Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Για κάθε ΜΠΑ Μ υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος κατασκευάζει ΠΑ Μ’ αιτιοκρατικό ώστε να αναγνωρίζουν την ίδια ακριβώς γλώσσα. Καθώς το ΜΠΑ επεξεργάζεται την συμβολοσειρά αντί να ακολουθούμε ένα μονοπάτι μόνο ακολουθούμε όλα τα δυνατά μονοπάτια, έτσι σε κάθε βήμα δεν έχουμε μία μόνο κατάσταση αλλά ένα σύνολο από δυνατές καταστάσεις, έχουμε κατά κάποιο τρόπο παράλληλη επεξεργασία της συμβολοσειράς . Με την ιδέα αυτή το αλφάβητο είναι το ίδιο, μία κατάσταση του Μ’ είναι σύνολο καταστάσεων του Μ. Αν n είναι ο αριθμός των καταστάσεων του Μ τότε ο αριθμός των καταστάσεων του Μ΄ είναι 2n. Οι τελικές καταστάσεις του Μ΄ είναι τα σύνολα καταστάσεων που περιέχουν μία (είτε περισσότερες) τελικές καταστάσεις του Μ (από τον ορισμό του τερματισμού του Μ) . Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Η απόδειξη κατασκευάζει το νέο αυτόματο με την υπόθεση ότι το αυτόματο Μ δεν έχει e κινήσεις. Σε δεύτερο στάδιο αντιμετωπίζουμε τις e κινήσεις. Η λεπτομερής απόδειξη είναι ως εξής: Αν είναι ένα ΜΠΑ που αναγνωρίζει μία γλώσσα L, ορίζουμε Q’ το δυναμοσύνολο του Q. Για την συνάρτηση μετάβασης του Μ’ ορίζουμε Αν R είναι μία κατάσταση του Μ’, τότε είναι σύνολο καταστάσεων του Μ. Όταν το Μ’ διαβάζει ένα σύμβολο και βρίσκεται σε κάποια κατάσταση η επόμενη δυνατή κατάσταση στο Μ’ είναι το σύνολο των επόμενων καταστάσεων του Μ. Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Ισοδύναμος χαρακτηρισμός για το προηγούμενο είναι Η αρχική κατάσταση του Μ’ είναι το μονοσύνολο {q0}, όπου q0 είναι η αρχική κατάσταση του Μ. Τελικές καταστάσεις του Μ’ είναι τα σύνολα καταστάσεων του Μ τα οποία περιέχουν μία τουλάχιστον τελική κατάσταση του Μ. Για να λάβουμε υπ’ όψιν τις e μεταβάσεις χρειάζονται οι εξής μετατροπές στην κατασκευή. Για μία κατάσταση q του αυτόματου Μ ορίζουμε το σύνολο e(q) των καταστάσεων στις οποίες μπορούμε να μεταβούμε από την q με e μεταβάσεις με αναδρομή. Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Τίποτα άλλο δεν ανήκει στο σύνολο e(q). Οι συνθήκες αυτή μας εξασφαλίζουν ότι έχουμε το μικρότερο σύνολο το οποίο περιέχει τις καταστάσεις στις οποίες μπορούμε να φτάσουμε από την q με διαδοχικές e μεταβάσεις πιθανόν και καμία. Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Ένας τρόπος να βρεθεί η e κλειστότητα των καταστάσεων ενός ΠΑ είναι από την γραφική παράσταση του ΠΑ να αφαιρέσουμε τις μη κενές μεταβάσεις. Η μεταβατική κλειστότητα κάθε κατάστασης στο νέο αυτόματο είναι η e κλειστότητα της κατάστασης. Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Το επόμενο βήμα είναι να αντικαταστήσουμε την συνάρτηση μετάβασης όπως ορίστηκε προηγουμένως με την ώστε να λάβουμε υπ’ όψιν τις e μεταβάσεις. Επιπλέον τροποποιούμε την αρχική κατάσταση του Μ’ ώστε να λαμβάνει υπ’ όψιν τις e μεταβάσεις από την αρχική κατάσταση. Η νέα αρχική κατάσταση είναι e({q0}). Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Για την ορθότητα της κατασκευής (ορθότητα αλγορίθμου) έχουμε ότι αν το αυτόματο Μ βρίσκεται σε κάποια κατάσταση έχοντας διαβάσει κάποιο τμήμα μίας συμβολοσειράς και το Μ έχει για δυνατές επόμενες καταστάσεις το σύνολο Α (με e μεταβάσεις), η επόμενη κατάσταση για το αυτόματο Μ’ θα είναι το σύνολο Α (περιέχει την e κλειστότητα). Η απόδειξη είναι αλγοριθμική κατασκευή μίας δομής από μία άλλη δομή. Η απόδειξη της ορθότητας της κατασκευής είναι απόδειξη της ορθότητας του αλγορίθμου. Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Για το αυτόματο στην εικόνα έχουμε e({1}) = {1,3}, για τις υπόλοιπες καταστάσεις η e κλειστότητα είναι το ίδιο το μονοσύνολο σε κάθε περίπτωση. Αρχική κατάσταση e({1})={1,3}. Η συνάρτηση μετάβασης για το ΜΠΑ είναι δ’({1},α)=e(δ(1,α))=e(Ø)= Ø, δ’({1},b)=e(δ(1,β))=e({2})={2}, δ’({2},α)=e(δ(2,α))=e({2,3})={2,3}, δ’({2},b)=e(δ(2,b))=e({3})={3}, δ’({3},α)=e (δ’(3,α))=e({1,3})={1,3}, δ’({3},b)=e (δ’(3,b))=e(Ø)= Ø, δ’({1, 3}, a ) = e(δ(1,α)) U e( δ(3,α)) = e(Ø) U e({1,3})={1,3}, δ’({1, 3}, b ) = e( δ(1,b)) U e( δ(3,b)) = e({2}) U e( Ø)={2}, δ’({1, 2}, a ) = e(δ(1,α)) U e( δ(2,α)) = e(Ø ) U e( {2,3})={2,3}, δ’({1, 2}, b ) = e(δ(1,b) )U e( δ(2,b)) = e({2,3})={2,3}, Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ δ’({2, 3}, a ) = e(δ(2,α)) U e( δ(3,α)) = e({2,3}) U e({1,3})={1,2,3}, δ’({2, 3}, b ) = e( δ(2,b)) U e( δ(3,b)) = e({3}) U e( Ø)={3}, δ’(Ø,α)= δ’(Ø,α)= Ø, δ’({1,2, 3}, a ) = e(δ(1,α)) U e( δ(2,α)) U e( δ(3,α)) = e(Ø) U e( {2,3}) U e({1,3})={1,2,3}, δ’({1,2, 3}, b ) = e(δ(1,b)) U e( δ(2,b)) U e( δ(3,b)) = e({3}) U e( Ø)= { 1,2,3}. Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Θεωρία Υπολογισμού

Ισοδυναμία ΜΠΑ με ΠΑ Αφού δεν έχουμε βέλη να δείχνουν στις καταστάσεις {1}, { 1, 2} μπορούμε να τις αφαιρέσουμε και καταλήγουμε στο εξής αυτόματο. Θεωρία Υπολογισμού