Ειδικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Η μη ομογενής εξίσωση της θερμοκρασίας Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Η μη ομογενής εξίσωση της θερμοκρασίας ράβδου πεπερασμένου μήκους Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων α) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη u(x,0) = 0.H συνάρτηση πηγής β) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη u(x,0) = ϕ(x) γ) Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων Ομογενείς συνοριακές συνθήκες. H συνάρτηση πηγής. Έστω η μη ομογενής διαφορική εξίσωση 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝛼 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 +𝑓(x,t),𝑓(x,t)= 𝐹(x,t) c𝜌 με ομογενείς συνοριακές συνθήκες u(0,t)=0, u(L,t)=0 και με αρχική συνθήκη την 𝑢(x,0)=0 Η παραπάνω Δ.Ε. είναι η διαφορική εξίσωση της κατανομής της θερμοκρασίας σε ράβδο (0,L) συναρτήσει του χρόνου παρουσία θερμικής πηγής, η οποία εκλύει ποσόν θερμότητας 𝐹(𝑥,𝑡) ανά μονάδα μήκους και ανά μονάδα χρόνου στην ράβδο.

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (2) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες. H συνάρτηση πηγής (2) Για να λύσουμε την Δ.Ε. χρησιμοποιούμε την μέθοδο των ιδιοσυναρτήσεων. Κατά την μέθοδο αυτήν η ζητουμένη λύση έχει την μορφή 𝑢(x,t)= n=1 ∞ T n (t) 𝑋 𝑛 (x) Η λύση της ομογενούς εξισώσεως που πληροί τις σ. συνθήκες είναι η 𝑋 𝑛 (x)=sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (3) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες. H συνάρτηση πηγής (3) Σύμφωνα λοιπόν με την μέθοδο των ιδιοσυναρτήσεων ζητούμε λύση υπό μορφή σειράς Fourier 𝑢(x,t)= n=1 ∞ T n (t) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 Επί πλέον θεωρούμε ότι η συνάρτηση 𝑓(𝑥,𝑡) εκφράζεται υπό μορφή σειράς Fourier, ως εξής f(x,t)= n=1 ∞ 𝐴 n (t) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 , όπου 𝐴 𝑛 (t)= 2 𝐿 0 𝐿 f(𝜉,t) sin 𝑛𝜋𝜉 𝐿 𝑑𝜉

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (4) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες. H συνάρτηση πηγής (4) Οπότε λαμβάνουμε 𝑢(x,t)= 0 𝑡 0 𝐿 2 𝐿 𝑛=1 ∞ 𝑒 − 𝑛 2 𝜋 2 𝛼 2 𝐿 2 (𝑡−𝜏) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 sin 𝑛𝜋𝜉 𝐿 f(𝜉,𝜏)𝑑𝜉𝑑𝜏 Η συνάρτηση πηγής, σε συμφωνία με την εξίσωση ορισμού, είναι G(x,𝜉,t−𝜏)= 2 𝐿 𝑛=1 ∞ 𝑒 − 𝑛 2 𝛼 2 𝜋 2 𝐿 2 (𝑡−𝜏) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 sin 𝑛𝜋𝜉 𝐿

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (5) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες. H συνάρτηση πηγής (5) Άρα τελικά έχουμε 𝑢(x,t)= 0 𝑡 0 𝐿 𝐺(x,ξ,𝑡−𝜏) f(ξ,𝜏)𝑑𝜉𝑑𝜏

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (6) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη 𝒖 𝒙,𝟎 =𝝋(𝒙) Θα εξαγάγουμε την λύση της μη ομογενούς διαφορικής εξισώσεως 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝛼 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 +𝑓(x,t) με ομογενείς συνοριακές συνθήκες u(0,t)=u(L,t)=0 και με αρχική συνθήκη την 𝑢(x,0)=𝜑(x)

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (7) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη 𝒖 𝒙,𝟎 =𝝋(𝒙) Θεωρούμε λύση υπό μορφή σειράς Fourier 𝑢(x,t)= n=1 ∞ U n (t) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 Έστω ότι η συνάρτηση 𝑓(𝑥,𝑡) και η αρχική συνθήκη εκφράζονται εκάστη υπό μορφή σειράς Fourier, ως εξής 𝑓(x,t)= 𝑛=1 ∞ 𝐹 𝑛 (t)sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ⇒ 𝐹 𝑛 (t)= 2 𝐿 0 𝐿 𝑓(ξ,t)sin 𝑛𝜋𝜉 𝐿 𝑑𝜉 𝜑(x)= n=1 ∞ 𝛷 n sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ⇒ 𝛷 𝑛 = 2 𝐿 0 𝐿 𝜑(ξ)sin 𝑛𝜋𝜉 𝐿 𝑑𝜉

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (8) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη 𝒖 𝒙,𝟎 =𝝋(𝒙) Από τις παραπάνω εξισώσεις θα έχουμε n=1 ∞ 𝛼 2 𝑛 2 𝜋 2 𝐿 2 𝑈 𝑛 (t)+ 𝑈 ′ 𝑛 (t)− 𝐹 𝑛 (t) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 =0 Η εξίσωση αυτή ισχύει εφ’ όσον η παράσταση εντός της παρενθέσεως ισούται με το μηδέν, οπότε 𝑈 ′ 𝑛 (t)+ 𝛼 2 𝑛 2 𝜋 2 𝐿 2 𝑈 𝑛 (t)= 𝐹 𝑛 (t)

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (9) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη 𝒖 𝒙,𝟎 =𝝋(𝒙) Η συνθήκη που διέπει την παραπάνω εξίσωση είναι 𝑢(x,0)=𝜑(x)= n=1 ∞ U n (0) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 Από την σχέση αυτή συνάγεται 𝜑(x)= n=1 ∞ U n (0) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 = 𝑛=1 ∞ 𝛷 𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 Επομένως 𝑈 𝑛 (0)= 𝛷 𝑛 η οποία συνοδεύεται πλέον από τον απαραίτητο αριθμό συνθηκών για να λυθεί. 𝑈 𝑛 (0)= 𝛷 𝑛

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (10) Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες Έστω η μη ομογενής διαφορική εξίσωση 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝛼 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 +𝑓(x,t) με μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες u(0,t)= g 1 (t),u(L,t)= g 2 (t), t>0 Έστω επίσης η γενική αρχική συνθήκη 𝑢(x,0)=𝜑(x) Αναζητούμε λύση της μορφής u(x,t)=U(x,t)+w(x,t)

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (11) Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες Σκοπός να αναγάγουμε το δοθέν πρόβλημα σε πρόβλημα με ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Προς τούτο επιλέγουμε την μορφή της συναρτήσεως 𝑤(𝑥,𝑡) ούτως, ώστε να ικανοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες, δηλαδή θέτουμε w(0,t)= g 1 (t),w(L,t)= g 2 (t), t>0 Μια μορφή της 𝑤(𝑥,𝑡) , η οποία πληροί τις παραπάνω συνθήκες είναι η w(x,t)= g 1 (t)+ x L g 2 (t)− g 1 (t)

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (12) Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες Το αρχικό πρόβλημα ανάγεται πλέον στην επίλυση της εξισώσεως 𝜕 2 𝑈 𝜕 𝑡 2 = 𝛼 2 𝜕 2 𝑈 𝜕 𝑥 2 +𝑔(x,t) Όπου g(x,t)=f(x,t)− 𝜕w 𝜕t

Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων (13) Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες Οι αρχικές και οι συνοριακές συνθήκες που είναι οι ακόλουθες 𝑈(x,0)=𝜑(x)−w(x,0), U(0,t)=0,U(L,t)=0 Η εξίσωση είναι μη ομογενής διαφορική εξίσωση με ομογενείς συνοριακές συνθήκες και επιλύεται με την μέθοδο, η οποία έχει περιγραφεί στην παραπάνω υποενότητα του παρόντος κεφαλαίου

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από το βιβλίο: «Ειδικά Μαθηματικά», Γ. Καραχάλιου & Β. Λουκόπουλου, Παν/μίου Πατρών, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Βασίλειος Λουκόπουλος. «Ειδικά Μαθηματικά. Ενότητα 7». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/PHY1945/

Τέλος Ενότητας