Επικαλύπτοντα Δέντρα και Σύνολα Τομής

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα
Advertisements

ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ I
Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)
Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα
Διακριτά Μαθηματικά ΙI Δέντρα
Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA.
Πολυπλοκότητα Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου:
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Τι είναι συνάρτηση Ορισμός
Λύσεις Τελικής Εξέτασης
Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους Ν-k πρόβλημα μεγέθους k.
Επικαλύπτοντα Δέντρα και Σύνολα Τομής
Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα
1 Θεματική Ενότητα Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα.
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα.
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Γράφοι: Προβλήματα και Αλγόριθμοι
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
ΕΠΛ 231 – Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι12-1 Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ο αλγόριθμος του Prim και ο αλγόριθμος του Kruskal.
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Ειδικά θέματα υπολογισμού και πολυπλοκότητας Θέμα : Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι Γαζη Ιωαννα ΑΜ:3900.
ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 7.4 – 7.6 NP ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ.
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΙΚΤΥΑ (κατευθυνομενα γραφηματα)
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Δομές Δεδομένων - Ισοζυγισμένα Δυαδικά Δένδρα (balanced binary trees)
Αντιστάσεις παράλληλα
Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A αβ ζ η ε γ θ Το γράφημα.
ΣΥΝΟΛΑ.
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 4: Συνδεσμικότητα Data Engineering Lab 1.
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
1 Κατανεμημένοι αλγόριθμοι για την εύρεση γεννητικών δέντρων (spanning trees) 1.Ένας σταθερός κόμβος στέλνει ένα ‘start’ μήνυμα σε κάθε γειτονική του ακμή.
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 4 Δ ΕΝΔΡΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 1.
Χρονική Πολυπλοκότητα και Μοντέλα
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 : Κανόνες του Kirchhoff
Βάσεις Δεδομένων Ευαγγελία Πιτουρά 1 Σχεδιασμός Σχεσιακών Σχημάτων.
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα.
ΕΠΛ 231 – Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι13-1 Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση βραχυτέρων μονοπατιών.
Θεωρία Υπολογισμού Κλάσεις P και NP.
Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 3: Δένδρα.
Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A.
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Η ευκλειδeια και οι μη ευκλειδειεσ γεωμετριεσ
Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα.
Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity). α β Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ α και β; Παραδείγματα: υπολογιστές ενός δικτύου ιστοσελίδες ισοδύναμες μεταβλητές.
1 Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου.
Πιθανότητες. Τυχαίο Πείραμα όσες φορές και να γίνει κρατώντας τις συνθήκες σταθερές, το αποτέλεσμά του δεν είναι πάντα το ίδιο.
Γράφημα είναι μία διμελής σχέση επί ενός συνόλου την οποία παριστάνουμε με γραφικό τρόπο.
Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα:
ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΩΝ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης, Μαθηματικό Σπουδαστήριο Πολυτεχνικής Σχολής.
Δένδρα.
Δένδρα Δένδρο είναι ένα συνεκτικό άκυκλο γράφημα. Δένδρο Δένδρο Δένδρο
Μέγιστη ροή Κατευθυνόμενο γράφημα 12 Συνάρτηση χωρητικότητας
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 : Κανόνες του Kirchhoff
ΓΡΑΦΟΙ (GRAPHS).
Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο
Διακριτά Μαθηματικά ΣΥΝΟΛΑ.
Δομές δεδομένων.
Μέγιστη ροή Κατευθυνόμενο γράφημα 12 Συνάρτηση χωρητικότητας
Στοιχεία Θεωρίας Γραφημάτων
Συντομότερα Μονοπάτια
ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ II
(2,4) Trees 11/15/2018 8:56 PM (2,4) Δέντρα (2,4) Δέντρα.
Μεταγράφημα παρουσίασης:

Επικαλύπτοντα Δέντρα και Σύνολα Τομής

Επικαλύπτοντα Δέντρα (Spanning Trees) Ένα επικαλύπτον δέντρο ενός γραφήματος G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο περιέχει όλους τους κόμβους του G

Επικαλύπτοντα Δέντρα Γενικά ένα γράφημα δεν έχει μόνο ένα επικαλύπτον δέντρο Πόσα επικαλύπτοντα δέντρα έχει το παρακάτω γράφημα?

Επικαλύπτοντα Δέντρα Ένα κλαδί ενός επικαλύπτοντος δέντρου είναι μια ακμή του γραφήματος που ανήκει στο δέντρο Μια χορδή ενός επικαλύπτοντος δέντρου είναι μια ακμή του γραφήματος που δεν ανήκει στο δέντρο Το σύνολο των χορδών ενός δέντρου ονομάζεται συμπλήρωμα του δέντρου v2 v2 χορδή κλαδί v1 v3 v1 v3 v5 v5 v4 v4 γράφημα επικαλύπτον δέντρο

Επικαλύπτοντα Δέντρα Ένα συνεκτικό γράφημα πάντα περιέχει (τουλάχιστον) ένα επικαλύπτον δέντρο Αν το γράφημα δεν περιέχει κύκλωμα τότε είναι δέντρο Αν περιέχει ένα ή περισσότερα κυκλώματα, τότε αφαιρώντας μια ακμή από ένα κύκλωμα έχουμε πάλι συνεκτικό (υπο)γράφημα. Μπορούμε να επαναλάβουμε τέτοια αφαίρεση για κάθε κύκλωμα μέχρι να καταλήξουμε σε σε ένα επικαλύπτον δέντρο Αν από ένα επικαλύπτον δέντρο αφαιρέσουμε μια ακμή τότε παύει να είναι συνεκτικό υπογράφημα

Σύνολα Τομής Ένα σύνολο τομής είναι ένα ελάχιστο σύνολο ακμών που αν αφαιρεθεί από ένα γράφημα θα προκύψει ένα υπογράφημα με μεγαλύτερο αριθμό συνεκτικών συνιστωσών Τα γνήσια υποσύνολα ενός συνόλου τομής δεν είναι σύνολα τομής. Γιατί? Σε ένα συνεκτικό γράφημα η αφαίρεση ενός συνόλου τομής χωρίζει το γράφημα σε δύο μέρη. Γιατί?

Σύνολα Τομής (Παράδειγμα) v2 v2 e2 e2 e1 e5 e8 e6 e8 v1 v3 v1 v3 v5 v5 e7 e4 e3 e3 v4 v4 Το σύνολο ακμών {e1,e5,e6,e7,e4} είναι ένα σύνολο τομής

Σύνολα Τομής κι Επικαλύπτοντα Δέντρα Η πρόσθεση μιας χορδής σε ένα επικαλύπτον δέντρο δίνει ένα υπογράφημα που περιέχει ακριβώς ένα κύκλωμα Επειδή ένα επικαλύπτον δέντρο περιέχει ένα μοναδικό μονοπάτι μεταξύ δύο οποιωνδήποτε κορυφών v2 v2 v2 e2 e2 e2 e8 e6 e8 e6 e8 e6 v1 v3 v1 v3 v1 v3 v5 v5 v5 e3 e3 e3 Αδύνατο! v4 v4 v4

Σύνολα Τομής κι Επικαλύπτοντα Δέντρα Για ένα δεδομένο επικαλύπτον δέντρο, ένα μοναδικό κύκλωμα μπορεί να προκύψει με την πρόσθεση μιας οποιασδήποτε χορδής Το σύνολο από e-v+1 κυκλώματα που προκύπτουν με αυτό τον τρόπο ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα κυκλωμάτων του επικαλύπτοντος δέντρου Ένα κύκλωμα στο θεμελιώδες σύστημα ονομάζεται θεμελιώδες κύκλωμα Γιατί είναι τόσα???

Σύνολα Τομής κι Επικαλύπτοντα Δέντρα Ένα θεμελιώδες κύκλωμα καλείται πιο συγκεκριμένα θεμελιώδες κύκλωμα ως προς τη χορδή που περιέχει v2 v2 v2 e2 e2 e2 e1 e1 e5 e8 e6 e8 e6 e8 e6 v1 v3 v1 v3 v1 v3 v5 v5 v5 e7 e4 e3 e3 θεμελιώδες κύκλωμα ως προς τη χορδή e1 v4 v4 γράφημα επικαλύπτον δέντρο

Σύνολα Τομής κι Επικαλύπτοντα Δέντρα Για κάθε κλαδί ενός επικαλύπτοντος δέντρου υπάρχει μια διαμέριση των κορυφών του γραφήματος σε δύο υποσύνολα (που αντιστοιχούν στις κορυφές των δύο δέντρων που προκύπτουν από την αφάιρεση της ακμής) Συνεπώς για κάθε κλαδί ενός επικαλύπτοντος δέντρου υπάρχει ένα αντίστοιχο σύνολο τομής v2 v2 v2 e2 e2 e2 e1 e5 e8 e6 e8 e6 e8 e6 v1 v3 v1 v3 v1 v3 v5 v5 v5 e7 e4 e3 e3 v4 v4 v4

Θεμελιώδη Σύνολα Τομής Για ένα δεδομένο επικαλύπτον δέντρο, το σύνολο των v-1 συνόλων τομής που αντιστοιχούν στα v-1 κλαδιά του δέντρου ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα συνόλων τομής ως προς το επικαλύπτον δέντρο Ένα σύνολο τομής στο θεμελιώδες σύστημα συνόλων τομής ονομάζεται θεμελιώδες σύνολο τομής Ένα θεμελιώδες σύνολο τομής περιέχει ακριβώς ένα κλαδί του επικαλύπτοντος δέντρου

Θεμελιώδη Σύνολα Τομής Ποια είναι τα θεμελιώδη σύνολα τομής? v2 v2 {e1,e5,e2} {e1,e8,e4} {e1,e5,e6,e7,e4} {e3,e4,e7} e2 e2 e1 e5 e8 e6 e8 e6 v1 v3 v1 v3 v5 v5 e7 e4 e3 e3 v4 v4 γράφημα επικαλύπτον δέντρο

Κυκλώματα και Σύνολα Τομής Ένα κύκλωμα και το συμπλήρωμα οποιουδήποτε επικαλύπτοντος δέντρου πρέπει να έχουν τουλάχιστον μια κοινή ακμή Απόδειξη: Αν υπάρχει ένα κύκλωμα που δεν έχει καμία κοινή ακμή με το συμπλήρωμα ενός επικαλύπτοντος δέντρου τότε το κύκλωμα περιέχεται στο επικαλύπτον δέντρο. Αυτό είναι αδύνατον αφού ένα δέντρο εξ ορισμού δεν μπορεί να περιέχει κύκλωμα

Κυκλώματα και Σύνολα Τομής Ένα σύνολο τομής και οποιοδήποτε επικαλύπτον δέντρο έχουν τουλάχιστον μια κοινή ακμή Απόδειξη: Αν υπάρχει ένα σύνολο τομής που δεν έχει καμία κοινή ακμή με ένα επικαλύπτον δέντρο, η αφαίρεση αυτού του συνόλου τομής θα αφήσει το επικαλύπτον δέντρο άθικτο. Άρα το γράφημα δε θα χωριστεί σε δύο συνιστώσες, το οποίο έρχεται σε αντίφαση με τον ορισμό του συνόλου τομής