Μαθηματικά Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α‘: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο -  Οι φυσικοί αριθμοί §1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - Μ.Κ.Δ. - Ε.Κ.Π. – Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (1 διδ. ώρα) Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Στην παράγραφο αυτή, ο μαθητής: • Γνωρίζει ποιοι αριθμοί λέγονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι • Γνωρίζει και χρησιμοποιεί τα κριτήρια διαιρετότητας με το 2, το 4, το 5 και το 10 καθώς και με το 3 και το 9 • Αναλύει δύο ή περισσότερους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και βρίσκει μ’ αυτόν τον τρόπο το Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. αυτών. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Το τοπικό γραφείο της UNICEF θα μοιράσει 150 τετράδια, 90 στυλό και 60 γόμες σε πακέτα δώρων, ώστε τα πακέτα να είναι τα ίδια και να περιέχουν και τα τρία είδη. Μπορεί να γίνουν 10 πακέτα δώρων; Αν ναι, πόσα από κάθε είδος θα έχει κάθε πακέτο; Οι αριθμοί 150, 90 και 60 διαιρούνται με το 10 οπότε μπορούν να γίνουν 10 πακέτα δώρων . Είναι 150:10=15 , 90:10=9 και 60:10=6 οπότε το κάθε πακέτο θα περιέχει 15 τετράδια, 9 στυλό και 6 γόμες. Πόσα όμοια πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη; Τόσα όσοι είναι οι αριθμοί που διαιρούν και τους τρείς αριθμούς 150, 90, 60 , δηλαδή όσοι είναι οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 150, 90, 60. Πόσα το πολύ όμοια πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη; Πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών 150, 90, 60. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

= Θ υ μ ό μ α σ τ ε - Μ α θ α ί ν ο υ μ ε Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α: είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του α με όλους τους φυσικούς αριθμούς. 0 , 1 , 2 , 3, 4 , . . .,λ,... α · = 0 , α ,2α,3α,4α, . . ., λ·α,... λα * Το λ είναι φυσικός αριθμός Κάθε μη μηδενικός φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του. Αν α φυσικός με α≠0 τότε ο α διαιρεί τον λ·α Π.χ.1 Ο αριθμός 7 διαιρεί τον 707 αφού 707 = 7·101 = πολ(7) Π.χ.2 Ο αριθμός 3 διαιρεί τον 3·α + 9 αφού 3·α + 9 = 3·α + 3·3 = 3·(α + 3) = πολ(3) Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν άλλο, είναι πολλαπλάσιό του. Αν ο φυσικός α διαιρείται από τον φυσικό β τότε α = λ·β = πολ(β) Π.χ. Αν ένας αριθμός κ διαιρείται από τον 7 τότε κ = πολ(7) Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλον, θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του. Αν ο φυσικός α διαιρεί τον φυσικό β τότε ο α διαιρεί και τον λ·β Π.χ. Αν ένας φυσικό αριθμός α διαιρεί τον φυσικό αριθμό κ οπότε ο α διαιρεί και τους αριθμούς 2κ, 3κ, 4κ, … * Το λ είναι φυσικός αριθμός Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων μη μηδενικών αριθμών ονομάζουμε το μικρότερο μη μηδενικό κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών αυτών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να βρείτε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των αριθμών 3 και 4. Λ ύ σ η Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4: Πολλαπλάσια του 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... Πολλαπλάσια του 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... Κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4 : 0, 12, 24, 36, ... Επειδή, το μικρότερο μη μηδενικό κοινό πολλαπλάσιο είναι το 12, γράφουμε: ΕΚΠ(3, 4) = 12. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν. Π.χ. Οι διαιρέτες του 8 είναι οι: 1, 2, 4, 8 Οι διαιρέτες του 11 είναι οι: 1, 11 Κάθε μη μηδενικός αριθμός α έχει δύο τουλάχιστον διαιρέτες: την μονάδα (1) και τον εαυτό του (α). Κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1, που έχει δύο μόνο διαιρέτες, τον εαυτό του και το 1, λέγεται πρώτος αριθμός. Ο φυσικός αριθμός 11 είναι πρώτος ενώ ο 8 δεν είναι πρώτος Π.χ. Κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1, που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος. Οι αριθμοί 0 και 1 δεν είναι ούτε πρώτοι αλλά ούτε σύνθετοι. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Οι 25 μικρότεροι πρώτοι αριθμοί Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί). Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ότι δεν υπάρχει μέγιστος πρώτος αριθμός, δηλαδή ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος δεν υπάρχει ένας απλός κανόνας που να δίνει τους διαδοχικούς πρώτους αριθμούς. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΗ Το “Κόσκινο του Ερατοσθένη” Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ του 1 και του 100. Λ ύ σ η Με την απλή μέθοδο του Ερατοσθένη, γνωστή ως “Κόσκινο του Ερατοσθένη”, βρίσκουμε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από δοσμένο αριθμό. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Στον διπλανό πίνακα σημαδεύουμε το 2 που είναι πρώτος αριθμός και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Στον διπλανό πίνακα σημαδεύουμε το 2 που είναι πρώτος αριθμός και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του. Μετά σημαδεύουμε το 3 που είναι πρώτος αριθμός και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Μετά σημαδεύουμε το 5 που είναι πρώτος αριθμός και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Μετά σημαδεύουμε το 7 που είναι πρώτος αριθμός και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Μετά κάνουμε το ίδιο για το 11, το 13, κ.τ.λ. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Μ’ αυτό τον τρόπο διαγράφονται όλοι οι σύνθετοι αριθμοί και μένουν μόνο οι πρώτοι, από το 1 έως το 100. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Ερατοσθένης O Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνεια της Λιβύης το 276 π.Χ. και πέθανε στην Αλεξάνδρεια το 197 π.Χ.. Διακρίθηκε ως Μαθηματικός, Φυσικός, Γεωγράφος, Αστρονόμος, Ιστορικός και Φιλόλογος. Από το 234 π.Χ. και επί περίπου 40 χρόνια, διετέλεσε υπεύθυνος βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και δίδαξε στο Μουσείο της. Στα περίφημα “Γεωγραφικά” που παρουσίασε την πρώτη ακριβή μαθηματική μέτρηση της περιμέτρου (μεσημβρινού) της Γης, ως 250.000 στάδια (=39.400 - 41.000 km, έναντι της πραγματικής 40.000 km) (Κλεομήδης, Στράβων). Επίσης, υπολόγισε την απόσταση της σελήνης 780.000 στάδια και του Ήλιου 804.000.000 στάδια. Μέτρησε την κλίση του άξονα της γης με μεγάλη ακρίβεια και έφτιαξε έναν κατάλογο που περιελάμβανε 675 αστέρες. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Δύο οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί α και β έχουν έναν τουλάχιστον κοινό διαιρέτη, το 1. Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών α και β ονομάζεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) των α και β και συμβολίζεται ΜΚΔ(α, β). Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν είναι ΜΚΔ(α, β) = 1, δηλαδή, όταν ο μόνος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να δείξετε ότι οι αριθμοί 4 και 15 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Οι διαιρέτες του 4 είναι: 1, 2, 4 Οι διαιρέτες του 15 είναι: 1, 3, 5, 15 Οι κοινοί διαιρέτες των 4 και 15 είναι: 1 ΜΚΔ(4,15)=1 Οι αριθμοί 4 και 15 είναι πρώτοι μεταξύ τους Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου 2. Δύο πλοία επισκέπτονται ένα νησάκι. Το πρώτο ανά 3 ημέρες, το δεύτερο ανά 4 ημέρες. Αν ξεκίνησαν από το νησάκι ταυτόχρονα, σε πόσες ημέρες θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι του νησιού; Λ ύ σ η Πολλαπλάσια του 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... Πολλαπλάσια του 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ... Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4: 0, 12, 24, 36, ... Επειδή, το μικρότερο μη μηδενικό, από τα κοινά πολλαπλάσια, είναι το 12, γράφουμε: ΕΚΠ(3, 4) = 12. Δηλαδή, ακριβώς μετά από 12 ημέρες θα ξαναβρεθούν τα δύο πλοία στο λιμάνι του νησιού και αυτό θα επαναλαμβάνεται κάθε 12 ημέρες. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Κριτήρια Διαιρετότητας Κριτήρια Διαιρετότητας Κριτήρια Διαιρετότητας με τους 2, 3, 4, 5, 9, 10 ή 25 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται κάποιον από τους αριθμούς αυτούς. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10, αν λήγει σε 0. Π.χ. 0, 10, 20, 30, 240, 500, 2.340 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν λήγει σε 0, 2, 4, 6 ή 8. Π.χ. 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 36, 1.392, 2.014 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5. Π.χ. 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 135, 640, 3.195 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Π.χ. 0, 3, 6, 9, 12, 15, 21, 42, 99, 333, 121.113 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Π.χ. 0, 9, 18, 27, 90, 99, 279, 36.278.154 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 4, αν τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4. Π.χ. 0, 516, 312, 908, 2000 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 25, αν τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 25. Π.χ. 0, 975, 3.450, 2100 Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς που είναι διαιρέτες του και εκτελούμε τις αντίστοιχες διαιρέσεις. Παράδειγμα Να αναλυθεί ο φυσικός αριθμός 90 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Λύση 90 2 90 45 15 5 1 2 3 5 ή 45 3 15 3 5 5 1 Οπότε: 90 = 2·3·3·5 = 2·32·5 Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Εύρεση ΕΚΠ και ΜΚΔ με χρήση της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και για να βρούμε το ΕΚΠ των αριθμών παίρνουμε τους κοινούς και τους μη κοινούς παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη. για να βρούμε το ΜΚΔ παίρνουμε τους κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη. Παράδειγμα Να βρεθούν ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 54 και 60. Αρχικά, αναλύουμε τους αριθμούς 54 και 60 σε γινόμενα πρώτων παραγόντων 54 = 6 ·9 = 2 ·3 · 3 ·3 = 2 · 33 60 = 6 · 10 = 2 · 3 · 2 · 5 = 22· 3 ·5 ΕΚΠ (54,60)= 22·33·5 = 540 ΜΚΔ(54,60)= 21·31 = 2 · 3 = 6 Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Άσκηση 1 Εξετάστε με ποιους από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 9, 10 και 25 διαιρείται ο 450. Απάντηση Με το 2 διαιρείται διότι λήγει σε 0 Με το 3 διαιρείται διότι το (άθροισμα ψηφίων) = 4 + 5 + 0 = 9 = πολ(3) Με το 4 δεν διαιρείται διότι τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 50 που δεν διαιρείται με το 4. Με το 5 διαιρείται διότι γιατί λήγει σε 0 Με το 9 διαιρείται διότι το (άθροισμα ψηφίων)= 4 + 5 + 0 = 9 = πολ(9) Με το 10 διαιρείται διότι λήγει σε 0 Με το 25 διαιρείται διότι τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 50 που διαιρείται με το 25. Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Άσκηση 1 Εξετάστε με ποιους από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 9, 10 και 25 διαιρείται ο 450. β΄ τρόπος 450 = 45 · 10 = 5 ·9 ·2 ·5 = 2·3·3·5·5 = 2 ·(3·3·5·5) = πολ(2) = 3 ·(2·3·5·5) = πολ(3) = 5 ·(2·3·3·5) = πολ(5) = 9 ·(2·5·5) = πολ(9) = 10 ·(3·3·5) = πολ(10) = 25 ·(2·3·3) = πολ(25) Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου Άσκηση 2 Επιλέξτε το Σ ή το Λ αν η πρόταση είναι Σωστή ή Λανθασμένη αντίστοιχα. Το διπλάσιο ενός πρώτου αριθμού είναι πρώτος αριθμός Σ Λ Δύο αριθμοί που έχουν ΜΚΔ το 24, έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες εκτός από τη μονάδα. Σ Λ EKΠ (11, 6) = 17 Σ Λ EKΠ (5, 10) = 10 Σ Λ Αν το ΕΚΠ(α, β) = β, ο β είναι πολλαπλάσιο του α. Σ Λ ΜΚΔ(10, 4) =7 Σ Λ Αν κ ,λ είναι πρώτοι αριθμοί τότε ΜΚΔ(κ,λ) = 1 Σ Λ Δύο πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί, είναι πρώτοι αριθμοί. Σ Λ Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου