Ειδικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εξισώσεις υπερβολικού τύπου Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Σκοποί ενότητας Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green α) Ειδικές λύσεις της εξισώσεως του Laplace β) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες 1 𝑟 2 𝜕 𝜕r 𝑟 2 𝜕𝑢 𝜕𝑟 + 1 sin𝜃 𝜕 𝜕𝜃 sin𝜃 𝜕𝑢 𝜕𝜃 + 1 sin 2 𝜃 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝜑 2 =0 Αν η θερμοκρασία είναι ανεξάρτητος της γωνίας φ, η εξίσωση μας γίνεται απλούστερη και παίρνει την μορφή 1 𝑟 2 𝜕 𝜕r 𝑟 2 𝜕𝑢 𝜕𝑟 + 1 sin𝜃 𝜕 𝜕𝜃 sin𝜃 𝜕𝑢 𝜕𝜃 =0

Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες (2) Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών για επίλυση. Θεωρούμε λοιπόν την λύση u(r,θ)=R(r)Θ(θ) οπότε παίρνουμε Άρα

Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες (3) Συνεπώς έχουμε πλέον προς επίλυση τις εξισώσεις 𝑟 2 𝑅 ′ ′ +2𝑟 𝑅 ′ + 𝑝 2 𝑅=0 𝑑 𝑑𝜃 ( 𝛩 ′ sin𝜃)− 𝑝 2 𝛩sin𝜃=0 Η παραπάνω εξίσωση γράφεται 𝑑 𝑑𝜃 ( 𝛩 ′ sin𝜃)+𝑛(n+1)𝛩sin𝜃=0

Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες (4) Εν συνεχεία θέτουμε στην παραπάνω εξίσωση 𝜉=cos𝜃 και 𝑑 𝑑𝜃 =−sin𝜃 𝑑 𝑑𝜉 , οπότε αυτή ανάγεται στην εξίσωση 𝑑 𝑑𝜉 (1− 𝜉 2 ) d𝛩 d𝜉 +𝑛(𝑛+1)𝛩=0 Η παραπάνω εξίσωση είναι η εξίσωση του Legendre. H λύση της εξισώσεως Legendre είναι 𝛩=𝐶 𝑃 𝑛 (𝜉)+𝐷 𝑄 𝑛 (𝜉) όπου 𝑃 𝑛 (ξ) είναι τα πολυώνυμα n βαθμού του Legendre και 𝑄 𝑛 (𝜉) είναι οι συναρτήσεις Legendre του δευτέρου είδους, αντιστοίχως.

Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green. Ειδικές λύσεις της εξισώσεως του Laplace Σε προβλήματα της Φυσικής , στα οποία μελετάται η κατανομή ενός φυσικού μεγέθους σε σώμα ευρισκόμενο σε κατάσταση ισορροπίας η εξίσωση που καλούμεθα να λύσουμε είναι η εξίσωση του Laplace, 𝛻 2 𝑢=0. Η συνάρτηση λέγεται αρμονική συνάρτηση στον χώρο Τ , στον οποίο ορίζεται, εφ’όσον είναι συνεχής και έχει παραγώγους δευτέρας τάξεως τουλάχιστον .

Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green (2) Ειδικές λύσεις της εξισώσεως του Laplace (2) Στην περίπτωση λ.χ. ηλεκτρικού φορτίου κατανεμημένου ομοιόμορφα επί ευθείας απείρου μήκους το πεδίο είναι συμμετρικό ως προς άξονα και το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση από τον άξονα περιγράφεται από την εξίσωση 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑟 2 + 1 𝑟 𝜕𝑢 𝜕𝑟 =0 η οποία έχει λύση 𝑢=𝐴ln𝑟+𝐵, όπου Α και Β σταθερές. Επιλέγουμε 𝐴=−1,𝐵=0 οπότε προκύπτει 𝑢=ln 1 𝑟

Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green (3) Ειδικές λύσεις της εξισώσεως του Laplace (3) Η παραπάνω εξίσωση καλείται θεμελιώδης λύση της εξισώσεως του Laplace στο επίπεδο και ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace σε κάθε σημείο με εξαίρεση την θέση 𝑟=0 , στην οποία η u(r) καθίσταται άπειρος. Αν το πρόβλημα διέπεται από σφαιρική συμμετρία, όπως είναι λ.χ. το πρόβλημα του προσδιορισμού του δυναμικού στον χώρο λόγω σημειακού φορτίου ευρισκομένου στην αρχή των αξόνων, η αντίστοιχη εξίσωση είναι 𝑑 𝑑𝑟 r 2 𝑑𝑢 𝑑𝑟 =0 με λύση 𝑢= 𝐴 𝑟 +𝐵, όπου A και B σταθερές. Η λύση 𝑢= 1 𝑟 καλείται θεμελιώδης λύση της εξισώσεως του Laplace στις τρεις διαστάσεις και ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace σε κάθε σημείο με εξαίρεση την θέση r=0.

Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green (4) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ο μετασχηματισμός αυτός συνιστά τεχνική κατάλληλη για την επίλυση φυσικών προβλημάτων ,τα οποία σχετίζονται με αρμονικές συναρτήσεις σε χώρους ,οι οποίοι χαρακτηρίζονται από σφαιρική ή αξονική συμμετρία. Ένας μετασχηματισμός λέγεται αντίστροφος ως προς κύκλο ή σφαίρα με κέντρο O και ακτίνα α, αν σε κάθε σημείο A(r) του κύκλου ή της σφαίρας αντιστοιχεί ένα άλλο σημείο A’(r) επί της ευθείας , η οποία διέρχεται από τη αρχή O των συντεταγμένων και από το A, και για το οποίο ισχύει 𝑟𝜌= 𝛼 2 . Το σημείο A’ λέγεται συζυγές του σημείου A ως προς τον κύκλο ή την σφαίρα. 𝑟𝜌= 𝛼 2

Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green (5) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός (2) Η ανωτέρω σχέση τροποποιείται με κατάλληλο επιλογή της μονάδας του μήκους ούτως, ώστε η μελέτη να είναι γενική και ανεξάρτητος της ακτίνας. Έστω 𝛻 ∗2 𝑢 η έκφραση της Λαπλασιανής ως προς τις νέες ( αδιάστατες ) μεταβλητές 𝑟 ∗ ,𝜃. Έχουμε 𝛻 ∗2 𝑢= 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑟 ∗2 + 1 𝑟 ∗ 𝜕𝑢 𝜕 𝑟 ∗ + 1 𝑟 ∗2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝜃 2 Αλλά 𝜕 𝜕 𝑟 ∗ = 𝜕 𝜕𝑟 𝑑𝑟 𝑑 𝑟 ∗ =𝛼 𝜕 𝜕𝑟 και 𝜕 2 𝜕 𝑟 2∗ = 𝛼 2 𝜕 2 𝜕 𝑟 2

Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green (6) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός (3) Επομένως, 𝛻 ∗2 𝑢= 𝛼 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑟 2 + 𝛼 𝑟 𝜕𝑢 𝜕𝑟 + 𝛼 2 𝑟 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝜃 2 = 𝛼 2 𝛻 2 𝑢 Συνεπώς, κατά την μετάβαση από τις συντεταγμένες 𝑟,𝜃 στις 𝑟 ∗ ,𝜃 η Λαπλασιανή πολλαπλασιάζεται επί τον σταθερό παράγοντα 1 𝛼 2 και γίνεται 𝛻 2 𝑢= 1 𝛼 2 𝛻 ∗2 𝑢

Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green (7) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός (4) Έστω 𝑢(r,θ) αρμονική συνάρτηση στις δύο διαστάσεις, όπου r,θ πολικές συντεταγμένες και 𝜐(ρ,θ) η συνάρτηση, η οποία προκύπτει κατά τον αντίστροφο μετασχηματισμό από την 𝜐(ρ,θ) αν θέσουμε στην θέση του r το 1 𝑟 =𝜌. Έχουμε 𝛻 𝑟,𝜃 2 𝜐= 𝜕 2 𝜐 𝜕 𝑟 2 + 1 𝑟 𝜕𝜐 𝜕𝑟 + 1 𝑟 2 𝜕 2 𝜐 𝜕 𝜃 2 όπου 𝜕𝜐 𝜕𝑟 = 𝜕𝜐 𝜕𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑟 =− 𝜌 2 𝜕𝜐 𝜕𝜌 και 𝜕 2 𝜐 𝜕 𝑟 2 =2 𝜌 3 𝜕𝜐 𝜕𝜌 + 𝜌 4 𝜕 2 𝜐 𝜕 𝜌 2

Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green (8) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός (5) Επομένως 1 𝜌 4 𝛻 𝑟,𝜃 2 𝜐= 𝜕 2 𝜐 𝜕 𝜌 2 + 1 𝜌 𝜕𝜐 𝜕𝜌 + 1 𝜌 2 𝜕 2 𝜐 𝜕 𝜃 2 ⇒ 𝛻 𝑟,𝜃 2 𝜐= 𝜌 4 𝛻 𝜌,𝜃 2 𝜐 Αλλά 𝛻 𝑟,𝜃 2 𝑢(𝑟,𝜃)=0 οπότε και 𝛻 𝜌,𝜃 2 𝜐(ρ,θ)=0

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από το βιβλίο: «Ειδικά Μαθηματικά», Γ. Καραχάλιου & Β. Λουκόπουλου, Παν/μίου Πατρών, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Βασίλειος Λουκόπουλος. «Ειδικά Μαθηματικά. Ενότητα 9». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/PHY1945/

Τέλος Ενότητας