Είναι ίσα μεταξύ τους δύο τρίγωνα με 5 ζεύγη κύριων στοιχείων τους ίσα? Επιμέλεια: Κουρτέση Γεωργία - Μαθηματικός

Όπως γνωρίζουμε , οι τρεις πλευρές και οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου αποτελούν τα κύρια στοιχεία του, ενώ οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη του είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία του. Εάν δύο τρίγωνα έχουν και τα έξι ζεύγη κύριων στοιχείων τους ίσα, τότε εξ ορισμού θα είναι ίσα. Τα κριτήρια ισότητας μας εξασφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων όταν αυτά έχουν τρία ζεύγη κύριων στοιχείων τους ίσα (ΠΠΠ, ΠΓΠ, ΓΠΓ). Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που τα δύο τρίγωνα έχουν 5 ζεύγη κύριων στοιχείων τους ίσα?

Θα προσπαθήσουμε αρχικά να βρούμε δύο τέτοια τρίγωνα, ώστε το ένα , μάλιστα , να βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου, οπότε να μην χωράει αμφιβολία ότι δε θα είναι ίσα. Ας ξεκινήσουμε με ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος 1. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ , οπότε το Πυθαγόρειο θεώρημα μας δίνει: ΑΔ = ΒΔ = ΔΓ = < ΑΓ

Κατασκευάζουμε τώρα, ένα δεύτερο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=1 και ΑΒ= 4/3. Φέρνουμε πάλι το ύψος ΑΔ και από το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι : ΒΓ= 5/3 Από τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ παίρνουμε ότι :

Άρα, αν διατηρήσουμε την κάθετη πλευρά ΑΓ του ορθογωνίου ΑΒΓ σταθερή (ΑΓ=1), θα ήταν λογικό να προκύψει ότι θα υπάρχει μια τιμή για την άλλη κάθετη πλευρά μεταξύ του 1 και του 4/3=1,333…, για την οποία θα είναι ΒΔ =ΑΓ. Για παράδειγμα, αν κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=1, ΑΒ 1,3 και φέρουμε το ύψος ΑΔ, θα διαπιστώσουμε με τη βοήθεια του διαβήτη ότι το ΒΔ είναι σχεδόν ίσο με το ΑΓ.

΄Ετσι μ’αυτό το διαισθητικό επιχείρημα, έχουμε καταφέρει να δείξουμε ότι υπάρχουν τα δύο τρίγωνα που ζητάμε. Έχουν ,δηλαδή, πέντε ζεύγη κύριων στοιχείων ίσα, τις δυο πλευρές και τις τρεις γωνίες του ενός, ίσες με τις δυο πλευρές και τις τρεις γωνίες του άλλου , αλλά παρόλα αυτά τα τρίγωνα δεν είναι ίσα, αφού το ένα βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου. Αυτό βέβαια συμβαίνει γιατί οι ίσες πλευρές δεν βρίσκονται απέναντι από τις αντίστοιχες ίσες γωνίες.

ΜΙΑ ΠΙΟ ΑΥΣΤΗΡΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στο προηγούμενο παράδειγμα περιοριστήκαμε σε ορθογώνιο τρίγωνο για μεγαλύτερη απλότητα. Τώρα θα δείξουμε πιο αυστηρά και γενικά σε τυχαία τρίγωνα , ότι μπορούμε να πετύχουμε την ίδια κατασκευή. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχουν δύο τέτοια τρίγωνα , όπως το διπλανό σχήμα,με 5 ζεύγη στοιχείων ίσα, που όμως δεν είναι ίσα. Παρατηρούμε ότι αποκλείεται να έχουν τις πλευρές τους ίσες (άρα ΑΒ≠ΖΕ),ότι είναι όμοια και όχι ισοσκελή (άρα έστω ΓΒ<ΑΓ<ΑΒ και ΖΕ<ΒΓ). Από τη ομοιότητα προκύπτει :ΑΓ 2 =ΒΓ∙ ΑΒ και ΑΒ∙ ΖΕ= ΒΓ∙ ΑΓ, άρα η πλευρά ΑΓ κατασκευάζεται ως μέση ανάλογος των ΒΓ, ΑΒ και η ΖΕ ως τέταρτη ανάλογος των ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ

Έχουμε λοιπόν : από τριγωνική ανισότητα άρα ή Η ανίσωση αυτή αληθεύει για : Όπου Φ ο χρυσός λόγος

Για να συνοψίσουμε, μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη τα δυο τρίγωνα, τα οποία έχουν πέντε ζεύγη κύριων στοιχείων ίσα, χωρίς να είναι ίσα μεταξύ τους, ακολουθώντας τα εξής τέσσερα βήματα : α) Επιλέγουμε αυθαίρετα ένα τμήμα μήκους α (ΒΓ) ως την πλευρά των δύο τριγώνων. β) Εκλέγουμε την πλευρά γ (ΑΒ) έτσι ώστε (1-Φ) 2 ∙α<γ<Φ2 ∙α ή προσεγγιστικά 0,38 α<γ<2,62 α. γ) Κατασκευάζουμε την πλευρά β (ΑΓ) ως μέση ανάλογο των α και γ. δ) Κατασκευάζουμε την πλευρά δ (ΕΖ) ως τέταρτη ανάλογο των α ,β ,γ

Αξίζει να σημειώσουμε ότι, αν εκλέξουμε γ= Φα ≈ 1,62 α τότε θα έχουμε : γ2 =Φ2 α2, β2= αγ =Φα2 και β2+ α2 = Φα2 + α 2= α2 (Φ+1)= α 2Φ 2=γ2 Επομένως, το αρχικό τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα γ. Το γεγονός αυτό μπορεί να εξηγήσει τη διαισθητική κατασκευή που είδαμε στην αρχή. Στην περίπτωση αυτή τα δύο τρίγωνα ήταν ορθογώνια και α=1, β=1,3, οπότε γ=β2 /α=1,69 ≈ Φα = Φ. Αν εκλέξουμε γ>Φα, τότε: γ- Φα>0 και γ-α +Φα>0. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη είναι : (γ-Φα)(γ-α+Φα)>0 ή γ2 –αγ >α 2Φ2 –α 2Φ ή γ2 –β 2>α 2(Φ 2-Φ) ή γ2 –β2 >α2 ή γ 2>α 2+β2 δηλαδή τα τρίγωνα είναι αμβλυγώνια, με τις αμβλείες απέναντι των πλευρών γ και δ. Ανάλογα αν γ <Φ α, τα τρίγωνα θα είναι οξυγώνια