ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Διαγνωστικοί έλεγχοι - Αυτοσυσχέτιση

Έλεγχος Breusch-Godfrey Αν η AR διαδικασία είναι μεγαλύτερη από πρώτου βαθμού τότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο Durbin- Watson.Με τον έλεγχο των BG παρέχεται ένας γενικός έλεγχος για μεγαλύτερου βαθμού αυτοσυσχέτιση. Ο έλεγχος BG διεξάγεται παλινδρομώντας τα κατάλοιπα που προκύπτουν από μια παλινδρόμηση Ελαχίστων Τετραγώνων μεταξύ της εξαρτημένης μεταβλητής, τω ερμηνευτικών μεταβλητών και ένα σύνολο καταλοίπων με υστερήσεις.

Έλεγχος Breusch-Godfrey Η μέθοδος που επινόησαν για τον έλεγχο της αυτοσυσχέτισης οποιασδήποτε τάξης βασίζεται στην αρχή του πολλαπλασιαστή Lagrange (LM-Lagrange Multiplier Principle) και γι’αυτόν το λόγο ονομάζεται και LM test. Μπορεί να εφαρμοστεί σε διάφορα σχήματα υποδειγμάτων χρονολογικών σειρών όπως τα AR(p), MA (q) και ARMA (p,q). Ο έλεγχος των BG χρησιμοποιείται και όταν το υπόδειγμα έχει ως ανεξάρτητες μεταβλητές την εξαρτημένη με χρονικές υστερήσεις.

Διαδικασία του ελέγχου BG ή LM test Εκτιμούμε το αρχικό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και αποθηκεύουμε τα κατάλοιπα et Εκτιμούμε τη βοηθητική παλινδρόμηση των καταλοίπων et επάνω στη σταθερά, σε όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές του αρχικού υποδείγματος καθώς και στις μεταβλητές των καταλοίπων με υστέρηση μέχρι την τάξη της αυτοσυσχέτισης που θέλουμε να ελέγξουμε και από την παλινδρόμηση αυτή παίρνουμε τον συντελεστή προσδιορισμού R2

Διαδικασία του ελέγχου BG ή LM test 3) Υπολογίζουμε τη στατιστική των BG ως εξής: BG=(n-p)R2 4) Ελέγχουμε την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης σύμφωνα με τις παρακάτω υποθέσεις: Η0: ρ1=ρ2=…=ρκ=0 (Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η1: ρ1=ρ2=..=ρκ≠0 (Υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Για α επίπεδο σημαντικότητας, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν BG>X2(p)

Πρακτικά ζητήματα σχετικά με τον έλεγχο BG Οι παλινδρομητές που περιλαμβάνονται στο υπόδειγμα παλινδρόμησης μπορεί να περιέχουν υστερήσεις της παλινδρομούμενης μεταβλητής Υ, δηλ. Υt-1, Yt-2 κτλ., μπορούν να συμπεριληφθούν στο υπόδειγμα ως ερμηνευτικές μεταβλητές. Αυτό το υπόδειγμα αντιπαραβάλλεται με τον περιορισμό του ελέγχου DW σύμφωνα με τον οποίο δε μπορεί να υπάρχει υστέρηση της παλινδρομούμενης μεταβλητής μεταξύ των παλινδρομητών. Ο έλεγχος BG εφαρμόζεται ακόμα και αν οι διαταρακτικοί όροι ακολουθούν ένα σχήμα κινητών μέσων p-τάξης (ΜΑ)

Πρακτικά ζητήματα σχετικά με τον έλεγχο BG Ένα μειονέκτημα του ελέγχου BG είναι ότι η τιμή του p, το εύρος των υστερήσεων, δεν μπορεί να καθοριστεί εκ των προτέρων. Ορισμένες φορές κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει τα κριτήρια των Akaike και Schwarz προκειμένου να επιλέξει το εύρος των χρονικών υστερήσεων.

Έλεγχος Wald Ο έλεγχος της αυτοσυσχέτισης ανώτερης τάξης μπορεί να γίνει και με την κατανομή F του Wald ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα: Εκτιμούμε το αρχικό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και αποθηκεύουμε τα κατάλοιπα et

Έλεγχος Wald 2) Εκτιμούμε τη βοηθητική παλινδρόμηση των καταλοίπων επάνω στη σταθερά, σε όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές του αρχικού υποδείγματος, καθώς και στις μεταβλητές των καταλοίπων με υστέρηση μέχρι τη τάξη της αυτοσυσχέτισης που θέλουμε να ελέγξουμε και από την παλινδρόμηση αυτή παίρνουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων ESSu

Έλεγχος Wald 3) Εκτιμούμε την περιορισμένη βοηθητική παλινδρόμηση των καταλοίπων et επάνω στη σταθερά, και σε όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές του αρχικού υποδείγματος (χωρίς τις μεταβλητές των καταλοίπων με υστέρηση) της παλινδρόμηση του βήματος 2 και παίρνουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων ESSr

Έλεγχος Wald 4) Υπολογίζουμε το στατιστικό F του Wald ως εξής: 5) Ελέγχουμε την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης σύμφωνα με τις παρακάτω υποθέσεις: Η0: ρ1=ρ2=…=ρκ=0 (Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η1: ρ1=ρ2=..=ρκ≠0 (Υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Για α επίπεδο σημαντικότητας, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν F>Fκρ.τιμή δηλ. υπάρχει αυτοσυσχέτιση p τάξης

Έλεγχος Ljung-Box H στατιστική των Ljung-Box (Q*) ακολουθεί την κατανομή Χ2 Ελέγχουμε την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης σύμφωνα με τις παρακάτω υποθέσεις: Η0: ρ1=ρ2=…=ρκ=0 (Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η1: ρ1=ρ2=..=ρκ≠0 (Υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Για α επίπεδο σημαντικότητας, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν Q*>X2(p), δηλ. υπάρχει αυτοσυσχέτιση p τάξης

Γιατί τόσοι πολλοί έλεγχοι αυτοσυσχέτισης? Δεν υπάρχει ακόμη κάποιος έλεγχος ο οποίος να έχει κριθεί απερίφραστα ότι είναι ο καλύτερος (δηλ. ισχυρότερος από στατιστικής άποψης), και έτσι ο αναλυτής χρειάζεται να εξετάζει πολυάριθμους ελέγχους για την ανίχνευση της αυτοσυσχέτισης.

Εκτίμηση του Υποδείγματος όταν Υπάρχει Αυτοσυσχέτιση Ας υποθέσουμε ότι το αρχικό μας υπόδειγμα είναι το Yt = β0+β1Χt+εt και ας υποθέσουμε επίσης ότι τα κατάλοιπα εt ακολουθούν πρώτης τάξης αυτοσυσχέτιση της μορφής εt=ρεt-1 +ut Οι οικονομετρικές τεχνικές που εφαρμόζονται χωρίζονται σε δυο κατηγορίες: Α) όταν η μορφή αυτοσυσχέτισης είναι γνωστή Β) όταν η μορφή αυτοσυσχέτισης είναι άγνωστη

Εκτίμηση του Υποδείγματος όταν Υπάρχει Αυτοσυσχέτιση Συνήθως υποθέτουμε AR(1).Αν το αρχικό υπόδειγμα ισχύει στο χρόνο t, τότε ισχύει και στο χρόνο t-1. Δηλαδή: Πολλαπλασιάζουμε την προηγούμενη σχέση με ρ και έχουμε: Αφαιρούμε την παραπάνω σχέση με το αρχικό υπόδειγμα και έχουμε:

Εκτίμηση του Υποδείγματος όταν Υπάρχει Αυτοσυσχέτιση Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και ως Γενικευμένη Εξίσωση Διαφορών (Generalised Difference Equation) και μπορεί να γραφεί ως: Η απώλεια μιας παρατήρησης μπορεί να μην έχει επιπτώσεις στην εκτίμηση ενός υποδείγματος με μεγάλο μέγεθος δείγματος, έχει όμως σοβαρά προβλήματα όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό. Για να μη χαθεί η πρώτη παρατήρηση εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό των Prais-Winsten (Prais-Winsten transformation) οπότε η πρώτη παρατήρηση των μεταβλητών Υ* και Χ* ορίζονται ως εξής:   και

Εκτίμηση του Υποδείγματος όταν Υπάρχει Αυτοσυσχέτιση Στην πράξη η τιμή του συντελεστή της αυτοσυσχέτισης δεν είναι γνωστή. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές η πιο γνωστή είναι η τεχνική των Cochrane-Orcutt. Οι Cochrane – Orcutt (1949) δημιούργησαν μια τεχνική για τον υπολογισμό του συντελεστή αυτοσυσχέτισης που βασίζεται σε επαναληπτικές εκτιμήσεις, ώστε να προσδιοριστεί ο καλύτερος εκτιμητής του συντελεστή αυτοσυσχέτισης.

Τα βήματα που ακολουθούμε στην περίπτωση αυτή είναι: Εκτιμάμε το παρακάτω υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και σώζουμε τα κατάλοιπα εt . Με τα κατάλοιπα εt εκτιμούμε την παρακάτω εξίσωση:

3) Μετασχηματίζουμε την αρχική εξίσωση ως εξής: ή Το υπόδειγμα εκτιμάται με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και οι εκτιμητές και τοποθετούνται στην αρχική εξίσωση. Από την εξίσωση που προκύπτει παίρνουμε τα κατάλοιπα