ONLINE ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΑΚΕΤΩΝ ΚΑΙ OBLIVOUS ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΣΕ ΔΙΚΤΥΑ ΑΙΣΘΗΤΗΡΩΝ ONLINE ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΑΚΕΤΩΝ ΚΑΙ OBLIVOUS ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΣΕ ΔΙΚΤΥΑ ΑΙΣΘΗΤΗΡΩΝ Ζώντου Αικατερίνη

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ένα δίκτυο αισθητήρων αποτελείται από διασκορπισμένους αυτόνομους αισθητήρες και μέσω συνεργασίας μεταφέρει τα δεδομένα μέσω του δικτύου. Οι αισθητήρες έχουν περιορισμένη ενέργεια αποθηκευμένη στην μπαταρία τους. Πολλές φορές η δρομολόγηση δε συμφέρει από άποψη κατανάλωσης ενέργειας. Στην Online εισαγωγή πακέτων η είσοδος είναι μια ακολουθία μηνυμάτων η οποία δεν είναι γνωστή από πριν.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην oblivious δρομολόγηση : επιλέγεται εκ των προτέρων για κάθε ζεύγος πηγής και προορισμού ένα σύστημα προαιρετικών διαδρομών κάθε πακέτο, για αυτό το ζεύγος πρέπει να ταξιδεύει κατά μήκος μιας από αυτές τις προαιρετικές διαδρομές.

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ (1/2) Σε ήδη υπάρχουσες εργασίες έχει αποδειχθεί ότι για μη κατευθυνόμενα δίκτυα υπάρχει oblivious αλγόριθμος δρομολόγησης πολυλογαριθμικού χρόνου. Σε μια άλλη εργασία παρουσιάστηκαν αλγόριθμοι ελέγχου εισαγωγής πακέτων επιτυγχάνοντας πολυλογαριθμικό χρόνου. Αυτά τα αποτελέσματα υποθέτουν ότι το δίκτυο έχει κόστος στην ενέργεια, μόνο αφού γίνει το μήνυμα γίνει δεκτό και είναι δρομολογημένο. Όμως...

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ (2/2) Οι αλγόριθμοι ελέγχου εισαγωγής πακέτων και δρομολόγησης για δίκτυα αισθητήρων υπό ενεργειακούς περιορισμούς, πρέπει να λαμβάνουν υπόψη την ενέργεια που καταναλώνεται στον έλεγχο για εφικτές διαδρομές πριν από την αποδοχή ενός μηνύματος. Θα αποδείξουμε ότι: τέτοιοι αλγόριθμοι δεν υπάρχουν όταν τα μηνύματα παράγονται από έναν αντίπαλο. ένας oblivious αλγόριθμος δρομολόγησης δεν μπορεί να έχει μια πολυλογαριθμική ανταγωνιστική αναλογία χωρίς ένα πρωτόκολλο εισαγωγής πακέτων υπάρχει αλγόριθμος της τάξης O(ρ logn) για δενδρικό δίκτυο με χωρητικότητα κόμβου [k, ρk], k ∈ Ω(logn) υπάρχει αλγόριθμος της τάξης O(logn) για πλέγματα με χωρητικότητα κόμβου Θ(logn).

ΣΤΟΧΟΣ ΜΑΣ Nα σχεδιάσουμε αλγορίθμους που επιτυγχάνουν λογαριθμική ανταγωνιστική αναλογία από την άποψη της απόδοσης (αριθμός επιτυχώς αποσταλμένων μηνυμάτων) σε σύγκριση με τον βέλτιστο αλγόριθμο, OPT.

ΒΑΣΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ(1/2) Αναπαριστούμε τα δίκτυα αισθητήρων σαν ένα γράφημα. Μελετάμε δύο διαφορετικά είδη γραφημάτων. Γραφήματα με δενδρική δομή και πλέγματα. Εντός των δικτύων δημιουργούνται μηνύματα. Τα αναπαριστούμε με (s,t). Κάθε μήνυμα (s,t) γίνεται γνωστό στο s από τη σιιγμή που δημιουργείται

ΒΑΣΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ(2/2) Ένας κόμβος δαπανά 1 ενεργειακή μονάδα για την αποστολή ενός μηνύματος ενώ η λήψη είναι δωρεάν Ο αποστολέας αποφασίζει με βάση την ενεργειακή του κατάσταση, τον προορισμό κ.α. εάν θα προωθήσει ή θα απορρίψει το μήνυμα. Εάν το προωθήσει αποφασίζει ποιος γείτονας είναι ο πιο κατάλληλος για να το προωθήσει. Επιτρέπεται η κίνηση μηνυμάτων ελέγχου μέσα στο δίκτυο, Ο(logn).

LOWER BOUNDS Ένας αλγόριθμος εισαγωγής πακέτων και oblivious δρομολόγησης δεν μπορεί να είναι πολυλογαριθμικά ανταγωνιστικός έναντι αντίπαλων απαιτήσεων. Ένας always-send κατανεμημένος oblivious αλγόριθμος δρομολόγησης δεν μπορεί να είναι πολυλογαριθμικά ανταγωνιστικός όταν:  Οι απαιτήσεις είναι είτε αντίπαλες είτε ακολουθούν μια γενική κατανομή η οποία είναι άγνωστη σε όλους τους κόμβους αισθητήρες  Ένας αντίπαλος καθορίζει τις χωρητικότητες των δέντρων

UPPER BOUNDS Ένας Ο(ρlogn) ανταγωνιστικός αλγόριθμος για δενδρικά δίκτυα υποθέτωντας αντίπαλες απαιτήσεις και χωρητικότητα κόμβων [k,ρk] όπου k είναι Ω(logn) Ένας O(logn) ανταγωνιστικός αλγόριθμος για δίκτυα πλέγματος υποθέτωντας τυχαίες απαιτήσεις καθώς και χωρητικότητες κόμβων να είναι k ≥ 104(log n)^2 + 6 log n

LOWER BOUNDS: ADVERSARIAL DEMANDS (1/3) Lemma 1: Υπάρχει τουλάχιστον ένα σέτ από αντίπαλες απαιτήσεις D όπου κάνουν κάθε ντετερμινιστικό κατανεμημένο αλγόριθμο δρομολόγησης Α τουλάχιστον Ω(n) ανταγωνιστικό. Απόδειξη σε ισορροπημένο δυαδικό δέντρο T Υποθέσεις:  Αντίπαλες απαιτήσεις  Ο αντίπαλος ξέρει όλες τις χωρητικότητες των κόμβων του δέντρου ανά πάσα στιγμή  Το δέντρο Τ ακολουθεί την ιδιότητα φωλιάσματος κόμβων  Κάθε φύλλο έχει χωρητικότητα e, e<<n.

LOWER BOUNDS: ADVERSARIAL DEMANDS (2/3) Δέντρο Τ=(V,E), |V|=n Έχουμε μηνύματα από το αριστερό υπόδεντρο στο δεξί Το μήνυμα (s,t), στο δέντρο υπάρχει αποκλειστικό μονοπάτι Ο αντίπαλος εισάγει τα μηνύματα μέχρι να εξαντλήσει όλους τους κόμβους δέντρων

LOWER BOUNDS: ADVERSARIAL DEMANDS (3/3) Η Ιδέα: Κάνε οποιονδήποτε ντετερμινιστικό αλγόριθμο να στείλει μηνύματα που ο βέλτιστος δεν θα έστελνε. Ακολουθώντας αυτή τη στρατηγική: Ο online αλγόριθμος έχει εξαντλήσει την ενέργεια όλων των κόμβων μετά απο e γύρους. Ο OPT αλγόριθμος μετά από n γύρους στέλνει n*e μηνύματα

LOWER BOUNDS: DEMANDS DRAWN FROM UNKNOWN DISTRIBUTION Lemma 2: Υποθέτωντας ότι οι απαιτήσεις D προέρχονται από μια κατανομή που είναι oblivious για όλους τους αισθητήρες, υπάρχει μια κατανομή που κάνει έναν always-send αλγόριθμο Aas τουλάχιστον Ω(n) ανταγωνιστικό. Απόδειξη στο ισορροπημένο δυαδικό δέντρο T. Υποθέσεις:  n είναι δύναμη του 2  Ο αντίπαλος ξέρει όλη τη χωρητικότητα των κόμβων ανά πάσα στιγμή  Το δέντρο ακολουθεί την ιδιότητα φωλιάσματος κόμβων  Τα φύλλα έχουν ίση χωρητικότητα που ανήκει στο logn.

LOWER BOUNDS: ADVERSARIAL LEAF NODE CAPACITIES Lemma 3: Υποθέτοντας ότι οι απαιτήσεις D προέρχονται από μια ομοιόμορφη κατανομή, υπάρχει τουλάχιστον μία αντίπαλη ρύθμιση για την κατανομή χωρητικότητας για κόμβους φύλλα που κάνει έναν αλγόριθμο always-send A as τουλάχιστον Ω(n) ανταγωνιστικό. Απόδειξη στο ισορροπημένο δυαδικό δέντρο T. Υποθέσεις:  n είναι δύναμη του 2  Ο αντίπαλος ξέρει όλη τη χωρητικότητα των κόμβων ανά πάσα στιγμή  Το δέντρο ακολουθεί την ιδιότητα φωλιάσματος κόμβων  ο αντίπαλος ρυθμίζει τις ικανότητες των φύλλων και οι υπόλοιπες ικανότητες καθορίζονται από την ιδιότητα φωλιάσματος

LOWER BOUND THEOREM Τα αποτελέσματα στα οποία έχουμε καταλήξει αφορούν δέντρα και γένικα μη κατευθυνόμενα γραφήματα Με βάση τα 3 προηγούμενα λήμματα προκείπτει το εξής θεώρημα : Με δεδομένο ένα ισορροπημένο δυαδικό δένδρο T (V, E) και ένα σύνολο απαιτήσεων D, ένας always-send oblivious αλγόριθμος δρομολόγησης A as δεν μπορεί να διατηρήσει την πολυλογαριθμική ανταγωνιστικότητα σε μία από τις ακόλουθες περιπτώσεις:  Το D είναι ένα σύνολο αντιπάλων απαιτήσεων, ή οι απαιτήσεις ακολουθούν μια γενική κατανομή που είναι άγνωστη σε όλους τους κόμβους αισθητήρες  Ένας αντίπαλος ρυθμίζει τις χωρητικότητες των κόμβων του δέντρου Μια άμεση συνέπεια από το θεώρημα είναι ότι οποιοσδήποτε κατανεμημένος oblivious αλγόριθμος δρομολόγησης Ao θα πρέπει να έχει ένα πρωτόκολλο εισαγωγής πακέτων προκειμένου να επιτευχθεί ένας πολυλογαριθμικός ανταγωνιστικός λόγος.

ROUTING IN TREES (1/2) Ζυγισμένο δυαδικό δέντρο T(V,E) ύψους logn. Χωρητικότητα κόμβων [k,ρk], k ∈ Ω(logn) και ρ>1 Αλγόριθμος:  Για κάθε μήνυμα (s,t) βρίσκω τον LCA και βάση αυτού χωρίζω σε κλάσεις  Κάθε κόμβος χρησιμοποιεί το πολύ k μονάδες ενέργειας  Κάθε κόμβος χωρίζει την ενέργειά του σε logn μερίδια με ενέργεια k/logn το καθένα.  Κάθε κόμβος δέχεται το μήνυμα στην περίπτωση που το μερίδιο του δεν καταναλώνεται πλήρως  Όταν ένα μήνυμα εισάγεται σε ένα κόμβο τότε ο κόμβος μειώνει το μερίδιο του κατά 1.  Κάθε κορυφή είναι pivot για k μηνύματα Lemma: ο λόγος του βέλτιστου αλγόριθμου με αυτόν είναι logn

ROUTING IN TREES (2/2) Για να επεκτείνουμε τον αλγόριθμο σε δέντρα γενικότερα… Υπάρχει μια διαχωριστική κορυφή τέτοια ώστε ο αριθμός των κορυφών της μεγαλύτερης διαίρεσης να είναι ≤(2/3)n Έτσι χωρίζουμε το δέντρο και δημιουργούμε υπόδεντρα Κάθε υπόδεντρο παίρνει ένα ίσο ποσοστό ενέργειας Το μήνυμα (s,t) χρησιμοποιεί το ποσοστό από το μικρότερο υπόδεντρο στο οποίο χωράει Είναι O(ρlogn) ανταγωνιστικό

ROUTING IN 3-D GRIDS Υπόθεση: μήνυμα δημιουργείται ανεξάρτητα και η πηγή και ο προορισμός μεταξύ κόμβων επιλέγονται ομοιόμορφα τυχαία Τεχνική:  Διαχωρίζουμε το πλέγμα σε επίπεδα  Κάθε επίπεδο θα έχει ένα ποσοστό ενέργειας  Δρομολογούμε τα μηνύμα σε περίπτωση που η ενέργεια στα 3 επίπεδα δεν έχει καταναλωθεί Το αποτέλεσμα: O(logn) ανταγωνιστικό oblivious αλγόριθμος για 3-D πλέγματα

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ!