Εργασία 5 Μάθημα 795.Πρακτική Άσκηση, ΔΔΜ (α) Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Εργασία 5 Μάθημα 795.Πρακτική Άσκηση, ΔΔΜ (α) Δαμίγου Παναγιώτα Εξάρχου – Κουβέλλη Καλλιόπη Βαρβάκειος Σχολή, Λύκειο Τάξη: Α΄ Λυκείου

Περιγραφή Επεισοδίου Μαθηματικό θέμα μαθήματος: Η συνάρτηση Μαθηματικό θέμα μαθήματος: Η συνάρτηση Μαθηματικό θέμα επεισοδίου: Η κλίση α μιας ευθείας Ο καθηγητής εισάγει την έννοια της κλίσης ευθείας σχεδιάζοντας ένα οδικό σήμα (βλ. Σχήμα 1), και ρωτά τους μαθητές για την ακριβή του σημασία. Οι μαθητές δυσκολεύονται. Απαντούν λάθος. Σχήμα 1 Ο καθηγητής θέτει νέα ερώτηση: «Ποιος δρόμος έχει κλίση 100%;» Οι μαθητές κάνουν προσπάθειες να απαντήσουν. Κάνουν πάλι λάθη (π.χ. ο κάθετος, ο οριζόντιος, ανηφόρα, αδιέξοδο, 360 μοίρες). Ο καθηγητής υποδεικνύει την απάντηση στο 1o ερώτημα: Δρόμος με κλίση 10%, είναι αυτός που για κάθε 100 μ. που προχωράς οριζόντια, ταυτόχρονα ανεβαίνεις κατακόρυφα 10 μ. Υπενθυμίζει τον ορισμό της κλίσης ευθείας (εφαπτομένη ω). Οι μαθητές συνεχίζουν να δυσκολεύονται. Τελικά, ένας μαθητής απαντά σωστά. Ο καθηγητής εξηγεί. Το μάθημα προχωρά.

Μαθηματική Αξία Επεισοδίου Μαθηματική Αξία Επεισοδίου Εξοικείωση με την έννοια της κλίσης μιας ευθείας της μορφής: Η έννοια αυτή έχει, ως μαθηματικό αντικείμενο, μεγάλο βάθος και ευρεία εφαρμοσιμότητα σε ποικίλους τομείς. Επίσης, είναι μια μορφή έκφρασης, της κατεξοχήν μαθηματικής έννοιας, του ρυθμού μεταβολής. Σχήμα 2

Διδακτική Αξία Επεισοδίου Διδακτική Αξία Επεισοδίου Χρήση παραδείγματος από την πραγματική ζωή Αίσθηση του οικείου. Αντιμετωπίζουν δυσκολίες ως προς την ερμηνεία του ζητουμένου, αλλά όταν γίνουν οι απαραίτητες νοητικές συνδέσεις, απαντούν σωστά. Μεγάλη σημασία λοιπόν έχει η νοηματοδότηση της έννοιας από τον ίδιο τον μαθητή, ώστε στη συνέχεια να γίνει και η σωστή ερμηνεία. Ακόμα, μέσα από την ιδιαίτερη αυτή προσέγγιση της έννοιας: Αναδείχθηκαν οι σοβαρές αδυναμίες των μαθητών. Οι δυσκολίες ή οι παρερμηνείες που ήρθαν στην επιφάνεια, λύθηκαν με διαλογικό τρόπο. Ακολούθησε η συλλογική διατύπωση του σωστού συμπεράσματος.

Σχήμα 3: Γνωστική ανάπτυξη μιας τυπικής έννοιας Ερμηνεία Η κατάσταση στην οποία καλούνται να δώσουν λύση, κεντρίζει το ενδιαφέρον των μαθητών. Εντούτοις, αντιμετωπίζουν δυσκολίες που οι ίδιοι δεν θα ανέμεναν, αφού τους δίνεται ένα παράδειγμα πραγματικής κατάστασης, που όλοι είχαν συναντήσει στο παρελθόν, και πιθανότατα θεωρούσαν πως είχαν ερμηνεύσει. Οι ιδέες τους δεν είναι σωστές και απορρίπτονται. Ακόμα κι όταν ο καθηγητής απαντά στο πρώτο από τα ερωτήματα που τέθηκαν, και αργότερα υπενθυμίζει τον κλασικό ορισμό της κλίσης, οι μαθητές αδυνατούν να ανταποκριθούν. Επαναλαμβάνουν τα ίδια λάθη. Κάτι το οποίο θα μπορούσε να ερμηνευθεί αν λάβουμε υπόψιν ότι πιθανόν να μην έχει γίνει η σύνδεση ανάμεσα στον ορισμό της έννοιας «κλίσης» και στην εικόνα της έννοιας αυτής. Ορισμός Έννοιας Εικόνα Έννοιας Σχήμα 3: Γνωστική ανάπτυξη μιας τυπικής έννοιας

Σχήμα 4: Αλληλεπίδραση μεταξύ του ορισμού και της εικόνας Ο Vinner (1991) περιγράφοντας τον τρόπο που συνδέονται ο ορισμός μιας έννοιας με την εικόνα της έννοιας, απομόνωσε τον ορισμό από τα υπόλοιπα συστατικά της εικόνας και θεώρησε την ύπαρξη δύο διαφορετικών «κελιών» στη γνωστική δομή που έχει διαμορφώσει ένα άτομο για την έννοια. Το ένα κελί αφορά στον ορισμό της έννοιας και το δεύτερο στην εικόνα της έννοιας. Ένα από τα κελιά ή ακόμα και τα δύο μπορεί να είναι κενά. (σ.σ. Στην περίπτωση μας, το κελί της εικόνας της έννοιας, Concept Image), (Ζαχαριάδης, Σημειώσεις Διδακτικής Απειροστικού Λογισμού, e-class) Το κελί της εικόνας της έννοιας θεωρείται κενό, εφ’ όσον δεν αποδίδεται νόημα στο όνομα της έννοιας. Αυτό μπορεί να συμβεί στις περιπτώσεις που απλά απομνημονεύεται ο ορισμός της έννοιας. Output Concept definition Concept Image Input Σχήμα 4: Αλληλεπίδραση μεταξύ του ορισμού και της εικόνας

Ωστόσο, η οπτική με την οποία οι μαθητές αντιμετωπίζουν πλέον το ερώτημα έχει αλλάξει. Συνεχίζουν να μην απαντούν σωστά, όμως δεν έχουν την σιγουριά και την επιπολαιότητα, ίσως, που είχαν όταν πρότειναν τις ίδιες απαντήσεις στην αρχή. Αντιλαμβάνονται καλύτερα την “αδυναμία” τους. Όταν τελικά ένας μαθητής συνδέει τα δύο ερωτήματα, και την απάντηση του καθηγητή στο πρώτο, απαντά με μεγάλη ευκολία στο δεύτερο. Σύμφωνα δηλαδή με την θεωρία του Vinner, το 2ο ερώτημα – παράδειγμα (κλίση δρόμου 100%) βοήθησε στην κατασκευή μιας πιο ολοκληρωμένης εικόνας της έννοιας. Το νοητικό άλμα δεν έγινε άμεσα, παρόλ’ αυτά όταν συνέβη εντυπώθηκε στο νου τον μαθητών έντονα. Κάτι που αποδεικνύεται όταν η σωστή απάντηση στα ερωτήματα αυτά έρχεται και πάλι στο προσκήνιο, προς το τέλος του μαθήματος από κάποιον άλλο μαθητή, και δίνει λύση σε μία ακόμη μαθηματική κατάσταση.

Αξίζει να σημειωθεί ότι, οι μαθητές έχουν συναντήσει την έννοια της κλίσης ευθείας στην Β’ Γυμνασίου. Πρόκειται δηλαδή, για έννοια γνωστή. Όμως, υπάρχει σημαντική δυσκολία ως προς την ερμηνεία της μέσα στα πλαίσια ενός εμπειρικού παραδείγματος, γεγονός που δικαιώνει τις σχετικές έρευνες. Συγκεκριμένα, πρόσφατα αποτελέσματα δείχνουν ότι οι μαθητές τείνουν να υπολογίζουν μηχανικά την κλίση της εκάστοτε ευθείας, διαθέτοντας ταυτόχρονα ελάχιστη ως μηδαμινή προσοχή στο να ερμηνεύσουν τη σημασία της κλίσης μέσα στο πλαίσιο του τεθέντος μαθηματικού προβλήματος (Carlson et al. 2002; Herbert and Pierce 2008; Orton 1984; Thompson 1994; Ubuz 2007; and Wilhelm and Confrey 2003, αναφορά σε Teuscher & Reys, 2010).

Πως διαχειρίστηκε ο καθηγητής την διδακτική κατάσταση: Ο καθηγητής επέμεινε στο σημείο που οι μαθητές είχαν δυσκολία, επαναλαμβάνοντας τα ίδια ερωτήματα, ούτως ώστε οι απαντήσεις των μαθητών να αποκαλύψουν κάθε πιθανή αδυναμία στην σκέψη τους. Όταν πλέον, οι απαντήσεις είχαν ακολουθήσει μια αρκετά λανθασμένη πορεία, έδωσε απάντηση στο πρώτο από τα δυο ερωτήματα, ώστε να προκαλέσει τους μαθητές να σκεφτούν πιο εποικοδομητικά. Σταδιακά, η πορεία σκέψης των μαθητών άλλαξε, η λύση ειπώθηκε, και οι παρερμηνείες αποσαφηνίστηκαν. Εν ολίγοις, πιστεύουμε ότι η επιμονή του στο καίριο σημείο απέδωσε καρπούς. Οι μαθητές αφού τελικά απάντησαν σωστά, έδειξαν να αντιλαμβάνονται σε βάθος την έννοια.

Τι θα κάναμε εμείς και γιατί: Αν είχαμε επιλέξει αυτή τη μέθοδο προσέγγισης της έννοιας, θα ανταποκρινόμασταν στην διδακτική κατάσταση με τρόπο παρόμοιο με τον διδάσκοντα, του οποίου το μάθημα παρακολουθήσαμε. Αφού αντιλαμβανόμασταν τις σοβαρές δυσκολίες των μαθητών να ερμηνεύσουν το πρόβλημα, θα επιμέναμε αρκετά ώστε να βεβαιωθούμε για την φύση των δυσκολιών αυτών. Ίσως ακόμα, να αντικρούαμε τις απαντήσεις των μαθητών κάνοντάς τους να συνειδητοποιήσουν τις αντιφάσεις στις οποίες υποπίπτουν οι απαντήσεις τους. Ωστόσο, αν μια τέτοια τακτική δεν βοηθούσε, αλλά αντίθετα μπέρδευε περισσότερο τους μαθητές, θα προχωρούσαμε, όπως τελικά έκανε και ο εκπαιδευτικός, σε κάποια υπόδειξη, ώστε οι μαθητές να δουν υπό διαφορετική οπτική, το μαθηματικό αυτό πρόβλημα.

Πηγές Teuscher, D., & Reys, R. E. (2010). Slope, Rate of Change, and Steepness: Do Students Understand These Concepts? Mathematics Teacher, 103(7), 519 - 524. Ζαχαριάδης, Σημειώσεις Διδακτικής Απειροστικού Λογισμού, e-class

Ευχαριστούμε για την προσοχή σας.