Χειμερινό εξάμηνο 2017 Τρίτη διάλεξη Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Χειμερινό εξάμηνο 2017 Τρίτη διάλεξη

Αντικείμενο διάλεξης Αλγεβρικές απλοποιήσεις Απλοποιήσεις με τη μέθοδο του χάρτη Karnaugh Διαγράμματα Venn

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Η κανονίκη μορφή δημιουργείται από τον πίνακα αληθείας και είναι το λογικό άθροισμα (δηλαδή συνδυάζονται υπό μορφή OR) όρων που είναι εκφράσεις AND των μεταβλητών εισόδου στην κανονική, ή συμπληρωματική τους μορφή ανάλογα με την τιμή που έχουν (1 ή 0). Οι όροι που συμπεριλαμβάνονται στο λογικό άθροισμα είναι οι όροι για τους οποίους η τελική συνάρτηση έχει τιμή 1

Αναστάσιος Μπαλουκτσής Παράδειγμα Δίνεται η λογική συνάρτηση: Να γίνει ο πίνακας αληθείας, να γραφεί η κανονική μορφή αθροίσματος, να απλοποιηθεί η σχέση χρησιμοποιώντας την άλγεβρα Boole και να σχεδιαστεί το ψηφιακό κύκλωμα που την υλοποιεί. Λύση: Αναστάσιος Μπαλουκτσής

Αναστάσιος Μπαλουκτσής Απλοποίηση A C OR B AND BC Q = BC + A · Ψηφιακό κύκλωμα Αναστάσιος Μπαλουκτσής

Αλγεβρικές απλοποιήσεις Απλοποίηση ορίζεται ως η διαδικασία κατά την οποία μειώνεται ο αριθμός των λογικών πυλών με τις οποίες υλοποιείται το κύκλωμα, χωρίς να αλλοιώνεται η λειτουργία του.

Να απλοποιηθεί το κύκλωμα

Απλοποίηση με χάρτη Karnaugh

Απλοποίηση με χάρτη Karnaugh Για την απλοποίηση μιας λογικής συνάρτησης με τρεις μεταβλητές Α, Β και C χρησιμοποιώ τον ακόλουθο χάρτη Karnaugh:

Απλοποίηση με χάρτη Karnaugh Για την απλοποίηση μιας λογικής συνάρτησης με τέσσερις μεταβλητές Α, Β, C και D χρησιμοποιώ τον ακόλουθο χάρτη Karnaugh. Παρατηρήστε ότι η αρίθμηση γίνεται με κώδικα Gray.

Απλοποίηση με χάρτη Karnaugh Κάθε τετράγωνο που περιέχει ‘1’ πρέπει να ομαδοποιήται τουλάχιστον μια φορά. Σχηματισμός όσο το δυνατόν λιγότερων ομάδων. Τα μέλη της ομάδας είναι δύναμη του 2: 1,2,4,6,8,16. Τα «αδιάφορα» τετράγωνα μπορούν να θεωρηθούν ‘1’ ή ‘0’ ανάλογα αν βολεύουν στην ομαδοποίηση. Ο χάρτης μπορεί να αναδιπλωθεί οριζόντια ή κάθετα. Κατά την απλοποίηση κρατάμε τους όρους που δεν αλλάζουν.

Ομαδοποίηση

Γινόμενο αθροισμάτων

Συνθήκες αδιαφορίας Οι αδιάφοροι όροι μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως άσσοι ή μηδενικά ανάλογα με την απλοποίηση που οδηγεί στο μικρότερο κύκλωμα.

Ορισμός συνόλου Ένα σύνολο αποτελεί μια καλά ορισμένη συλλογή αντικειμένων, όχι κατ’ ανάγκη ομοειδών. Με τον όρο “καλά ορισμένη” νοείται η περιγραφή του συνόλου κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να μπορεί κάποιος να καθορίσει αν κάποιο δοσμένο αντικείμενο ανήκει ή όχι στο συγκεκριμένο σύνολο.

Συμπλήρωμα του συνόλου Έστω ένα σύνολο A. Ονομάζουμε συμπλήρωμα του συνόλου A το σύνολο A’ τα στοιχεία του οποίου ανήκουν στο καθολικό σύνολο U αλλά δεν ανήκουν στο σύνολο A.

Τομή των δύο συνόλων Έστω δύο σύνολα A και B. Ονομάζουμε τομή των δύο συνόλων το σύνολο A ∩B τα στοιχεία του οποίου ανήκουν τόσο στο σύνολο A όσο και στο σύνολο B.

Ένωση των δύο συνόλων Έστω δύο σύνολα A και B. Ονομάζουμε ένωση των δύο συνόλων το σύνολο AUB τα στοιχεία του οποίου ανήκουν είτε στο σύνολο A είτε στο σύνολο B (είτε και στα δύο σύνολα).

Διαγράμματα Venn

Διαγράμματα Venn

Διαγράμματα Venn Πίνακας αληθείας με διάγραμμα Venn