ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ BODE ΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΦΑΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ BODE ΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΦΑΣΗΣ 1ο παράδειγμα: Να σχεδιαστεί το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode του μέτρου και η γραμμική προσέγγιση της φάσης για το σύστημα με: Η συνάρτηση μεταφοράς που μας δόθηκε μπορεί να γραφτεί ως εξής: 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Θα προσδιορίσουμε τα διαγράμματα Bode για κάθε ένα από τους τέσσερις παράγοντες ξεχωριστά, οι οποίοι είναι: Σταθερό κέρδος Kb=2 Διπλός πόλος στην αρχή των αξόνων Πόλος, ο οποίος βρίσκεται στον πραγματικό άξονα , με τ1=1/10 Μηδενικό, το οποίο βρίσκεται στον πραγματικό άξονα , με τ2=1/2 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Σταθερό κέρδος: Η τιμή του λογαριθμικού μέτρου θα είναι: και η φασική γωνία, αφού Kb >0 θα είναι: 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Διπλός πόλος στην αρχή των αξόνων Η τιμή του λογαριθμικού μέτρου θα είναι: και η φασική γωνία, αφού θα είναι: Η κλίση της καμπύλης του μέτρου θα είναι -40 dB/δεκάδα 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Πόλος πάνω στον πραγματικό άξονα Το λογαριθμικό μέτρο για ω<<10 θα είναι: ενώ για ω>>10 θα είναι: Η συχνότητα καμπής παρουσιάζεται στο ω=10 και η κλίση της καμπύλης του μέτρου για ω>>10 είναι -20 dB/δεκάδα. Η φασική γωνία δίνεται από τη σχέση: 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Μηδενικό πάνω στον πραγματικό άξονα Το λογαριθμικό μέτρο για ω<<2 θα είναι: ενώ για ω>>2 θα είναι: Η συχνότητα καμπής παρουσιάζεται στο ω=2 και η κλίση της καμπύλης του μέτρου για ω>>2 είναι +20 dB/δεκάδα. Η φασική γωνία δίνεται από τη σχέση: 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Αφού καθορίσαμε τα διαγράμματα Bode μέτρου και φάσης για κάθε ένα παράγοντα, το επόμενο βήμα είναι να τα αθροίσουμε. Η συνολική συνάρτηση του μέτρου θα είναι: Η κλίση του τμήματος που αντιστοιχεί στον όρο (jω)-2 είναι -40 dB/δεκάδα και βρίσκει την ευθεία των 6.02 dB στη συχνότητα ω=0.7. Στο σημείο ω=2, η συνολική κλίση της καμπύλης γίνεται -20 dB/δεκάδα, λόγω του μηδενικού που βρίσκεται στο σημείο αυτό. Στη συνέχεια, στο σημείο ω=10, η κλίση της καμπύλης μεταβάλλεται σε -40 dB/δεκάδα, εξαιτίας του πόλου που συναντά σε αυτό το σημείο. 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Στο πρώτο σχήμα φαίνεται το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode του μέτρου και στο δεύτερο το πραγματικό για κάθε ένα παράγοντα και για την τελική συνάρτηση μεταφοράς (μαύρη γραμμή). 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Η συνολική συνάρτηση της φάσης δίνεται από την παρακάτω σχέση: Στο πρώτο σχήμα φαίνεται η γραμμική προσέγγιση του διαγράμματος Bode της φάσης και στο δεύτερο το πραγματικό, για κάθε ένα παράγοντα και για την τελική συνάρτηση μεταφοράς (μαύρη γραμμή). 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 2ο παράδειγμα: Να σχεδιαστεί το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode του μέτρου και η γραμμική προσέγγιση της φάσης για το σύστημα με: Η συνάρτηση μεταφοράς που μας δόθηκε μπορεί να γραφτεί ως εξής: 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Θα προσδιορίσουμε τα διαγράμματα Bode για κάθε ένα από τους τρεις παράγοντες ξεχωριστά, οι οποίοι είναι: Σταθερό κέρδος Kb=2.5 Πόλος στην αρχή των αξόνων Ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων με ζ=0.125 και ωn=2, το οποίο αναπαριστάται με την εξής κανονικοποιημένη μορφή: 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Σταθερό κέρδος: Η τιμή του λογαριθμικού μέτρου θα είναι: και η φασική γωνία, αφού Kb >0 θα είναι: 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Πόλος στην αρχή των αξόνων Η τιμή του λογαριθμικού μέτρου θα είναι: και η φασική γωνία, αφού θα είναι: Η κλίση της καμπύλης του μέτρου θα είναι -20 dB/δεκάδα 10η Διάλεξη 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων Το λογαριθμικό μέτρο για u<<1 θα είναι: και η φασική γωνία θα είναι φ(ω)=00 ενώ για u>>1 θα είναι: και η φασική γωνία, φ(ω) =900. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της απόκρισης της συχνότητας είναι: στη συχνότητα συντονισμού ωn=2 10η Διάλεξη 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Αφού καθορίσαμε τα διαγράμματα Bode μέτρου και φάσης για κάθε ένα παράγοντα, το επόμενο βήμα είναι να τα αθροίσουμε. Η συνολική συνάρτηση του μέτρου θα είναι: Η κλίση του τμήματος που αντιστοιχεί στον όρο (jω)-1 είναι -20 dB/δεκάδα και βρίσκει την ευθεία των 7.96 dB στη συχνότητα ω=0.4. Στο σημείο ω=2, η συνολική κλίση της καμπύλης γίνεται -40 dB/δεκάδα, λόγω του ζεύγους συζυγών μιγαδικών πόλων που βρίσκονται στο σημείο αυτό. Στη συνέχεια, στο σημείο ω=10, η κλίση της καμπύλης μεταβάλλεται σε -40 dB/δεκάδα, εξαιτίας του πόλου που συναντά σε αυτό το σημείο. 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Στο πρώτο σχήμα φαίνεται το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode του μέτρου και στο δεύτερο το πραγματικό για κάθε ένα παράγοντα και για την τελική συνάρτηση μεταφοράς (μαύρη). 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Η συνολική συνάρτηση της φάσης δίνεται από την παρακάτω σχέση: Στο πρώτο σχήμα φαίνεται η γραμμική προσέγγιση του διαγράμματος Bode της φάσης και στο δεύτερο το πραγματικό, για κάθε ένα παράγοντα και για την τελική συνάρτηση μεταφοράς (μαύρη γραμμή). 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 3ο παράδειγμα: Δίνεται σύστημα ελάχιστης φάσης, του οποίου το διάγραμμα Bode του μέτρου δίνεται στο διπλανό σχήμα. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Επειδή το σύστημα είναι ελάχιστης φάσης δεν θα έχει ούτε πόλους ούτε μηδενικά στο δεξί ημιεπίπεδο. Στις χαμηλές συχνότητες παρατηρούμε ότι η συνάρτηση του μέτρου παρουσιάζει κλίση, συγκεκριμένα –20 dB/δεκάδα. Άρα ένας απο τους παράγοντες θα είναι ο s-1, δηλαδή έχουμε ένα πόλο στην αρχή των αξόνων Από την συχνότητα ω1 μέχρι και τη συχνότητα ω2, η κλίση μειώνεται σε -40 dB/δεκάδα. Αυτό είναι αποτέλεσμα της ύπαρξης ενός απλού πόλου πάνω στον πραγματικό άξονα, της μορφής Από την συχνότητα ω2 και μετά, η κλίση μειώνεται σε -60 dB/δεκάδα. Άρα υπάρχει δεύτερος πόλος πάνω στον πραγματικό άξονα, της μορφής 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Τελικά, η συνάρτηση μεταφοράς που καλούμαστε να υπολογίσουμε θα είναι της μορφής: Οπότε θα πρέπει να προσδιορίσουμε τους όρους: τ1, τ2 Για τον υπολογισμό του τ1 έχουμε ότι: άρα 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Για τον υπολογισμό του τ2 έχουμε ότι: άρα Τέλος, θα πρέπει να υπολογίσουμε τη συχνότητα ωx, δηλαδή τη συχνότητα στην οποία ο παράγοντας s-1 συναντά την ευθεία των 0-dB. Αν τότε η συνολική συνάρτηση του μέτρου θα είναι πολλαπλασιασμένη με ένα κέρδος K. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Έστω 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Για να τέμνει η παραπάνω συνάρτηση του μέτρου την ευθεία των 0-dB θα πρέπει να ισχύει: Για να είναι το σημείο τομής στη συχνότητα ω=1, θα πρέπει και Κ=1, δηλαδή η συνάρτηση του μέτρου δεν πολλαπλασιάζεται με κάποιο κέρδος. Στην περίπτωση μας, θα είναι Κ=ωx. 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Για τον υπολογισμό της ωx έχουμε ότι: όποτε Κ=ωx=9.95. Άρα η ζητούμενη συνάρτηση μέτρου θα είναι: 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 4ο παράδειγμα: Δίνεται σύστημα ελάχιστης φάσης, του οποίου το διάγραμμα Bode του μέτρου δίνεται στο διπλανό σχήμα. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Επειδή το σύστημα είναι ελάχιστης φάσης δεν θα έχει ούτε πόλους ούτε μηδενικά στο δεξί ημιεπίπεδο. Στις χαμηλές συχνότητες παρατηρούμε ότι η συνάρτηση του μέτρου παρουσιάζει κλίση, συγκεκριμένα –20 dB/δεκάδα. Άρα ένας απο τους παράγοντες θα είναι ο s-1, δηλαδή έχουμε ένα πόλο στην αρχή των αξόνων Από την συχνότητα ω1 μέχρι και τη συχνότητα ω2, η κλίση μειώνεται σε -40 dB/δεκάδα. Αυτό είναι αποτέλεσμα της ύπαρξης ενός απλού πόλου πάνω στον πραγματικό άξονα, της μορφής Από την συχνότητα ω2 μέχρι και τη συχνότητα ω3, η κλίση αυξάνεται σε -20 dB/δεκάδα. Άρα υπάρχει μηδενικό πάνω στον πραγματικό άξονα, της μορφής Από τη συχνότητα ω3 και μετά, η κλίση μειώνεται σε -40dB/δεκάδα. Επομένως, υπάρχει και δεύτερος πόλος πάνω στον πραγματικό άξονα ο οποίος είναι της μορφής 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Τελικά, η συνάρτηση μεταφοράς που καλούμαστε να υπολογίσουμε θα είναι της μορφής: Οπότε θα πρέπει να προσδιορίσουμε τους όρους: τ1, τ2 και τ3 Για τον υπολογισμό του τ1 έχουμε ότι: άρα 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Επιπρόσθετα έχουμε ότι: Για τον υπολογισμό του τ3 έχουμε ότι: άρα Τέλος, θα πρέπει να υπολογίσουμε τη συχνότητα ωx, δηλαδή τη συχνότητα στην οποία ο παράγοντας s-1 συναντά την ευθεία των 0-dB. Αν τότε η συνολική συνάρτηση του μέτρου θα είναι πολλαπλασιασμένη με ένα κέρδος K, με Κ=ωx. (απόδειξη, παράδειγμα 3) 10η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Για τον υπολογισμό της ωx έχουμε ότι: όποτε Κ=ωx=31.457. Άρα η ζητούμενη συνάρτηση μέτρου θα είναι: 10η Διάλεξη