום סגור וחסום במרחב התלת-מימדי אם f היא פונקציה מוגדרת ורציפה בתחום D סגור וחסום במרחב R3, אזי הממוצע של f על D נתון ע"י הנוסחה: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים ממוצע - דוגמא נתון אזי הממוצע על הקוביה הנתונה הוא (תזכורת:נפח הקוביה הזאת הוא 1): פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים החלפת סדר האינטגרציה שינו את סדר האינטגרציה וחישבו את האינטגרלים: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים מסה ומרכז כובד נתון תחום D סגור וחסום במרחב התלת-מימדי. בעצם D מגדיר גוף שבו צפיפות החומר בנקודה (x,y,z) מסומנת ב- δ(x,y,z). המסה של הגוף: מומנטים ראשונים: קואורדינטות של מרכז הכובד: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים דוגמא מצא את מרכז נכובד של הגוף בעל צפיפות אחידה δ המוגבל ע"י מישור xy והפרולואיד שמשוואתו היא z=4-x2-y2. תשובה: G(0,0,4/3). פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים החלפת קואורדינטות > ?coords > ?changecoords > ?plot3d[coords] פקודות Maple פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים קואורדינטות גליליות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

משטחים מיוחדים- קואורדינטות גליליות קואורדינטות גליליות מתאימות לתאור המשטחים הבאים: גלילים בעלי ציר לאורך ציר ה-z מישורים המכילים את ציר ה-z מישורים מאונכים לציר ה-z פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

משטחים מיוחדים- קואורדינטות גליליות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

נפח אלמנטרי בקואורדינטות גליליות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

חישובי אינטגרלים משולשים בעזרת קואורדינטות גליליות נתונה פונקציה f של שלושה משתנים (x,y,z) בתחום חסום וסגור D במרחב R3. אזי: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים דוגמא מצא את גבולות האינטגרציה עבור פונקציה המוגדרת בתחום D ב- R3 המוגבל ע"י מישור xy הגליל שמשוותו היא x2+(y-1)2=1 הפרבולואיד שמשוואתו היא z=x2+y2 פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים פתרון השאלה הקודמת 1. הבסיס של D הוא העיגול R במישור xy בעל משוואה x2 + (y-1)2 = 1 x2 + y2 - 2y + 1 = 1 r2 - 2r sinθ = 0 2. גבולות-z: ישר העובר דרך נקודה M(r,θ) בבסיס R ומקביל לציר z נמצא בתוך D מ- z=0 עד z=x2+y2=r2 . פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים המשך הדוגמא 3. גבולות-r: קרן היוצאת מן הראשית במישור xy נכנסת כאשר r=0 ויוצאת כאשר r=2 sin θ. 4. גבולות-θ: כאשר הקרן הנ"ל עוברת על כל R, הזוית שלה עם ציר ה-x עוברת מ- θ=0 עד θ=π. פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים מסקנת העבודה האינטגרל המבוקש: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

עוד דוגמא בקואורדינטות גליליות D הוא הגוף התחום ע"י הגלילים שבסיסיהם הם מעגל היחידה והקרדיואיד שמשוואתו היא r=1+cos(θ), וכך שהתחתית במישור xy וה"גג" במשיור שמשוואתו היא z=4. פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים קואורדינטות כדוריות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

משטחים מיוחדים- קואורדינטות כדוריות קואורדינטות כדוריות מתאימות לתיאור המשטחים הבאים: כדורים שמרכזם בראשית הצירים חרוטים שקודקודם בראשית הצירים מישורים העוברים דרך ציר ה-z פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

משטחים מיוחדים: כדור בקואורדינטות כדוריות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

משטחים מיוחדים: חרוט בקואורדינטות כדוריות > restart;with(plots): > sphereplot([r,theta,Pi/3], r=0..2,theta=0..2*Pi, axes=normal, style=patchnogrid, view=[-2..2,-2..2,0..2]); פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

משטחים מיוחדים: מישור בקואורדינטות כדוריות > restart;with(plots): > sphereplot([r,Pi/3,phi], r=0..2,phi=0..2*Pi, axes=normal, style=patchnogrid, view=[-2..2,-2..2,0..2]); פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

התמרת קואורדינטות מכדוריות לגליליות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

נפח אלמנטרי בקואורדינטות כדוריות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

חישובי אינטגרלים משולשים בעזרת קואורדינטות כדוריות נתונה פונקציה f של שלושה משתנים (x,y,z) בתחום חסום וסגור D במרחב R3. אזי: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים עוד חישוב נפח > s1:=plot3d(4,t=0..2*Pi, p=0..Pi/4,coords=spherical, axes=boxed, scaling=constrained, color=blue): s2:=plot3d(z,t=0..2*Pi, z=0..2*sqrt(2), coords=cylindrical, axes=boxed, scaling=constrained, color=yellow): מצא את הנפח של הגוף המוגבל ע"י כדור שמרכזו בראשית ורדיוסו 2, והחרוט שקודקודו בראשית וזית הראש שלו היא פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים חישוב נפח פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

החלפת קואורדינטות באינטגרלים משולשים נניח שהתחום G במרחב uvw נהפך לתחום D במרחב xyz ע"י העתקות גזירות כל פונקציה F של המשתנים x,y,z מגדירה פונקציה H של המשתנים u,v,w : אזי פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

דטרמיננטת יקובי - היקוביאן האינטגרל: כאשר המטריצה נקראת היקוביאן של הטרנספורמציה (החלפת הקואורדינטות) פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים דוגמא פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים המשך הדוגמא הקואורדינטות מסודרות לפי פאה קדמית-פאה אחורית: D G פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים מקורות של חלק מהתמונות http://mathworld.wolfram.com/ http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/cylindrical/body.htm פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

תוכנות שימושיות לשרטוט WINPLOT: math.exeter.edu/rparris/winplot.html DPGRAPH: www.dpgraph.com פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים