Μέγιστη ροή Κατευθυνόμενο γράφημα 12 Συνάρτηση χωρητικότητας 16 20 7 10 4 9 αφετηρίακός κόμβος τερματικός κόμβος 13 4 Ροή δικτύου 14 Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγη Αντισυμμετρία: για όλα τα ζεύγη Διατήρηση ροής: για κάθε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Κατευθυνόμενο γράφημα 10/12 Συνάρτηση χωρητικότητας 10/16 13/20 3/7 10 4 9 7/13 4/4 Ροή δικτύου 7/14 Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγη Αντισυμμετρία: για όλα τα ζεύγη Διατήρηση ροής: για κάθε Π.χ. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Κατευθυνόμενο γράφημα 10/12 Συνάρτηση χωρητικότητας 10/16 13/20 3/7 10 4 9 7/13 4/4 Ροή δικτύου 7/14 Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγη Αντισυμμετρία: για όλα τα ζεύγη Διατήρηση ροής: για κάθε Π.χ. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Κατευθυνόμενο γράφημα 10/12 Συνάρτηση χωρητικότητας 10/16 13/20 3/7 10 4 9 7/13 4/4 Ροή δικτύου 7/14 Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγη Αντισυμμετρία: για όλα τα ζεύγη Διατήρηση ροής: για κάθε Τιμή ροής: Π.χ. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Κατευθυνόμενο γράφημα 10/12 Συνάρτηση χωρητικότητας 10/16 13/20 3/7 10 4 9 7/13 4/4 Ροή δικτύου 7/14 Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγη Αντισυμμετρία: για όλα τα ζεύγη Διατήρηση ροής: για κάθε Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Π.χ. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Σημαντικό πεδίο έρευνας, πολλές εφαρμογές… TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγη Αντισυμμετρία: για όλα τα ζεύγη Διατήρηση ροής: για κάθε Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: Ολική καθαρή ροή: TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγη Αντισυμμετρία: για όλα τα ζεύγη Διατήρηση ροής: για κάθε Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: λόγω διατήρησης της ροής Ολική καθαρή ροή: TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Παρατήρηση Το μοντέλο της ροής δικτύου που χρησιμοποιούμε δεν επιτρέπει την καταστάσεις σαν την ακόλουθη Παραβιάζει την αντισυμμετρία TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Πολλαπλοί αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Έστω σύνολα και Ορίζουμε Άρα Έστω σύνολα και Ορίζουμε Άρα Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες 1. Για κάθε 2. Για κάθε 3. Για κάθε τέτοια ώστε και TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες 1. Για κάθε Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες 1. Για κάθε 2. Για κάθε 3. Για κάθε τέτοια ώστε και Πόρισμα (από την 3, ) (από την 1, ) (από την 2) (από την 3) (από διατήρηση ροής ) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή 10/12 10/16 13/20 3/7 10 4 9 1. θέτουμε τη ροή ίση με 0 7/13 4/4 2. ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή 7/14 3. αυξάνουμε τη ροή κατά μήκος της TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα 5/8 3 5 6 11 Υπολειπόμενο δίκτυο όπου TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα 5/8 3 5 6 11 Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 12/12 12 12 17 12/16 17/20 4 2 3 5/7 10 4 10 4 2/9 7 5 2 7 7/13 4/4 4 6 5 9/14 9 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 12/12 12 12 17 12/16 17/20 4 2 3 5/7 10 4 10 4 2/9 7 5 2 7 7/13 4/4 4 6 5 9/14 9 Έστω οι ακμές του με ανεστραμμένη φορά Τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 12/12 12 12 15 12/16 15/20 4 2 5 5/7 10 4 10 4 2/9 7 5 2 7 7/13 4/4 4 6 5 9/14 9 Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Αντισυμμετρία TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Χωρητικότητα Ισχύει άρα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Διατήρηση ροής Για κάθε κόμβο έχουμε Επειδή και είναι ροές και έχουμε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Τιμή της ροής TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 12/12 12 12 15 12/16 15/20 4 2 5 5/7 10 4 10 4 2/9 7 5 2 7 7/13 4/4 4 6 5 9/14 9 Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή Υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής : Π.χ. και TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Υπολειπόμενη χωρητικότητα Μέγιστη ροή Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 12/12 12 12 15 12/16 15/20 4 2 5 5/7 10 4 10 4 2/9 7 5 2 7 7/13 4/4 4 6 5 9/14 9 Υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής Η συνάρτηση όπου αποτελεί ροή στο Επομένως η συνάρτηση αποτελεί ροή στο και TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Τομές δικτύων ροής Δίκτυο ροής Τομή διαμέριση του συνόλου των κόμβων και έτσι ώστε και Καθαρή ροή δια μέσου της τομής 12/12 12/16 15/20 5/7 10 4 Χωρητικότητα της τομής 2/9 7/13 4/4 9/14 Ισχύει Π.χ. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Τομές δικτύων ροής Δίκτυο ροής Τομή διαμέριση του συνόλου των κόμβων και έτσι ώστε και Καθαρή ροή δια μέσου της τομής : Χωρητικότητα της τομής : Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του . Τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Τομές δικτύων ροής Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του . Τότε Απόδειξη 12/12 Έχουμε 12/16 17/20 5/7 10 4 2/9 7/13 4/4 Όμως 9/14 Άρα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Τομές δικτύων ροής Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του . Τότε Απόδειξη 12/12 Έχουμε 12/16 17/20 5/7 10 4 2/9 7/13 4/4 Όμως 9/14 Άρα Επιπλέον TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες 1. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο 3. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε 12/12 12 12 19 12/16 19/20 4 1 7/7 10 4 10 4 9 7 9 11 11/13 4/4 4 2 3 11/14 11 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες 1. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο 3. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε Απόδειξη Έστω ότι η είναι μέγιστη ροή αλλά το περιλαμβάνει αυξητική διαδρομή . Επομένως υπάρχει στο ροή και όπως έχουμε δείξει το άθροισμα αποτελεί ροή στο με τιμή Αυτό όμως αντιβαίνει το γεγονός ότι η είναι μέγιστη ροή. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες 1. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο 3. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε Απόδειξη Υποθέτουμε τώρα πως δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο Θέτουμε το ως το σύνολο των κόμβων που είναι προσβάσιμοι από το στο και . Προφανώς και άρα το είναι μία τομή του Έστω οποιοιδήποτε κόμβοι και . Πρέπει να ισχύει έτσι ώστε γιατί διαφορετικά το περιέχει μονοπάτι από το στο Άρα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/12 12 0/16 0/20 0/7 7 0/10 0/4 10 4 0/9 9 13 0/13 0/4 4 0/14 14 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/12 12 0/16 0/20 0/7 7 0/10 0/4 10 4 0/9 9 13 0/13 0/4 4 0/14 14 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 4 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/12 12 4/16 0/20 0/7 7 0/10 0/4 10 4 4/9 9 13 0/13 4/4 4 4/14 14 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 4 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/12 8 4 4/16 0/20 5 0/7 7 0/10 0/4 10 4 4/9 4 13 0/13 4/4 10 4 4/14 4 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/12 8 4 4/16 0/20 5 0/7 7 0/10 0/4 10 4 4/9 4 13 0/13 4/4 10 4 4/14 4 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 7 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/12 8 4 11/16 7/20 12 20 4 5 7/7 7 7/10 0/4 10 4 4/9 4 13 0/13 4/4 10 4 11/14 4 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 7 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/12 8 4 7 11/16 7/20 5 11 5 13 7/7 7 7/10 0/4 3 11 4/9 4 13 0/13 4/4 3 4 11/14 11 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/12 8 4 7 11/16 7/20 5 11 5 13 7/7 7 7/10 0/4 3 11 4/9 4 13 0/13 4/4 3 4 11/14 11 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 8 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 12/12 8 4 7 11/16 15/20 5 11 5 13 7/7 7 0/10 1/4 3 11 4/9 4 13 8/13 4/4 3 4 11/14 11 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 8 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 12/12 12 15 11/16 15/20 5 11 5 5 7/7 7 0/10 1/4 11 3 4/9 8 4 8/13 4/4 5 3 4 11/14 11 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 12/12 12 15 11/16 15/20 5 11 5 5 7/7 7 0/10 1/4 11 3 4/9 8 4 8/13 4/4 5 3 4 11/14 11 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 4 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 12/12 12 15 11/16 19/20 5 11 5 5 7/7 7 0/10 1/4 11 3 0/9 8 4 12/13 4/4 5 3 4 11/14 11 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 4 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 12/12 12 19 11/16 19/20 5 11 1 7/7 7 0/10 1/4 11 3 0/9 9 12 12/13 4/4 1 3 4 11/14 11 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο χρόνος για την εύρεση και για κάθε ακμή επεξεργασία της αυξητικής διαδρομής Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο αύξηση της ροής κατά 1 μονάδα χρόνος για την εύρεση και για κάθε ακμή επεξεργασία της αυξητικής διαδρομής Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 0/1000 0/1000 1000 1000 0/1 1 0/1000 0/1000 1000 1000 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 0/1000 0/1000 1000 1000 0/1 1 0/1000 0/1000 1000 1000 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 1/1000 0/1000 1000 1000 1/1 1 0/1000 1/1000 1000 1000 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 1/1000 0/1000 999 1000 1 1/1 1 1 0/1000 1/1000 1000 999 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 1/1000 0/1000 999 1000 1 1/1 1 1 0/1000 1/1000 1000 999 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 1/1000 1/1000 999 1000 1 0/1 1 1 1/1000 1/1000 1000 999 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 1/1000 1/1000 999 999 1 1 0/1 1 1 1 1/1000 1/1000 999 999 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 1/1000 1/1000 999 999 1 1 0/1 1 1 1 1/1000 1/1000 999 999 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 2/1000 1/1000 999 999 1 1 1/1 1 1 1 1/1000 2/1000 999 999 δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1 κ.ο.κ. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο βραχύτατη αυξητική διαδρομή Με αυτήν την τροποποίηση ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται για κάθε ακμή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο βραχύτατη αυξητική διαδρομή Με αυτήν την τροποποίηση ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται για κάθε ακμή μήκος βραχύτατης διαδρομής από το μέχρι το στο Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι για κάποιο το μήκος μειώνεται μετά από μία πράξη αύξησης ροής. Έστω η ροή πριν την πράξη αύξησης και η ροή μετά την πράξη αύξησης Επιλέγουμε ως τον κόμβο με την ελάχιστη τιμή τέτοιον ώστε Έστω μια βραχύτατη διαδρομή στο από το στο Έχουμε και Αν τότε Αντιβαίνει την υπόθεση TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι για κάποιο το μήκος μειώνεται μετά από μία πράξη αύξησης ροής. Έστω η ροή πριν την πράξη αύξησης και η ροή μετά την πράξη αύξησης Επιλέγουμε ως τον κόμβο με την ελάχιστη τιμή τέτοιον ώστε Έστω μια βραχύτατη διαδρομή στο από το στο Έχουμε και Άρα και η ροή από το στο αυξήθηκε η βραχύτατη διαδρομή από μέχρι το στο να ήταν επομένως ΑΤΟΠΟ TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι . Απόδειξη 12 κρίσιμη ακμή αυξητικής διαδρομής 15 5 11 5 5 7 11 3 8 4 5 3 4 11 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι . Απόδειξη 12 15 5 κρίσιμη ακμή αυξητικής διαδρομής 11 5 5 7 11 3 8 4 5 3 4 11 12 οι κρίσιμες ακμές εξαλείφονται από το υπολειπόμενο δίκτυο μετά την αύξηση ροής 19 5 11 1 7 11 3 9 12 1 3 4 11 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι . Απόδειξη Θα δείξουμε ότι μια ακμή μπορεί να καταστεί κρίσιμη φορές Όταν η γίνει κρίσιμη τότε Μετά την πράξη αύξησης η εξαλείφεται. Για να γίνει ξανά κρίσιμη πρέπει να αυξηθεί η ροή από το στο Επειδή έχουμε Ο ισχυρισμός μας συνεπάγεται από το ότι αν η γίνει κρίσιμη. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 3 3 2/3 3/3 1 1/1 3 3 3/3 2/3 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 3 3 2/3 3/3 1 1/1 3 3 3/3 2/3 Η ροή δεν μπορεί να αυξηθεί μέσω μονοπατιών του (αν δεν είναι μέγιστη τότε μπορεί να αυξηθεί μέσω μονοπατιών του ) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο (0) Γράφημα επιπέδων 3 4 3 4 Περιέχει τις ακμές 1 (1) (1) για τις οποίες ισχύει 2 2 3 3 3 3 (2) (2) 4 3 4 3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο (0) Γράφημα επιπέδων 3 4 3/3 1/4 Περιέχει τις ακμές 1 (1) (1) για τις οποίες ισχύει 2 2/2 3 3 1/3 1/3 (2) Παρατήρηση: Το είναι άκυκλο (2) 4 3 1/4 3/3 ροή εμποδισμού του (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο Γράφημα επιπέδων Περιέχει τις ακμές για τις οποίες ισχύει Παρατήρηση: Το είναι άκυκλο ροή εμποδισμού του Αλγόριθμος Αρχικά . Επαναλαμβάνει το παρακάτω βήμα μέχρι ο να μην ανήκει στο : Βήμα εμποδισμού: Βρες ροή εμποδισμού στο . Η ροή του γίνεται TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic (0) 3 4 3 4 3/3 1/4 1 1 (1) (1) 2 2 2/2 3 3 3 3 1/3 1/3 (2) (2) 4 3 4 3 1/4 3/3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic (0) 3/3 1/4 3 1 3 3 1 1 1 (2) (1) 2/2 2 1/3 1/3 2 1 3 2 3 (3) (2) 1 1/4 3/3 3 3 3 (4) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic (0) 3/3 1/4 3 1 1/3 3 1 1 1/1 (2) (1) 2/2 2 1/3 1/3 2 1 3 1/2 3 (3) (2) 1 1/4 3/3 3 3 1/3 (4) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic (0) 3/3 2/4 3 2 2 2 1/1 1 (3) (1) 2/2 2 2 2/3 1/3 1 2 2 1 1 2 (4) (2) 2 2/4 3/3 2 3 2 (5) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic (0) 3/3 3/4 3 3 1 1 1/1 1 (3) (1) 1 1/2 1 3/3 2/3 3 1 2 1 1 ( ) (2) 3 3/4 3/3 1 3 1 ( ) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Λήμμα Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Δείχνουμε ότι το επίπεδο του αυξάνει σε κάθε βήμα. Αφού για όλους του κόμβους τότε μπορούμε να έχουμε το πολύ βήματα Έστω και η συνάρτηση και το γράφημα επιπέδων αντίστοιχα μετά από ένα βήμα εμποδισμού. Έστω το υπολειπόμενο δίκτυο μετά το βήμα. Για κάθε ακμή ισχύει Για κάθε ακμή ισχύει ή άρα Αυτό συνεπάγεται ότι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Λήμμα Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Δείχνουμε ότι το επίπεδο του αυξάνει σε κάθε βήμα. Αφού για όλους του κόμβους τότε μπορούμε να έχουμε το πολύ βήματα Έστω οποιαδήποτε συντομότερη διαδρομή του από το στο Για κάθε έχουμε άρα Όμως η είναι ροή εμποδισμού άρα τουλάχιστον μια ακμή είναι κορεσμένη και επομένως Άρα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 3 4 (1) (1) 2 3 3 (2) (2) 4 3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 3 4 (1) (1) 2 3 3 (2) (2) 4 3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 2/3 4 (1) (1) 2/2 3 3 (2) (2) 4 2/3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 2/3 4 (1) (1) 2/2 3 3 (2) (2) 4 2/3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 3/3 4 (1) (1) 2/2 1/3 3 (2) (2) 1/4 2/3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 3/3 4 (1) (1) 2/2 1/3 3 (2) (2) 1/4 2/3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 3/3 4 (1) (1) 2/2 1/3 3 (2) (2) 1/4 2/3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 3/3 1/4 (1) (1) 2/2 1/3 1/3 (2) (2) 1/4 3/3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 3/3 1/4 (1) (1) 2/2 1/3 1/3 (2) (2) 1/4 3/3 (3) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Η εύρεση του μονοπατιού μπορεί να γίνει με καθοδική διερεύνηση, που υλοποιείται από τις παρακάτω ρουτίνες: αρχικοποίηση: . Πήγαινε στη ρουτίνα πρόοδος. πρόοδος: Aν δεν υπάρχει εξερχόμενη ακμή πήγαινε στη ρουτίνα υποχώρηση. Διαφορετικά . . Αν επανάλαβε τη ρουτίνα πρόοδος. Αν πήγαινε στη ρουτίνα επαύξηση. επαύξηση: .. Πρόσθεσε μονάδες ροής σε κάθε ακμή του , σβήσε τις κορεσμένες ακμές και πήγαινε στη ρουτίνα αρχικοποίηση. υποχώρηση: Αν τερμάτισε. Διαφορετικά έστω η τελευταία ακμή του . Σβήσε τη από το και το από το . Κάνε και πήγαινε στη ρουτίνα πρόοδος. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic Η προηγούμενη ρουτίνα βρίσκει μια ροή εμποδισμού σε χρόνο Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Επομένως ο χρόνος εκτέλεσης είναι Με δυναμικά δένδρα ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Δυναμικά δένδρα Δομή δεδομένων που διατηρεί δάσος από δένδρα με ρίζα τα οποία μεταβάλλονται μέσω δύο εντολών Κάνει τον κόμβο παιδί του κόμβου ( και αρχικά βρίσκονται σε ξεχωριστά δένδρα και το είναι ρίζα) Διαγράφει την ακμή μεταξύ του και του γονέα του. Κάνει τον κόμβο ρίζα νέου δένδρου TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Δυναμικά δένδρα Κάνει τον κόμβο παιδί του κόμβου ( και αρχικά βρίσκονται σε ξεχωριστά δένδρα και το είναι ρίζα) Διαγράφει την ακμή μεταξύ του και του γονέα του. Κάνει τον κόμβο ρίζα νέου δένδρου Επιπλέον κάθε κόμβος έχει ένα κόστος. Θα χρειαστούμε και τις ακόλουθες εντολές: Δημιουργεί νέο δένδρο με μοναδικό κόμβο το με μηδενικό κόστος Επιστρέφει τη ρίζα του δένδρου που περιέχει το Επιστρέφει το ζεύγος όπου είναι το ελάχιστο κόστος των κόμβων του μονοπατιού από το στο και είναι ο πιο κοντινός στη ρίζα κόμβος με κόστος Προσθέτει την τιμή στο κόστος κάθε κόμβου του μονοπατιού από το στο Όλες οι παραπάνω εντολές μπορούν να εκτελεστούν σε χρόνο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic με δυναμικά δένδρα Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Για κάθε κόμβο διατηρούμε μια ακμή από την οποία μπορούμε (ενδεχομένως) να αυξήσουμε τη ροή Έστω σταθερά τέτοια ώστε Το κόστος ενός κόμβου που είναι ρίζα είναι Διαφορετικά ο έχει κόστος Αρχικά για κάθε κόμβο εκτελούμε και Αναζητούμε μονοπάτι από το στο όπως και πριν μόνο που τώρα χρησιμοποιούμε τις λειτουργίες των δυναμικών δένδρων TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic με δυναμικά δένδρα Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα πρόοδος: Κάνε Aν δεν υπάρχει εξερχόμενη ακμή πήγαινε στη ρουτίνα υποχώρηση Διαφορετικά κάνε Αν επανάλαβε τη ρουτίνα πρόοδος Αν πήγαινε στη ρουτίνα επαύξηση επαύξηση: Κάνε Πήγαινε στη ρουτίνα διαγραφή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic με δυναμικά δένδρα Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα διαγραφή: Κάνε Σβήσε τη από το Κάνε Αν επανάλαβε τη ρουτίνα διαγραφή Αν πήγαινε στη ρουτίνα επαύξηση TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic με δυναμικά δένδρα Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα υποχώρηση: Αν τερμάτισε. Διαφορετικά για κάθε ακμή κάνε Σβήσε τη από το Αν τότε Αν τότε Πήγαινε στη ρουτίνα επαύξηση TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος του Dinic με δυναμικά δένδρα Η υλοποίηση με δυναμικά δένδρα βρίσκει μια ροή εμποδισμού σε χρόνο Επομένως ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης είναι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA