Κατανομή Poisson Η κατανομή αυτή χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να μετρήσουμε τον αριθμό των γεγονότων που εμφανίζονται μέσα σ’ ένα διάστημα (0, t).

Απαραίτητη προϋπόθεση για τη χρησιμοποίηση της κατανομής Poisson είναι να ισχύουν τα εξής:

Κατανομή Poisson H πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα γεγονός σε διάστημα μήκους t είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. H πιθανότητα να πραγματοποιηθούν δυο ή περισσότερα γεγονότα σε διάστημα μήκους t είναι πολύ μικρή σε σχέση με την πιθανότητα εμφάνισης ενός μόνο γεγονότος, όταν το μήκος του διαστήματος είναι μικρό. Η πιθανότητα εμφάνισης k συμβάντων σ’ ένα διάστημα είναι ανεξάρτητη από την αντίστοιχη πιθανότητα σ’ ένα δεύτερο διάστημα ξένο προς το πρώτο.

Αν ισχύουν τα πιο πάνω, τότε η πιθανότητα πραγματοποίησης x γεγονότων σ’ ένα διάστημα μήκους t δίνεται από τη σχέση όπου e=2,71828… και λ ο μέσος όρος των συμβάντων στο διάστημα (0, t).

Κύριες περιγραφικές παράμετροι της Poisson E [X] = λ, Var [X] = λ, λ=νt (ν η συχνότητα)

Σχέση Διωνυμικής και Poisson Η Ε[Χ] της διωνυμικής είναι ίση np. Όταν το πλήθος n των δοκιμών Bernoulli τείνει στο άπειρο, θέτουμε λ=np

Εφαρμογές Υπόστρωμα Ελέγχου Πρόσβασης Μέσου WinBUGS Θάμπωμα εικόνας Η επίδραση των ουρών στη λειτουργία δικτύου Σεισμική επικινδυνότητα Κίνηση σε δίκτυο

Κατανομή Poisson H πιθανότητα να αντιδράσει άσχημα ένας ασθενής σε ‘ένα φάρμακο είναι 0,001. Αν το φάρμακο χορηγηθεί σε 2000 ασθενείς, να υπολογιστεί η πιθανότητα ανεπιθύμητης αντίδρασης (α) ακριβώς 3, (β) περισσότεροι από 2. Επειδή η ανεπιθύμητη αντίδραση είναι σπάνιο γεγονός θεωρούμε την κατανομή Poisson Άρα Ρ(Χ=3)=0,18 P(X>2)=0.323 διότι:

Κατανομή Poisson Το 1/10 των εργαλείων που κατασκευάζει μια εταιρεία είναι ελαττωματικά. Με τη διωνυμική κατανομή υπολογίστε την πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα 10 εργαλείων, τα 2 να είναι ελαττωματικά. Να προσεγγίσετε την πιθανότητα του ίδιου γεγονότος με κατανομή Poisson. Η προσέγγιση είναι καλή όταν p<0,1 και λ=np<5

Παράδειγμα κατανομής Poisson: (α) Να μην υπάρξουν κλήσεις (β) Να φθάσουν ακριβώς 2 κλήσεις (γ) Να φτάσουν τουλάχιστον 2 κλήσεις Η Poisson κατανομή δίνεται από τον γνωστό τύπο του οποίου η εφαρμογή δίνει: (α) Ρ(Χ = 0) = e-2 (b) P(X = 1) = e-2 2 (γ) Ρ(Χ = 2) = e-2 22 /2! (δ) Ρ(Χ > 2) = 1 – Ρ(Χ=0) – Ρ(Χ=1) = 1 -e-2 - e-2 2 =1 – 3e-2 WWW

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ προσεγγίσεως Το εργοστάσιο έστειλε στην αποθήκη 500 τηλεοράσεις . Η πιθανότητα να χαλάσουν οι τηλεοράσεις κατά τη διάρκεια της μεταφοράς τους είναι 0,002.Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να χαλάσουν κατά την διάρκεια της μεταφοράς τους: α) ακριβώς 3 τηλεοράσεις β) λιγότερες από 3 τηλεοράσεις γ) περισσότερες από3 τηλεοράσεις δ) τουλάχιστον 1 τηλεόραση. Ο αριθμός n=500είναι μεγάλος, η πιθανότητα Ρ=0,002είναι μικρή τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν (να χαλάσει η τηλεόραση κατά τη διάρκεια της μεταφοράς της )είναι ανεξάρτητα, για αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε τον τύπο Poisson: Ρn(Â)=e-λ λκ /Â! a)Βρίσκουμε το λ: λ=n·Ρ=500·0,002=1 Οπότε η πιθανότητα να χαλάσουν ακριβώς 3 τηλεοράσεις είναι: Ρ500(3)=e-1/3!=0,36788/6=0,613 β) Βρίσκουμε την πιθανότητα να χαλάσουν λιγότερο από 3 τηλεοράσεις: Ρ500(0) + Ρ500(1) + Ρ500(2)=e-1+e-1+e-1/2=5/2 e-1=(5/2)  0,36788=0,9197 γ)Βρίσκουμε την πιθανότητα να χαλάσουν περισσότερο από 3 τηλεοράσεις . Τα ενδεχόμενα: Α-να χαλάσουν περισσότερο από 3 τηλεοράσεις και το Β- να χαλάσουν όχι πάνω από 3 τηλεοράσεις είναι αντίθετα, οπότε: Ρ(Α) + Ρ(Β)=1 ή Ρ(Α)=1-Ρ(Β) Επομένως: Ρ(Α)=1-[Ρ(0)+Ρ(1)+Ρ(2)+Ρ(3)]=1-(0,9197+0,0613)=0,019 δ) Βρίσκουμε την πιθανότητα να χαλάσει τουλάχιστον 1 τηλεόραση . Τα ενδεχόμενα: Γ-να μη χαλάσει καμιά τηλεόραση και Δ-και να χαλάσει τουλάχιστον μια τηλεόραση είναι αντίθετα, οπότε: Ρ(Γ)+Ρ(Δ)=1 Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Ρ(Δ)=1- Ρ(Γ)=1 - Ρ500(0)=1 - e-1=1 - 0,36788=0,632

Παράδειγμα κατανομή Poisson για την προσέγγιση της Διωνυμικής: Σε μια διασταύρωση με μεγάλη κίνηση, η πιθανότητα, p, ένα αυτοκίνητο να έχει ένα δυστύχημα είναι πολύ μικρή, p=0.0001. Κατά το χρονικό διάστημα 2-4μ.μ, ένας μεγάλος αριθμός αυτοκινήτων περνάει από την διασταύρωση, κατά μέσο όρο 1000. Κάτω από τις συνθήκες αυτές, ποια είναι η πιθανότητα να συμβούν δύο ή περισσότερα δυστυχήματα κατά το χρονικό διάστημα 2-4 μ.μ. Επειδή το n είναι μεγάλο και το p μικρό, μπορούμε να προσεγγίσουμε την διωνυμική κατανομή με την Poisson κατανομή, Οπότε, Ρ(Χ>2) = 1-Ρ(Χ=0) –Ρ(Χ=1) = 1-e -0.1 (1+0.1) = = 0,0045