Στοιχεία Θεωρίας Γραφημάτων Γέφυρες του Konigsberg (Euler) M. Σατρατζέμη - Κ.Χατζηαθανασίου {maya, hatzidin}@uom.gr

Τι είναι γράφημα Μη Προσανατολισμένο γράφημα v2 v1 v3 v5 v4 G = (V, E) γράφημα V = {v1, v2, v3, v4, v5} κορυφές ή κόμβοι ή σημεία E = {(v1, v2), (v1, v5), (v2, v4), (v2, v5), (v3, v4), (v3, v5), (v4, v5)} ακμές ή τόξα ή δεσμοί

Τι είναι γράφημα Προσανατολισμένο γράφημα v2 v1 v3 v5 v4 G = (V, E) γράφημα V = {v1, v2, v3, v4, v5} κορυφές ή κόμβοι ή σημεία E = {(v1, v2), (v1, v5), (v2, v4), (v2, v5), (v3, v4), (v3, v5), (v4, v5)} ακμές ή τόξα ή δεσμοί

Ανακύκλωση ή βρόγχος v2 v1 v3 v5 v4

Παράλληλες ακμές v2 v1 v3 v5 v4

Γειτονικές κορυφές, ακμές Οι κορυφές v1 και v2 είναι γειτονικές. Οι ακμές e1 και e2 είναι γειτονικές. H κορυφή v1 είναι προσκείμενη στις ακμές e1 και e2. Οι κορυφές v2 και v3 είναι ανεξάρτητες. e1 v2 v1 e2 v3 v5 v4

Σύνολο Γειτονικών Κορυφών, Βαθμός Κορυφής Το σύνολο των γειτονικών κορυφών της v1 είναι το Γ(v1)={v5, v2}. Ο βαθμός της κορυφής v1 είναι 2 ή d(v1)=|Γ(v1)|=2 e1 v2 v1 e2 v3 v5 v4

Αντίστοιχες έννοιες για προσανατολισμένα γραφήματα Η v1 είναι προηγούμενη της v2. Η v2 είναι επόμενη της v1. Σύνολο των επόμενων της v1 είναι Γ+(v1)={v5, v2}. Σύνολο των προηγούμενων της v2 είναι Γ-(v2)={v1}. Έξω-βαθμός της v1: d+(v1)= 2. Έσω-βαθμός της v1: d- (v1)= 0. v2 v1 v3 v5 v4

Μεμονωμένη, Τελική κορυφή, Κενό Γράφημα v2 v1 v2 v1 v3 v3 v5 v5 v7 v7 v6 v6 v4 Τελική v4 Τελική Μεμονωμένη Μεμονωμένη Κενό γράφημα v1

Ισομορφισμός Δύο γραφήματα είναι ισόμορφα αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των κορυφών τους και των ακμών τους, ώστε να διατηρούνται οι ιδιότητες του προσκείμενου. Αναγκαίες συνθήκες για τον ισομορφισμό: ίσο πλήθος κορυφών ίσο πλήθος ακμών ίσο πλήθος κορυφών ορισμένου βαθμού.

Υπογραφήματα και μερικά γραφήματα v2 v1 v2 v1 v3 v3 v5 v5 v4 v4 Μερικό γράφημα Υπογράφημα

Αλυσίδα, Μονοπάτια, Κυκλώματα και Κύκλοι v2 v1 v2 v1 v3 v3 v5 v5 v4 v4 Αλυσίδα Μονοπάτι

Βάρη Γραφήματος - Μήκος Μονοπατιού Δίκτυο

Συνεκτικά, Μη συνεκτικά γραφήματα, Συνιστώσες Ένα γράφημα ονομάζεται συνεκτικό αν για κάθε ζεύγος κορυφών του υπάρχει ένα τουλάχιστο μονοπάτι που τις συνδέει. Συνιστώσα ενός μη συνεκτικού γραφήματος είναι κάθε συνετικό γράφημα από το οποίο αποτελείται.

Πλήρη Γραφήματα Πλήρες γράφημα 4 κορυφών. Το πλήθος των ακμών ενός πλήρους γραφήματος με n κορυφές είναι n(n-1)/2.

Πυκνότητα Γραφήματος Ο λόγος του πλήθους των ακμών ενός γραφήματος προς το πλήθος των ακμών του αντίστοιχου πλήρους γραφήματος

Εσωτερική Παράσταση Γραφήματος Πίνακας Γειτνίασεως (Adjacency Matrix) Πίνακας Προσπτώσεως (Incidence Matrix) Λίστα Γειτονικών Κορυφών (Adjacency Lists)

Αναπαράσταση Γραφημάτων