Curs 10 Sef Luc Dr. Petru A. COTFAS Fizica Generala Curs 10 Sef Luc Dr. Petru A. COTFAS

Electromagnetism Electrostatica

Fluxul electric. Alta marime ce descrie campul electric este fluxul electric Fluxul electric reprezinta totalitatea liniilor de camp ce intra (sau ies) intr-o suprafata normala Prin definitie fluxul electric este dat de integrala din produsul dintre E si dS Fluxul electric elementar

Legea lui Gauss forma diferentiala fluxul campului electric printr-o suprafata inchisa este egal cu sarcina q din interiorul acesteia impartita la 0. unde qint reprezinta sarcina aflata in interiorul suprafetei S forma diferentiala Ecuatia arata ca in toate punctele din spatiu in care nu exista sarcini electrice, divergenta campului este nula

Legea lui Gauss Demonstratie Consideram cazul sarcinii interioare

Potentialul in electrostatica Potentialul se defineste in functie de lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea unei sarcini de proba intr-un camp electric. (marimii scalare) Potentialul creat de o sarcina punctiforma intr-un punct aflat la distanta r de sarcina q este: sau permite determinarea intensitatii cp. electric atunci cand se cunoaste potentialul =>

Substanta in camp electric Trebuie considerata prezenţa materiei în câmpul electric? Experienţele =>comportamanet diferit al subtantelor in câmp electric (în funcţie de natura substanţei) => Clasificarea substanţelor în două clase mari: Conductoare (apar prop. electrice in 10-6s – practic instantaneu) Izolatoare (se incarca greu dar raman un timp indelungat in starea de încărcare electrică) si semiconductoarele.

Corpuri conductoare în câmp electrostatic In interiorul corpurilor conductoare (metalice) intensitatea campului electric este nula, ca urmare potentialul este constant pt. conductoare de clasa I deoarece la introducerea unui conductor în câmp sarcinile proprii ale corpului se redistribuie instantaneu într-un asemenea mod încât câmpul interior apărut să compenseze (riguros) câmpul aplicat din exterior (ecranarea) +

Corpuri conductoare în câmp electrostatic Intensitatea cp. electric este data de teorema lui Coulomb. Pe un corp comductor: Prezenta sarcinilor electrice pe corpurile conductoare determina o presiune electrica: unde intensitatea câmpului electric s-a înlocuit cu ca medie a câmpului exterior şi interior (nul). cu densitatea superficiala de sarcina

Efectul de vârf Densitatile superficiale pe o suprafata metalica cu forma neregulata se afla intr-un raport egal cu raportul razelor partilor de suprafata Ex. 1. paratrasnetul legat la pamant 2. microscop cu emisie in camp etc. Repartitia diferita a sarcinilor pe corpuri cu geometrie variabila (varfuri) poarta denumirea de efect de varf

Efectul de vârf

Capacitatea electrica. Condensatoare Capacitatea electrică exprimă capacitatea unui conductor de a înmagazina sarcini. Condensatoare plane Condensatoare sferice Energia potenţială pentru condensatorul plan Din si (*) => unde unde V=S d este volumul cuprins între armăturile condensatorului. Expresia energiei conţinute în condensator este aceeaşi cu expresia generală a energiei cp. electric

Substanţe izolatoare în câmp electrostatic (dielectrici) D.p.d.v. electric, atomul: in afara oricărui câmp electric – prezinta o simetrie perfecta (sarcină pozitivă centrală negativă exterioara) În prezenţa unui câmp electric – simetria se strica => atomul prezinta un moment electric dipolar paralel cu câmpul aplicat din exterior. Dipolul este un sistem de două sarcini egale şi de semn opus aflate la o distanţă l (axa dipolului) mică comparativ cu distanţele exterioare şi descris prin momentul dipolar p orientat dinspre sarcina negativă spre cea pozitivă.

Substanţe izolatoare în câmp electrostatic (dielectrici) Marimea ce caracterizeaza fenomenul de polarizare este vectorul polarizatie electrica dat de suma momentelor dipolare din unitatea de volum, . Cp. in interiorul dielectricului este de forma: In interiorul dielectricului campul este mai slab decat in vid Descrierea dielectricilor se face prin vectorul inductie electrica: (*)

Energia în prezenţa dielectricilor Din , si (*)=> expresia energiei într-un sistem cu dielectric => densitatea volumica de energie:

Regimul stationar in electromagnetism

Regimul stationar in electromagnetism Reprezinta cazul deplasarilor de sarcini electrice în mişcare uniformă. Deplasarea continuă cu viteză constantă a sarcinilor determină un curent continuu. Toate mărimile implicate în aceste fenomene sunt constante în timp - fenomenele fiind staţionare. Prin deplasarea sarcinilor în urma interacţiunii cu materia apare o disipare de energie sub formă de căldură.

ELECTROCINETICA Deplasarea purtătorilor de sarcină sub acţiunea unui factor extern reprezintă un curent electric. Clasificare: curent de conducţie - transport real de sarcini printre atomii/ionii substanţei curentul de convecţie - mişcarea sarcinilor odată cu corpul curentul de deplasare curentul de vid. În cele ce urmează vom considera numai curentul de conducţie.

Mărimi şi noţiuni definitorii Intensitatea curentului se defineste drept cantitatea de electricitate ce trece în unitatea de timp printr-un conductor: Sarcina transportată de purtătorii de sarcină din unitatea de volum într-un timp dt va fi: unde: n - concentraţia purtătorilor de sarcină, u - viteză numită de drift , S - aria bazei unui cilindru ce delimitează volumul respectiv,  unghiul pe care îl face normala la suprafaţă cu direcţia vitezei => intensitatea curentului electric este: (1) (2)

Mărimi şi noţiuni definitorii Densitatea curentului drept cantitatea de electricitate transportată în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă a conductorului: cu  este versorul având direcţia şi sensul lui j. Din (2) si (3) se obţine: Din def. densitatii de curent putem scrie: => I reprezintă fluxul densităţii de curent prin suprafaţa transversală a conductorului. (3)

Mărimi şi noţiuni definitorii In regim stationar => In forma integrala: adică fluxul liniilor de curent printr-o suprafaţă închisă este nul. ecuaţia de continuitate liniile de curent sunt curbe închise; cu alte cuvinte, curentul electric continuu se stabileşte numai în circuite închise

Rezistenţa electrică Rezistenţa electrică reprezintă măsura frânării purtătorilor de sarcină ce se deplasează fie printre ionii reţelei cristaline în cazul metalelor, fie printre ionii soluţiei electrolitice sau gazului, în cazul conductoarelor de clasa II-a. Pentru un conductor de lungime l şi secţiune S are o rezistenţă: unde: unde 0 este rezistivitatea la θ0 = 00C iar α- coeficientul termic al rezistivităţii. Dispozitivele a căror caracteristică principală este rezistenţa se numesc rezistoare.

Rezistenţa electrică Inversul rezistenţei se numeşte conductanţă iar inversul rezistivităţii este conductivitatea (siemens)

Legea lui Ohm Legea lui Ohm Dacă între două puncte ale unui conductor se aplică o diferenţă de potenţial , prin conductor va trece un curent a cărui intensitate este proporţională cu tensiunea la borne: Legea lui Ohm pentru o portiune de circuit Leagea lui Ohm pentru un circuit intreg simplu

Legile lui Kirchhoff Dacă n este numărul de noduri şi b - numărul de ochiuri ale unui circuit electric, se pot scrie legile lui Kirchhoff: Prima lege a lui Kirchhoff (legea nodurilor): A doua lege a lui Kirchhoff (legea ochiurilor de retea) (*) de (n-1) ori de b ori (**)

Legile lui Joule La trecere curentului electric print-un conductor acesta se incalzeste

Gruparea rezistoarelor Gruparea in serie Gruparea in paralel

Magnetostatica

Magnetostatica Studiaza campul magnetic ce apare la trecerea curentului electric continuu prin conductoare, legile carora se supune acesta, cauzele aparitiei sale precum si influenta campului asupra substantei. Campul magnetic Campul magnetic reprezinta un caz particular de manifestare a campului electromagnetic Se datoreaza sarcinilor electrice in miscare

Magnetostatica Doua conductoare paralele parcurse de curentii I1 si I2 aflate la o distanta d unul de altul sunt supuse unei forte de: Atractie - daca sensul curentului este acelasi Respingere - daca sensul curentului este contrar Marimea fortei depinde de intensitatea curentilor si de distanta dintre conductoare: 0=4π*10-7 H/m – permeabilitatea absoluta a vidului Amperul – reprezinta intensitatea unui curent electric constant care se stabileste prin doua conductoare rectilinii, paralele, asezate in vid la distanta de un metru unul de altul, intre care se exercita o forta de 2*10-7N pe fiecare metru de lungime

Magnetostatica Forta Lorentz: => forta este perpendiculara si pe directia de miscare a sarcinilor si pe directia campului magnetic cu B inductia campului magnetic Tesla= sarcina de 1C ce se misca perpendicular pe directia cp. magnetic cu o viteza de 1m/s si suporta o forta de 1N Tesla este o marime mare, uzual se foloseste unitatea gauss (G): 1G=10-4T Forta Lorentz pentru campul electromagnetic: (Tesla)

Miscarea incarcate elec. in cp. mag. Modulul forţei Lorentz este: unde α este unghiul dintre direcţiile vectorilor B şi v . traiectorii ale particulei electrizate A) v  B => α=0 => F=0 B) v  B => α=90 => F=qvB A) B) direcţie oarecare

Linii de camp magnetic Cp. magnetic poate fi descris prin linii de camp Punerea in evidenta (calitativa): Pilitura de fier Mici ace magnetice Mici bucle de curent Conductor liniar parcurs de curent continuu regula mainii drepte (regula tirbusonului)

Linii de camp magnetic Cazul unei spire circulare Cazul unui solenoid => liniile de camp magnetic sunt linii inchise => nu exista sarcini magnetice libere sau poli magnetici liberi

Linii de camp magnetic Definim fluxul magnetic printr-o suprafata dS ce margineste un volum dV cu ajutorul relatiei: Deoarece numarul liniilor care intra este egal cu numarul liniilor care ies printr-o suprafata inchisa: Legea lui Gauss pentru magnetostatica Legea lui Gauss pentru electrostatica

Legea circuitului magnetic Problema evaluarii inducţiei magnetice B când este cunoscută distribuţia de sarcini mobile, descrisa fie prin intensitatea curentului I, fie prin densitatea de curent j . Legea lui Ampère în vid Între câmpul electrostatic şi cel magnetostatic au fost găsite până în prezent câteva analogii: a) descrierea ambelor prin linii de câmp; b) existenţa unui dipol electric p şi a unuia magnetic m ; c) descrierea caracterului liniilor de câmp (deschise/închise) prin ecuaţii diferenţiale ne propunem calcularea circulaţiei vectorului inducţie magnetică, de-a lungul unui contur închis: , 36 36

Problema fundamentala a magnetostaticii Să considerăm un conductor parcurs de curent situat în interiorul unui contur circular. Se poate scrie: ceea ce arată că pentru un contur închis conţinând un curent I, circulaţia este nenulă şi nu depinde de forma conturului. Daca conturul nu inconjoara curentul atunci circulatia este nula Mai mult, dacă un contur închis este străbătut de mai multe conductoare parcurse de curenţi diferiţi I1, I2, …Ii se poate scrie: Dacă toate conductoarele ce străpung conturul sunt parcurse de acelaşi curent (de exemplu în cazul unui solenoid) atunci poartă denumirea de tensiune magnetomotoare (solenaţie) prin analogie cu t.e.m. , legea lui Ampère 37 37

Problema fundamentala a magnetostaticii Intensitatea curentului din legea lui Ampere poate fi înlocuită prin densitatea de curent j forma diferenţială a legii lui Ampère: cea mai simplă dar totodată cea mai generală lege care exprimă legătura între câmpul magnetic şi sarcinile electrice aflate în mişcare, ce i-au dat naştere. => 38 38

Problema fundamentala a magnetostaticii legea lui Ampère poate fi exprimată prin: Cu H intensitatea campului magnetic , 39 39

Legea Biot - Savart şi aplicaţii Dacă un curent electric străbate un conductor de o formă oarecare, câmpul magentic creat este suma vectorială a tuturor câmpurilor magnetice create de fiecare porţiune elementară a conductorului. Intensitatea infinitezimală a câmpului magnetic creat de un element de lunigime dl la distanţa r de el, este: Pentru cazul inductiei magnetice=> legea Biot –Savart 40 40

Câmpul magnetic al curentului liniar Cu ajutorul legii Biot - Savart se poate obţine inducţia creată de un conductor finit: sau unde este versorul pe direcţia inducţiei 41 41

Câmpul magnetic al curentului circular (spiră rotundă) Inducţia magnetica într-un punct P aflat pe axa unei spire de rază R la distanţa z de planul acesteia este; Pentru un solenoid format din N de spire. Văzut în secţiune, un solenoid de lungime finită poate fi imaginat ca fiind determinat de unghiurile θ1 şi θ2 sub care se văd extremităţile sale. => Pentru un solenoid infinit de lung: cu n=N/l 42 42

Regimul Variabil 43

Fenomenul inducţiei electromagnetice Eperimente: a) Mişcarea unui magnet permanent liniar (sau a unei bobine alimentate la o sursă de tensiune continuă) într-o bobină b) La închiderea / deschiderea circuitului primar, duce la apariţia unui curent indus în circuitul secundar. c) O spiră ce se roteşte într-un câmp magnetic uniform şi constant, este parcursă de un curent indus. (fig. c)

Fenomenul inducţiei electromagnetice Aceste concluzii sunt rezumate în legea inducţiei electromagnetice a lui Faraday - Lenz exprimată în formă simplă prin expresia: unde semnul " - " se referă doar la sensul curentului indus (regula lui Lenz).

Fenomenul inducţiei electromagnetice De obicei circuitul inductor este un solenoid. Ca urmare se poate detalia expresia legii Faraday-Lenz care devine: unde Sn=S cosα reprezintă suprafaţa normală la liniile de câmp. În funcţie de mărimea modificată se deosebesc aplicaţiile concrete: Dacă Sn= constant, dB/dt ≠0, rezultă principiul transformatorului; dacă B = constant, dSn/dt ≠0, rezultă principiul generatoarelor de curent continuu sau alternativ.

Enunţul general al legii Faraday - Lenz Din definiţia tensiunii pe un contur închis este egală cu circulaţia vectorului câmp electric, se poate scrie: Dar => un câmp magnetic variabil în timp B(t) produce în spaţiul înconjurător un câmp electric. Câmpul electric indus este un câmp turbionar (cu linii de câmp închise). Intensitatea sa este cu atât mai mare cu cât viteza de variaţie a lui B este mai mare - aşa cum a rezultat din experienţe. si teorema lui Stokes forma diferenţială (locală) a legii lui Faraday => forma integrala

Autoinducţia fenomen datorat modificării de flux datorită variaţiei curentului din însuşi circuitul inductor. pentru un solenoid de lungime l mare şi având n = N/l spire pe unitate de lungime, inducţia în punctele de pe axa solenoidului este dată de , ceea ce determină un flux total prin solenoid egal cu: Notam: => sau inductanţa bobinei În cazul legării mai multor conductoare acestea se comportă ca şi rezistenţele: Serie paralel H - Henry

Energia magnetică La trecerea curentului printr-un solenoid în acesta se înmagazinează o energie: Prin inlocuirea lui L => Se defineşte densitatea volumică de energie w= W/V Expresia densităţii de energie este analoagă expresiei echivalente din electrostatică: semiprodusul intensităţii câmpului cu inducţia câmpului respectiv.

Ecuatiile Maxwell 50 50

Propagarea câmpului electromagnetic în spaţiu Fie un mediu omogen, izotrop, liniar ( , , ) fără sarcini şi nedisipativ . Aplicam operatorul rotor pentru ecuatia: => Inlocuind rot H in baza celei de a doua ecuaţii Maxwell ecuaţia diferenţială a undelor - Componenta electrică E a câmpului electromagnetic se propagă în spaţiu sub forma unei unde (8) 51 Se introduce notatia pentru viteza undelor: 51

Propagarea câmpului electromagnetic în spaţiu O ecuaţie similară poate fi stabilită pentru componenta magnetică Pe baza teoriei undelor elastice se pot scrie soluţiile ecuaţiilor (8) si (9): unde este vectorul de undă iar r direcţia după care se propagă componentele în spaţiu. Lungimea de undă este legată de frecvenţa undei prin . 52 52

Propagarea câmpului electromagnetic în spaţiu unda electromagnetică este o undă transversală, cele două componente şi sunt perpendiculare între ele şi perpendiculare ambele pe direcţia de propagare r E B 53 53

Energia undelor electromagnetice densităţile de energie ale câmpurilor statice, electric şi magnetic, ce determină o energie totală: Consideram un volum care posedă o energie exprimată de (*). Este de aşteptat ca la propagarea câmpului din aproape în aproape sub formă de undă această energie să părăsească volumul în care se găseşte iniţial. Aceasta reprezintă o scădere a energiei în timp: (*) 54 54

Energia undelor electromagnetice In cazul unui mediu omogen şi izotrop ( ) pentru care: =>Din identitatea matematica: => Considerand legea lui Ohm locala => unde S este suprafaţa ce încojoară volumul V în care se găsea energia W. 55 55

Energia undelor electromagnetice Primul termen din membrul drept (în care σ este conductivitatea) exprimă energia degajată sub formă de căldură, datorită lucrului efectuat de câmpul E asupra sarcinilor (mobile). Cel de-al doilea termen exprimă cantitatea de energie care părăseşte suprafaţa S în unitatea de timp sub forma unui flux de energie. Relaţia (#) exprimă o lege de conservare a energiei în fenomenele electromagnetice: energia câmpului electromagnetic scade în timp, viteza de scădere fiind egală cu energia calorică disipată în volumul considerat în unitatea de timp (căldură Joule) plus fluxul de energie care iese prin suprafaţa ce înconjoară volumul dat prin propagarea câmpului sub formă de undă electromagnetică. (#) vectorul Poynting 56 56

Energia undelor electromagnetice Vectorul Poynting permite calcularea intensitatii undei electromagnetice, definită prin: Efectuând calculul se obţine: Intensitatea undei este proporţională cu pătratul amplitudinii vectorului câmp electric. 57 57