Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Γενική μορφή δ.ε. τάξης ανώτερης της πρώτης F(x,y,y΄,y΄΄ ,…,y(η)) = 0

6. Τέλειες διαφορικές εξισώσεις Μία διαφορική εξίσωση τάξης ανώτερης της πρώτης F(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n))=0 (Ι) λέγεται τέλεια αν υπάρχει μια διαφορική εξίσωση (η-1)-τάξης F1(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n-1)) = c1, c1R τέτοια ώστε Η διαφορική εξίσωση F1(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n-1)) = c1, λέγεται πρώτη λύση ή πρώτο ολοκλήρωμα της (Ι) και αποτελεί μια δ.ε. (η-1)-τάξης, δηλαδή, κατά μονάδα μικρότερη της τάξης της αρχικής δ.ε. Συνεπώς, τα πρώτα ολοκληρώματα βοηθούν στην επίλυση της δ.ε. αφού η δ.ε. ανάγεται σε μια εξίσωση τάξης κατά μονάδα μικρότερης της τάξης της αρχικής.

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. 2yy΄΄΄+ 6y΄΄y΄ = -(1/x2), x>0. Λύση: Παρατηρούμε ότι F(x,y,y΄,y΄΄,y΄΄΄)= 2yy΄΄΄ + 6y΄΄y΄ + (1/x2) =0 (1) και συνεπώς η δ.ε. είναι 3ης τάξης. Επιπλέον, (2yy΄΄)΄ = 2yy΄΄΄ + 2y΄y΄΄ και συνεπώς η (1) γίνεται 2yy΄΄΄ + 2y΄΄y΄+4y΄΄y΄+(1/x2) = (2yy΄΄)΄+ 4y΄y΄΄ + (1/x2) =0 (2) Στη συνέχεια, επειδή 2[(y΄)2]΄= 4y΄y΄΄ η (2) μετασχηματίζεται ως εξής (2yy΄΄)΄+ 2[(y΄)2]΄+ (1/x2) =0 (3) και επειδή (x-1)΄ = -x-2 η εξίσωση (3) παίρνει την μορφή (2yy΄΄)΄+ 2[(y΄)2]΄- (x-1)΄ =0  [(2yy΄΄)+ 2[(y΄)2 - (x-1)]΄ =0 (4) Δηλαδή, dF1 /dx = F, όπου F1(x,y,y΄,y΄΄) = (2yy΄΄)+ 2(y΄)2 - (x-1) και συνεπώς η (1) είναι μια τέλεια δ.ε. της οποίας η πρώτη λύση είναι η δ.ε. (4). Από την (4) προκύπτει ότι, [(2yy΄΄)+ 2[(y΄)2]΄= (x-1)΄ 

δ.ε. 2ης τάξης Με όμοιο τρόπο, παρατηρούμε ότι, Η οποία αποτελεί επίσης μια τέλεια δ.ε. διότι η (6) είναι μια τέλεια δ.ε. με πρώτη λύση την

από την (7) έχουμε, δ.ε. 1ης τάξης Γενική λύση της δ.ε.

Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Γενική μορφή γραμμικής δ.ε. η-οστης τάξης  Το στοιχείο a0(x) λέγεται οδηγός συντελεστής και δεν είναι εκ ταυτότητας ίσος με μηδέν.  Οι συναρτήσεις ai(x), i{1,2,…,n} και F(x) είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ.  Αν F(x) = 0, τότε η δ.ε. λέγεται γραμμική Ομογενής η-τάξεως  Αν F(x)  0, τότε η δ.ε. λέγεται γραμμική μη-Ομογενής η-τάξεως  Αν οι συναρτήσεις ai(x), i{1,2,…,n}, είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε η δ.ε. λέγεται γραμμική η-τάξεως με σταθερούς συντελεστές.

Παρατήρηση Μία διαφορική εξίσωση είναι γραμμική αν η άγνωστη συνάρτηση και οι παράγωγοί της (1ου ,2ου, …, η-οστού βαθμού) έχουν βαθμό 1, αλλιώς είναι μη γραμμική. Η χαρακτηριστική ιδιότητα των γραμμικών εξισώσεων ανώτερης τάξης είναι ότι το σύνολο των λύσεων αποτελεί ένα διανυσματικό υπόχωρο, πράγμα που σημαίνει ότι όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί των λύσεων μιας γραμμικής δ.ε. αποτελούν επίσης λύση της ίδιας δ.ε.

Θεώρημα (*) Δίνεται η μη-ομογενής γραμμική δ.ε. η-τάξεως όπου, ai(x), i{1,2,…,n} και F(x) είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ. Αν x0 είναι ένα τυχαίο σημείο του διαστήματος Ι (x0I) και c0,c1,c2, … , cn-1 είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί, τότε υπάρχει ακριβώς μια συνάρτηση που τέτοια ώστε, Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το πρόβλημα των αρχικών τιμών (Ι), (ΙΙ) έχει μοναδική λύση την συνάρτηση με τύπο y=f(x). (*) θεώρημα ύπαρξης λύσης της δ.ε.

Παράδειγμα Θεωρούμε το πρόβλημα των αρχικών τιμών Παρατηρούμε ότι έχουμε μια μη-ομογενή δ.ε. 2ης τάξης στην οποία οι συντελεστές a0(x)=1, a1(x)=3 και a2(x)=x3 είναι συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα (-,) δηλαδή, ai(x): (-,)  R: x  ai(x), i{0,1,2} και x0=1(-,), c0=2, c1=-5. Κατά συνέπεια ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες του προηγούμενο θεωρήματος και συνεπώς, υπάρχει μοναδική λύση του δοθέντος προβλήματος, δηλαδή, η συνάρτηση

Επίλυση της Γραμμικής Διαφορικής εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Κάθε δ.ε. η-οστής τάξης, η2, γράφεται ισοδύναμα ως Κανονική μορφή της δ.ε.

Πόρισμα Δίνεται η γραμμική δ.ε. η-οστης τάξης με ai(x), i{1,2,…,n} και F(x) συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ και έστω ότι η συνάρτηση y: IR: x y=f(x) αποτελεί μια λύση της. Αν, για κάποιο x0IR, ισχύει ότι f(x0)=0, f΄(x0)=0, … , f(n-1)(x0)=0 τότε, f(x)=0, για κάθε xI R

Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Έχουν την μορφή με ai(x), i{1,2,…,n} και F(x) συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ. Στην κανονική της μορφή η προηγούμενη εξίσωση γράφεται: Θεώρημα (**) Αν y1(x),y2(x),…,yk(x) είναι λύσεις της ομογενούς δ.ε. (Ι), τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός c1y1(x)+c2y2(x)+…+ckyk(x), ciR, i{1,2,…,k} αποτελεί επίσης μια λύση της δ.ε. (Ι).

Απόδειξη του θεωρήματος για n=k=2: Υποθέτουμε ότι y1(x),y2(x) είναι λύσεις της ομογενούς δ.ε. δεύτερης τάξης (αφού n=k=2), Θεωρούμε τον γραμμικό συνδυασμό των y1(x),y2(x), δηλαδή y(x)=c1y1(x)+c2y2(x), c1,c2R. Τότε,

αφού Τελικά, η y(x) επαληθεύει την δ.ε. άρα αποτελεί μια λύση της. Ορισμοί (i) Οι συναρτήσεις y1(x),y2(x),…,yk(x) ονομάζονται γραμμικώς ανεξάρτητες στο διάστημα ΙR, αν για κάθε xI, η σχέση c1y1(x)+c2y2(x)+…+ckyk(x)=0 (I) συνεπάγεται ότι c1=c2=  =ck=0 (ii) Οι συναρτήσεις y1(x),y2(x),…,yk(x) ονομάζονται γραμμικώς εξαρτημένες στο διάστημα ΙR, αν για κάθε xI, η σχέση (Ι) συνεπάγεται ότι υπάρχει τουλάχιστον μια σταθερά ciR, i {1,2,…,k}, τέτοια ώστε ci0.

Παράδειγμα : Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις y1: (0,1]  R : x  y1(x)=x y2: (0,1]  R : x  y2(x)=x2 να αποδειχθεί ότι είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. Πράγματι, Θα αποδείξουμε ότι για κάθε c1,c2R, c1x+c2x2 = 0  c1=c2=0. Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης (c1x+c2x2)΄ = 0  c1+ 2c2x = 0  x(c1+2c2x) = x0 = 0 (διότι x0) c1x + 2c2x2 = 0 Από το σύστημα των εξισώσεων c1 x+c2x2 = 0  -c1x – c2x2 = 0 c1x + 2c2x2 = 0 ________________________________________________________________________ c2x2 = 0 και επειδή x0 έπεται ότι c2=0. Από την c1x+c2x2 = 0  c1x = 0  c1=0. Τελικά, c1=c2=0.

Παρατήρηση : Δύο συναρτήσεις y1(x),y2(x) είναι γραμμικώς εξαρτημένες στο διάστημα ΙR, αν για κάθε xI, η μία αποτελεί ένα σταθερό πολλαπλάσιο της άλλης. Πράγματι, υποθέτουμε ότι c1y1(x)+c2y2(x) = 0. Αφού δεν ισχύει η σχέση c1=c2=0 (διότι, τότε οι συναρτήσεις θα ήταν γραμμικώς ανεξάρτητες) έπεται ότι κάποια από τις c1,c2 είναι μη-μηδενική, ας υποθέσουμε ότι c10. Τότε, δηλαδή, Όμοια,

Παράδειγμα : 2) Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις y1: (-,+)  R : x  y1(x)=3x+12/5 y2: (-,+)  R : x  y2(x)=5x+4 να αποδειχθεί ότι είναι γραμμικώς εξαρτημένες. Πράγματι, και σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση οι συναρτήσεις είναι γραμμικώς εξαρτημένες.

Θεώρημα 1. Δίνεται η ομογενής γραμμική δ.ε. η-τάξεως Θεώρημα 1. Δίνεται η ομογενής γραμμική δ.ε. η-τάξεως όπου, ai(x), i{1,2,…,n} είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ. Τότε υπάρχει ένα σύνολο η-λύσεων της (Ι) {y1(x),y2(x), … , yn(x)} που είναι γραμμικώς ανεξάρτητο. Απόδειξη: Θα αποδείξουμε το θεώρημα για η=2, δηλαδή, για την ομογενή δ.ε. 2ης τάξης: Για το τυχαίο x0I, σύμφωνα με το Θεώρημα(*) (θεώρημα ύπαρξης λύσης της δ.ε.) για τυχαία c1,c2R υπάρχει ακριβώς μια (μοναδική) συνάρτηση τέτοια ώστε y1(x)=c1 και y1΄(x)=c2. Θεωρούμε ότι c1=1 και c2=0. Για το ίδιο x0I, σύμφωνα πάλι με το Θεώρημα(*) (θεώρημα ύπαρξης λύσης της δ.ε.) για τυχαία c3,c4R υπάρχει ακριβώς μια (μοναδική) συνάρτηση

Από την σχέση (Ι) παραγωγίζοντας έχουμε τέτοια ώστε y2(x)=c3 και y2΄(x)=c4. Θεωρούμε ότι c3=0 και c4=1. Δηλαδή, έχουμε y1(x)=1 και y1΄(x)=0 y2(x)=0 και y2΄(x)=1 Υποθέτουμε το αντίθετο, δηλαδή, ότι οι λύσεις y1(x),y2(x) είναι γραμμικώς εξαρτημένες, δηλαδή, υπάρχουν α1,α2R τέτοιες ώστε α1y1(x) + α2y2(x) = 0 (I) και αi0, i{1,2}. Από την σχέση (Ι) παραγωγίζοντας έχουμε α1y1΄(x) + α2y2΄(x) = 0 (ΙΙ) και συνεπώς από (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει το σύστημα: Αφού ισχύει το σύστημα xΙ και x0I, έπεται ότι άτοπο! Άρα οι λύσεις είναι γραμμικώς ανεξάρτητες.

Ορισμός (ορίζουσα του Wronski) Δίνονται οι συναρτήσεις y1, y2 οι οποίες μαζί με τις πρώτης τάξεως παραγώγους τους είναι συνεχείς στο διάστημα ΙR, δηλαδή Ορίζουσα του Wronski των δύο αυτών συναρτήσεων λέγεται η ορίζουσα Παρατήρηση: Η ορίζουσα Wronski των y1,y2 είναι μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο Ι, δηλαδή, Η ορίζουσα του Wronski των y1,y2,…,yn πραγματικών συναρτήσεων

Θεώρημα 2. Δίνεται η ομογενής γραμμική δ.ε. η-τάξεως όπου, ai(x), i{1,2,…,n} είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ. Τότε, oι η-λύσεις y1=y1(x), y2=y2(x),…,yn=yn(x) της διαφορικής εξίσωσης είναι : (i) γραμμικώς ανεξάρτητες στο διάστημα Ι αν και μόνο αν η ορίζουσα Wronski είναι διάφορη του μηδενός, για κάποιο xΙ, δηλαδή, (ii) Γραμμικώς εξαρτημένες στο διάστημα Ι αν και μόνο αν η ορίζουσα Wronski είναι ίση με το μηδέν, για όλα τα xΙ, δηλαδή,

Θεώρημα 3. Δίνεται η ομογενής γραμμική δ.ε. η-τάξεως όπου, ai(x), i{1,2,…,n} είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ. Αν {y1=y1(x), y2=y2(x),…,yn=yn(x)} είναι ένα σύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων λύσεων της δ.ε. στο διάστημα Ι, τότε κάθε άλλη λύση y=y(x) της (Ι) είναι γραμμικός συνδυασμός των λύσεων y1,y2,…,yn, δηλαδή, Ισοδύναμα, η Γενική Λύση της δ.ε. (Ι) δίνεται από την σχέση (ΙΙ). Παρατήρηση : το σύνολο {y1=y1(x), y2=y2(x),…,yn=yn(x)} των n-γραμμικώς ανεξάρτητων λύσεων της δ.ε. στο διάστημα Ι, λέγεται Θεμελιώδες σύνολο λύσεων της δ.ε. (Ι).

(e2x)΄΄ - 5(e2x)΄+6y = (2e2x)΄- 5(2e2x) + 6e2x = 4e2x- 10e2x+6e2x = 0 ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η γενική λύση της δ.ε. y΄΄-5y΄ +6y=0, αν γνωρίζουμε δύο λύσεις της, y1:(-,+)  R: x  y1(x)=e2x και y2:(-,+)  R: x  y2(x)=e3x. Λύση: Παρατηρούμε ότι πράγματι, οι συναρτήσεις y1 και y2 αποτελούν λύσεις της δοθείσας δ.ε., δηλαδή, (e2x)΄΄ - 5(e2x)΄+6y = (2e2x)΄- 5(2e2x) + 6e2x = 4e2x- 10e2x+6e2x = 0 (e3x)΄΄ - 5(e3x)΄+6y = (3e3x)΄- 5(3e3x) + 6e3x = 9e3x - 15e3x+ 6e3x = 0 Επιπλέον, από την ορίζουσα του Wronski έχουμε Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση W : (-,+)  R: x  W(x)=e5x δεν μηδενίζεται για οποιαδήποτε τιμή του x, δηλαδή, W(y1,y2)0 και σύμφωνα με το Θεώρημα 2 (i) οι λύσεις y1,y2 είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. Τέλος, από το Θεώρημα 3 προκύπτει ότι η γενική λύση της δ.ε. είναι η y=y(x) = c1e2x+c2e3x, όπου c1,c2R.

Επίλυση μη-ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης τάξης ανώτερης της πρώτης Η διαδικασία επίλυσης της μη-ομογενούς γραμμικής δ.ε. 2ης τάξης περιγράφεται από το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 4. Δίνεται η μη-ομογενής διαφορική εξίσωση 2ης τάξης όπου, ai(x), i{1,2,…,n} είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ. Αν η συνάρτηση με τύπο ym =ym(x) αποτελεί μια μερική λύση της (Ι), τότε για να βρούμε την γενική λύση y=y(x) της (Ι), αρκεί να την γενική λύση y0=y0(x) της αντίστοιχης ομογενούς και να προσθέσουμε τις δύο λύσεις, δηλαδή, y(x) = y0(x) + ym(x)

(ex/2)΄΄ + (ex/2) = (ex/2) + (ex/2) = e ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η δ.ε. y΄΄+y = ex. Αν η συνάρτηση με τύπο ym=ym(x)=ex/2 αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. και αν οι συναρτήσεις με τύπους y1=y1(x)=συνx, y2=y2(x)=ημx είναι δύο λύσεις της ομογενούς δ.ε. της δοθείσης, να βρεθεί η γενική λύση της δ.ε. Λύση: Παρατηρούμε καταρχήν ότι: a) η συνάρτηση ym=ym(x)=ex/2 αποτελεί μία λύση της δ.ε. διότι (ex/2)΄΄ + (ex/2) = (ex/2) + (ex/2) = e b) οι συναρτήσεις y1=y1(x)=συνx και y2=y2(x)=ημx αποτελούν λύσεις της αντίστοιχης ομογενούς δ.ε. διότι (συνx)΄΄ + συνx = (-ημx)΄+ συνx = - συνx + συνx = 0 (ημx)΄΄ + ημx = (συνx)΄+ ημx = - ημx + ημx = 0 Στην συνέχεια υπολογίζουμε την ορίζουσα Wronski των δύο λύσεων της ομογενούς δ.ε. Επομένως, οι λύσεις y1,y2 είναι γραμμικώς ανεξάρτητες και σύμφωνα με το θεώρημα 3 η γενική λύση της ομογενούς δ.ε. είναι y0(x)=c1συνx + c2ημx, c1,c2R.

y(x) = y0(x) + ym(x) = c1συνx + c2ημx + ex/2. Από το Θεώρημα 4 προκύπτει ότι, η γενική λύση της δ.ε. θα δίνεται από το άθροισμα y(x) = y0(x) + ym(x) = c1συνx + c2ημx + ex/2. γενική λύση