Μια μικρή παρουσίαση Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνης , μαθηματικού Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη Μια μικρή παρουσίαση Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνης , μαθηματικού ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ «ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ» Νοέμβριος 2015

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ta Στοιχεία του Ευκλείδη, ένα έργο που αποτελείται από 13 βιβλία και είναι ένα κορυφαίο παράδειγμα αξιωματικής μεθόδου μεγάλης ιστορικής σημασίας. Παρουσιάζονται, τα 5 αιτήματα και οι 5 κοινές έννοιες, όπως και κάποιες «ελλείψεις - παραδοχές» των Στοιχείων. Ακολούθως, δίνονται οι θέσεις του Αριστοτέλη και του Πρόκλου πάνω στην αξιωματική μέθοδο. Τέλος, γίνεται μια χρονολογική περιγραφή της μετάβασης από την Ελληνιστική στην σύγχρονη μαθηματική εποχή.

Ευκλείδης , 300 π.χ

Έζησε το 300 περίπου π. Χ , την περίοδο του Πτολεμαίου του Α΄. Ήταν ο πρώτος καθηγητής μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας. Πιθανόν να σπούδασε στην Ακαδημία Πλάτωνα. Άρα γνώρισε εκεί τη Γεωμετρία του Θεύδιου από τη Μαγνησία , η οποία θεωρείται πρόδρομος των Στοιχείων. Έγραψε τα Στοιχεία , κορυφαίο παράδειγμα αξιωματικής μεθόδου.

Τα Στοιχεία Αποτελούνται από 13 Βιβλία με 465 προτάσεις. Οι προτάσεις δεν αναφέρονται μόνο στη Γεωμετρία αλλά στην Θεωρία Αριθμών και την Γεωμετρική Άλγεβρα. Δεν σώζεται αντίτυπο του Ευκλείδη. Σύγχρονες εκδόσεις βασίζονται στη δουλειά του Θέωνα από την Αλεξάνδρεια – 400 μ.Χ Πρώτη έκδοση : 1482 μ.Χ Πάνω από 1000 εκδόσεις έχουν εμφανιστεί μετά την πρώτη. Το 1808 μ.Χ βρέθηκε έκδοση του 10ου αιώνα, προγενέστερη του Θέωνα, στη βιβλιοθήκη του Βατικανού- F. Peyrard. Ο αντίκτυπος τους στην ανάπτυξη των μαθηματικών ήταν τεράστιος.

Τα 13 βιβλία Βιβλίο Ι : Περιέχει αξιώματα , αιτήματα και κοινές έννοιες καθώς επίσης , θεωρήματα στην ισότητα τριγώνων , στις παράλληλες ευθείες και στα ευθύγραμμα σχήματα. Βιβλίο ΙΙ : Αναφέρεται στη Γεωμετρική Άλγεβρα. Βιβλίο ΙΙΙ : Περιέχει θεωρήματα γύρω από τον κύκλο. Βιβλίο ΙV : Διαπραγματεύεται τις κατασκευές κανονικών πολυγώνων. Βιβλία V , VΙ : Παρουσιάζεται η θεωρία αναλογιών του Ευδόξου καθώς και οι εφαρμογές της στη Γεωμετρία. Βιβλία VΙΙ ,VΙIΙ , IX : Περιέχει 102 προτάσεις στη Θεωρία Αριθμών. Βιβλίο X : Αναφέρεται στην ασυμμετρία , το μεγαλύτερο μέρος του είναι έργο του Θεαίτητου. Βιβλία ΧΙ ,ΧIΙ , XΙΙΙ : Είναι αφιερωμένα στη Στερεομετρία.

Ορισμοί Μερικοί ορισμοί από το 1ο Βιβλίο των Στοιχείων είναι : Σημείο είναι ότι δεν έχει κανένα μέρος. Γραμμή είναι ότι έχει μόνο μήκος (χωρίς πλάτος). Επιφάνεια είναι ότι έχει μόνο μήκος και πλάτος. Κύκλος είναι το επίπεδο σχήμα που περιέχεται σε μια γραμμή τέτοια, ώστε όλες οι ευθείες γραμμές που την τέμνουν και περνούν από ένα ειδικό σημείο από αυτά που βρίσκονται μέσα στο σχήμα, είναι ίσες. Άλλοι ορισμοί , π. χ γωνιών (οξείας, αμβλείας, ορθής) , του τετραπλεύρου , του είδους των τριγώνων (ισοπλεύρου , ισοσκελούς , σκαληνού) καθώς και ο ορισμός των παραλλήλων ευθειών.

Τα Αιτήματα Από δυο οποιαδήποτε σημεία μπορούμε να φέρουμε μια ευθεία γραμμή. Ένα ευθ. τμήμα μπορεί να προεκταθεί συνεχώς σε ευθεία γραμμή. Με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα , μπορούμε να φέρουμε κύκλο. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 2 ορθές ,τότε οι ευθείες αν προεκταθούν απεριόριστα, θα τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες.

Σχόλια στα Αιτήματα Τα τρία πρώτα είναι αιτήματα κατασκευής. Τα εργαλεία του Ευκλείδη είναι ο κανόνας και ο διαβήτης. Το 1ο και το 3ο είναι αιτήματα ύπαρξης , της ευθείας και του κύκλου αντίστοιχα. Το 4ο ορθώς προηγείται του 5ου . Το περίφημο 5ο αίτημα έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη των μοντέρνων μαθηματικών αλλά και στη βελτίωση της αξιωματικής μεθόδου

Αξιώματα – Κοινές έννοιες Πράγματα που είναι ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα. Αν σε ίσα προστεθούν ίσα , τότε θα προκύψουν ίσα. Αν σε ίσα αφαιρέσουμε ίσα , τότε θα προκύψουν ίσα. Πράγματα που ταυτίζονται , είναι ίσα μεταξύ τους. Το όλον είναι μεγαλύτερο από το μέρος.

Σιωπηλές Παραδοχές των Στοιχείων Βιβλίο Ι , Πρόταση 1: «Από δοσμένο ευθ. τμήμα , να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο ». Η ύπαρξη σημείων τομής των κύκλων θα έπρεπε να υπάρχει σε αίτημα ή να αποδεικνύεται. Βιβλίο Ι , Πρόταση 16 : «Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου ». Κάθε ευθεία προεκτείνεται απεριόριστα ; Θα έπρεπε να υπάρχει σε αίτημα ή να αποδεικνύεται. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Κατά μία άποψη , το σύνολο των αιτημάτων μάλλον θέλει βελτίωση. Αυτό απασχόλησε τους μαθηματικούς για πάνω από 2000 χρόνια.

Αριστοτέλης για την αξιωματική μέθοδο Κάθε αποδεικτική επιστήμη χρειάζεται Βασικές Αρχές. Αυτές είναι : Ορισμοί Αξιώματα Προτάσεις ύπαρξης - Αιτήματα Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη , τα αιτήματα διαχωρίζονται από τα αξιώματα ως εξής :

Διαχωρισμός αιτημάτων - αξιωμάτων Αξιώματα Κοινά σε όλες τις επιστήμες. Δεν χρειάζεται απόδειξη. Γίνεται δεκτό από τον σπουδαστή. Αυταπόδεικτα. Αιτήματα Εξαρτάται από την επιστήμη. Χρειάζεται απόδειξη. Γίνεται δεκτό από τον σπουδαστή με επιφύλαξη. Δεν είναι Αυταπόδεικτα.

Πρόκλος 5ος αιώνας μ.Χ Μέσω αυτού γνωρίζουμε όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη. Μας δίνει το νόημα της λέξης Στοιχεία. Είναι τα θεωρήματα κλειδιά του Ευκλείδη. Αναφέρει ότι εκτός από τον Ευκλείδη , ο Ιπποκράτης ο Χίος , πρώτος έκανε μια προσπάθεια να γράψει Στοιχεία. Επίσης οι Λέων και Θεύδιος από τη Μαγνησία έφτιαξαν μια παρόμοια συλλογή. Συγχέει την έννοια αξιώματος και αιτήματος.

Χρονική μετάβαση στα μοντέρνα μαθηματικά Άλλοι μαθηματικοί μετά τον Ευκλείδη , είναι οι Αρχιμήδης, Απολλώνιος , Ερατοσθένης , Μενέλαος , Κλαύδιος Πτολεμαίος , Χέρον , Διόφαντος , Πάππος. Δεν βελτίωσαν όμως την αξιωματική μέθοδο ! 641 μ. Χ , η Αλεξάνδρεια καταλαμβάνεται από τους Άραβες. Σηματοδοτεί το τέλος της Ελληνιστικής Περιόδου. 7ος αιώνας μ.Χ , οι Άραβες μεταφράζουν Έλληνες και Ινδούς. 11ος αιώνας μ.Χ , τα Στοιχεία μεταφράζονται στα Λατινικά. 13ος αιώνας μ.Χ , ιδρύονται Πανεπιστήμια, άνθηση μαθηματικών.

Χρονική μετάβαση στα μοντέρνα μαθηματικά 14ος αιώνας μ.Χ , άγονος για τα μαθηματικά λόγω της πανώλης και του εκατονταετή πολέμου. 15ος αιώνας μ.Χ , Αναγέννηση , πτώση Βυζαντινής Αυτοκρατορίας. Τα μαθηματικά ανθούν στις Ιταλικές πόλεις και στην Κεντρική Ευρώπη. 16ος αιώνας μ.Χ , επίλυση της τριτοβάθμιας και τεταρτοβάθμιας εξίσωσης. 1572 μ.Χ μετάφραση των στοιχείων από τα Ελληνικά. 17ος αιώνας μ.Χ , ο πιο γόνιμος για τα μαθηματικά. Η εμφάνιση του Λογισμού. Η αξιωματική μέθοδος θα απασχολήσει ξανά τους μαθηματικούς με νέες ανακαλύψεις.

Πηγές [1]. Howard Eves , Foundantions and Fundamental Concepts of Mathematics , 3rd ed, chapter 2, p26-41.