Ενότητα 2: Κινητική Κώστας Παπαδημητρίου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Δυναμική Ενότητα 2: Κινητική Κώστας Παπαδημητρίου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Αρχές Ώσης και Ορμής υπότιτλος

Γραμμική Ορμή και Ώση Για Υλικό Σημείο 𝐿 =𝑚 𝑣 L =𝑚 𝑣 =𝑚 𝑎 𝐿 = 𝐹 (1) 𝐿 = 𝐹 (1) όμως 𝐹 =𝑚 𝑎 H παραπάνω σχέση μας δείχνει ότι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής υλικού σημείου ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς ισούται με τη συνισταμένη εξωτερική δύναμηπου ενεργεί στο υλικό σημείο.

Γραμμική Ορμή και Ώση Για Υλικό Σημείο 𝐹 𝑥 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑥 𝑑𝑡 Γραμμική Ώση της δύναμης F Ολοκληρώνοντας ως προς 𝑡 την (1) έχω: 𝐹 𝑥 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑥 𝑑𝑡 𝐹 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑑𝑡 𝐹 𝑦 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑦 𝑑𝑡 𝑡 1 𝑡 2 𝐿 𝑑𝑡= 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑑𝑡

Γραμμική Ορμή και Ώση Για Υλικό Σημείο Γραμμική Ώση της δύναμης F Οπότε: H παραπάνω σχέση αποτελεί την Αρχή Ώσης Ορμής και μας δείχνει ότι η ώση των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε υλικό σημείο στη διάρκεια κάποιου χρονικού διαστήματος είναι ίση με την μεταβολή της ορμής του σημείου στο ίδιο χρονικό διάστημα. 𝐹 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐿 𝑑𝑡= 𝐿 𝑡 2 − 𝐿 ( 𝑡 1 ) 𝐹 =Δ 𝐿 ⇒ (2)

Γραμμική Ορμή και Ώση Για Υλικό Σημείο 𝐹 =Δ 𝐿 𝐿 𝑡 2 = 𝐿 ( 𝑡 1 ) (3) Αρχή Ώσης Ορμής 𝐹 =Δ 𝐿 Ειδική Περίπτωση: 𝐹 =0 ⇒ 𝐿 𝑡 2 = 𝐿 ( 𝑡 1 ) (3) H παραπάνω σχέση αποτελεί την Αρχή Διατήρησης της Ορμής υλικού σημείου και δείχνει ότι στην ειδική περίπτωση που η συνισταμένη εξωτερική δύναμη είναι μηδενική, τότε η ορμή παραμένει σταθερή και ίση με την αρχική της τιμή.

Γραμμική Ορμή και Ώση 𝐹 𝑦 =0 (2) Για Υλικό Σημείο Εφαρμογή Αρχή ώσης-ορμής ως προς το σύστημα Οxy Σε όλα τα σημεία της τροχιάς η δύναμη F έχει την ίδια διεύθυνση και φορά. 𝐹 = 𝐹 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝐹 𝑦 𝑒 𝑦 (1) 𝐹 𝑦 =0 (2) 1 𝐹 𝑥 =Δ 𝐿 𝑥 = 𝐿 𝑥 ( 𝑡 2 )− 𝐿 𝑥 ( 𝑡 1 ) (2) 𝐹 𝑦 =Δ 𝐿 𝑦 = 𝐿 𝑦 ( 𝑡 2 )− 𝐿 𝑦 ( 𝑡 1 ) 𝐿 𝑦 𝑡 2 = 𝐿 𝑦 ( 𝑡 1 )

Γραμμική Ορμή και Ώση Για Σύστημα Υλικών Σημείων Γραμμική Ώση 𝐿 = i=1 N 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 v= r L= i=1 N 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 𝐿 = 𝑖=1 𝑁 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 =𝑚 𝑟 𝐺 𝐿 = 𝐹 όμως 𝐹 =𝑚 𝑟 G 𝐹 𝑥 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑥 𝑑𝑡 𝐹 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 (t) 𝑑𝑡 𝐹 𝑦 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑦 𝑑𝑡

Γραμμική Ορμή και Ώση Για Σύστημα Υλικών Σημείων Γραμμική Ώση Ολοκληρώνοντας ως προς t οπότε 𝑡 1 𝑡 2 𝐿 𝑑𝑡= 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑑𝑡 𝐹 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐿 𝑑𝑡= 𝐿 𝑡 2 − 𝐿 ( 𝑡 1 ) ⇒ 𝐹 =Δ 𝐿 Ειδική Περίπτωση: 𝐹 =0 ⇒ 𝐿 𝑡 2 = 𝐿 ( 𝑡 1 )

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Υλικό Σημείο Στροφορμή 𝐻 p = 𝜌 ×𝑚 𝑣 = 𝜌 × 𝐿 (1) όμως 𝜌 = 𝑟 − 𝑟 𝑝 ⇒ 𝜌 = 𝑟 − 𝑟 𝑝 = 𝑣 − 𝑣 p Παραγωγίζοντας την (1) προκύπτει: 𝐻 p = 𝑣 − 𝑣 p ×𝑚 𝑣 + 𝜌 × 𝐹 𝐻 p = 𝑀 p − 𝑣 p ×𝑚 𝑣 ⇒

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Υλικό Σημείο Στροφική Ώση Ολοκληρώνοντας ως προς t 𝑀 p = 𝑡 1 𝑡 2 𝑀 p 𝑑𝑡 𝑡 1 𝑡 2 𝑀 𝑝 𝑑𝑡= 𝑡 1 𝑡 2 𝐻 𝑝 𝑑𝑡+ 𝑡 1 𝑡 2 ( 𝑣 𝑝 ×𝑚 𝑣 ) 𝑑𝑡 𝑀 p = 𝐻 p ( 𝑡 2 )− 𝐻 p ( 𝑡 1 )+ 𝑡 1 𝑡 2 ( 𝑣 p ×𝑚 𝑣 ) 𝑑𝑡 ⇒

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Υλικό Σημείο Όταν 𝑀 p = 𝐻 p 𝑣 // 𝑣 p ⇒ P = σταθερό σημείο ⇒ 𝑣 p =0 𝑀 p = Δ 𝐻 p Ειδική Περίπτωση: 𝑀 𝑝 =0 ⇒ 𝑀 𝑝 =0⇒ 𝐻 p 𝑡 2 = 𝐻 p ( 𝑡 1 )

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Υλικό Σημείο Εφαρμογή: Μία περίπτωση να έχω 𝑴 p =𝟎 είναι ο φορέας της 𝑭 να διέρχεται από το σημείο P 2 3 Για το δορυφόρο ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Σύστημα Υλικών Σημείων Στροφορμή 𝐻 p = i=1 N 𝜌 𝑖 ×(𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 ) (1) όμως 𝜌 i = 𝑟 i − 𝑟 𝑝 ⇒ 𝜌 𝑖 = 𝑟 𝑖 − 𝑟 𝑝 = 𝑣 𝑖 − 𝑣 p Παραγωγίζοντας την (1) προκύπτει: 𝐻 p = 𝑖=1 𝑁 𝜌 i × (𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 + 𝑣 i × (𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 )] (2)

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Σύστημα Υλικών Σημείων Στροφορμή Ο πρώτος όρος στο δεξιό μέλος της (2) γίνεται: 𝑖=1 𝑁 ( 𝑟 𝑖 − 𝑟 𝑝 ) × (𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 ) = − 𝑣 𝑝 × 𝑖=1 𝑁 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 =− 𝑣 𝑝 × 𝑚 𝑣 𝐺 Οπότε η (2) χρησιμοποιώντας το δεύτερο νόμο του Euler γράφεται: 𝐻 p = 𝑀 p − 𝑣 p ×𝑚 𝑣 𝐺

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Σύστημα Υλικών Σημείων Όταν Στροφική Ώση P ακίνητο ⇒ 𝑣 p =0 𝑀 p = 𝐻 p 𝑣 p // 𝑣 G ⇒ P≡𝐺 ⇒ 𝑣 p = 𝑣 G 𝑀 p = Δ 𝐻 p 𝑀 p = 𝑡 1 𝑡 2 𝑀 p 𝑑𝑡

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Σύστημα Υλικών Σημείων Στροφική Ώση Ολοκληρώνοντας ως προς t 𝑡 1 𝑡 2 𝑀 𝑝 𝑑𝑡= 𝑡 1 𝑡 2 𝐻 𝑝 𝑑𝑡+ 𝑡 1 𝑡 2 ( 𝑣 𝑝 ×𝑚 𝑣 𝐺 ) 𝑑𝑡 𝑀 p = 𝐻 p ( 𝑡 2 )− 𝐻 p ( 𝑡 1 )+ 𝑡 1 𝑡 2 ( 𝑣 p ×𝑚 𝑣 𝐺 ) 𝑑𝑡 ⇒ Ειδική Περίπτωση: 𝑀 p =0 𝜅𝛼𝜄 𝑣 p × 𝑣 𝐺 =0⇒ 𝐻 p 𝑡 2 = 𝐻 p ( 𝑡 1 )

Στροφορμή και Στροφική Ώση Για Σύστημα Υλικών Σημείων Παρατήρηση 1: Μπορεί να αποδειχθεί ότι 𝐻 p = 𝐻 G + 𝜌 𝐺 ×𝑚 𝑣 𝐺 Παρατήρηση 2: 𝐻 p = 𝑖=1 𝑁 𝜌 𝑖 × 𝑚 𝑖 𝜌 𝑖 Σχετική Στροφορμή: Η p = Η 𝑝 + 𝜌 𝐺 ×𝑚 𝑣 p Απόλυτη Στροφορμή: Παρατήρηση 3: Επειδή 𝜌 G =0 ⇒ 𝐻 G = 𝐻 G

Αρχές Έργου - Ενέργειας

Έργο 𝑊= 1 2 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 Για Υλικό Σημείο Έργο 𝒅𝑾= 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 (1) (2) 𝒅𝑾= 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 (1) Mε ολοκλήρωση της (1) από την θέση (1) στη θέση (2) έχω: 𝑊= 1 2 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 (2)

Έργο 𝑊 𝑄 = 1 2 𝑸 ∙ 𝒅𝒓 = 1 2 −𝑸∙ 𝒅𝒓 =−𝐐∙𝚫𝐫 Παράδειγμα Έργο δυνάμεων επαφής: Έργο της Ν: Έργο της Q: 𝑵 ∙ 𝒅𝒓 =𝟎 𝑸 ∙ 𝒅𝒓 =−𝑸 ∙ 𝒅𝒓 𝑊 𝑄 = 1 2 𝑸 ∙ 𝒅𝒓 = 1 2 −𝑸∙ 𝒅𝒓 =−𝐐∙𝚫𝐫

Έργο 𝑾= 𝟏 𝟐 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 = 1 2 𝒎 ∙ 𝒓 𝒅𝒓 = 𝒕 𝟏 𝒕 𝟐 𝒎 ∙ 𝒓 ∙ 𝒓 𝒅𝒕 Για Υλικό Σημείο Έργο 𝑾= 𝟏 𝟐 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 H (2) λόγω του 2ου Νόμου του Νεύτωνα γίνεται: = 1 2 𝒎 ∙ 𝒓 𝒅𝒓 = 𝒕 𝟏 𝒕 𝟐 𝒎 ∙ 𝒓 ∙ 𝒓 𝒅𝒕 ⇒ 𝑾= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟏 𝒕 𝟐 𝒎∙ 𝒅 𝒅𝒕 ∙( 𝒓 ∙ 𝒓 ) 𝒅𝒕 = 𝟏 𝟐 𝒎 𝒕 𝟏 𝒕 𝟐 𝒅 𝒗 𝟐 𝒅𝒕 ⇒ 𝒅𝒕

Έργο 𝑾= 𝟏 𝟐 𝒎 𝒗 𝟐 𝒕 𝟐 − 𝒗 𝟐 𝒕 𝟏 𝚻= 𝟏 𝟐 𝒎 𝒗 𝟐 𝐖= 𝑻 𝟐 − 𝑻 𝟏 𝐖=𝚫𝐓 Για Υλικό Σημείο Έργο 𝑾= 𝟏 𝟐 𝒎 𝒗 𝟐 𝒕 𝟐 − 𝒗 𝟐 𝒕 𝟏 𝚻= 𝟏 𝟐 𝒎 𝒗 𝟐 Εισάγω την κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου: 𝐖= 𝑻 𝟐 − 𝑻 𝟏 Οπότε το έργο ισούται με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας: ⇒ 𝐖=𝚫𝐓 (3)

Έργο 𝑊= 1 2 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 =− 𝟏 𝟐 𝒅𝑽= − (𝑽 𝟐 - 𝑽 𝟏 ) Για Υλικό Σημείο Προσδιορισμός των συνθηκών έτσι ώστε το έργο μιας δύναμης να είναι ανεξάρτητο της τροχιάς Για να συμβεί αυτό θα πρέπει: 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 =−𝒅𝑽 (3) Όπου 𝑉 καλέιται η Συνάρτηση Δυναμικού ή Δυναμική Ενέργεια. Στην περίπτωση αυτή: 𝑊= 1 2 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 =− 𝟏 𝟐 𝒅𝑽= − (𝑽 𝟐 - 𝑽 𝟏 ) (4)

Έργο Για Υλικό Σημείο Εκφράζοντας την σχέση (4) σε καρτεσιανές συντεταγμένες προκύπτει ότι: 𝑭 𝒙 𝒆 𝒙 + 𝑭 𝒚 𝒆 𝒚 + 𝑭 𝒛 𝒆 𝒛 ∙ 𝒅𝒙 𝒆 𝒙 +𝒅𝒚 𝒆 𝒚 +𝒅𝒛 𝒆 𝒛 =− 𝝏𝑽 𝝏𝒙 𝒅𝒙+ 𝝏𝑽 𝝏𝒚 𝒅𝒚+ 𝝏𝑽 𝝏𝒛 𝒅𝒛 Δηλαδή η δύναμη F μπορεί να παρασταθεί στην μορφή: F =− 𝝏𝑽 𝝏𝒙 𝒆 𝒙 + 𝝏𝑽 𝝏𝒚 𝒆 𝒙 + 𝝏𝑽 𝝏𝒛 𝒆 𝒙 ⇒ F =− 𝛁 𝑽 (5)

Έργο Για Υλικό Σημείο F =− 𝛁 𝑽 (5) Οι δυνάμεις που ικανοποιούν την σχέση (3) ή (5) ονομάζονται Συντηρητικές Δυνάμεις.Οι δυνάμεις αυτές ενεργούν στην διεύθυνση που αντιστοιχεί στο μέγιστο ρυθμό μείωσης της συνάρτησης δυναμικού στο χώρο και έχουν μέτρο ίσο με το μέτρο της κλίσης αυτής της μείωσης.

Έργο Για Υλικό Σημείο ⇒ Γνωρίζω ότι: 𝛁 × 𝛁 𝑽= 𝟎 𝛁 × 𝛁 𝑽= 𝟎 Άρα αν η 𝐹 είναι συντηρητική θα ισχύει: 𝛁 × 𝑭 = 𝟎 Ισχύει όμως επίσης ότι αν: 𝛁 × 𝑭 = 𝟎 ⇒ Η 𝑭 είναι συντηρητική Τα πεδία που ικανοποιούν την παραπάνω σχέση ονομάζονται αστρόβιλα πεδία.

Έργο = 1 2 𝑭 𝒄 ∙ 𝒅𝒓 + 1 2 𝑭 𝒏𝒄 ∙ 𝒅𝒓 𝑊= 1 2 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 =− 𝟏 𝟐 𝒅𝑽= Για Υλικό Σημείο 𝑊= 1 2 𝑭 ∙ 𝒅𝒓 =− 𝟏 𝟐 𝒅𝑽= − (𝑽 𝟐 - 𝑽 𝟏 ) Για μια συντηρητική δύναμη F από την σχέση (4) ισχύει: Όμως: 𝑭 = 𝑭 𝒄 + 𝑭 𝒏𝒄 𝑊= 1 2 ( 𝑭 𝒄 + 𝑭 𝒏𝒄 )∙ 𝒅𝒓 = 1 2 𝑭 𝒄 ∙ 𝒅𝒓 + 1 2 𝑭 𝒏𝒄 ∙ 𝒅𝒓 Οπότε: ⇒

Έργο = 1 2 𝑭 𝒄 ∙ 𝒅𝒓 + 1 2 𝑭 𝒏𝒄 ∙ 𝒅𝒓 𝑊=−ΔV+ 𝑊 𝑛𝑐 𝐖=𝚫𝐓 Για Υλικό Σημείο 𝑊= 1 2 ( 𝑭 𝒄 + 𝑭 𝒏𝒄 )∙ 𝒅𝒓 = 1 2 𝑭 𝒄 ∙ 𝒅𝒓 + 1 2 𝑭 𝒏𝒄 ∙ 𝒅𝒓 Για μια συντηρητική δύναμη F από την σχέση (4) ισχύει: ⇒ 𝑊=−ΔV+ 1 2 𝑭 𝒏𝒄 ∙ 𝒅𝒓 𝑊=−ΔV+ 𝑊 𝑛𝑐 −𝒅𝑽 ⇒ ⇒ 𝐖=𝚫𝐓 Όμως από την σχέση (3):

Έργο ΔΤ=−ΔV+ 𝑊 𝑛𝑐 𝑊 𝑛𝑐 =Δ(T+V) 𝑊 𝑛𝑐 =Δ𝐸 𝑊 𝑛𝑐 =0 Δ𝐸=0 Για Υλικό Σημείο Για μια συντηρητική δύναμη F από την σχέση (4) ισχύει: ΔΤ=−ΔV+ 𝑊 𝑛𝑐 ⇒ ⇒ 𝑊 𝑛𝑐 =Δ(T+V) ⇒ 𝑊 𝑛𝑐 =Δ𝐸 (6) Αρχή Έργου Ενέργειας Αν: 𝑊 𝑛𝑐 =0 Δ𝐸=0 ⇒ ⇒ 𝑇 1 + 𝑉 1 = 𝑇 2 + 𝑉 2 Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας

Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Πεδίο Βαρύτητας της Γης Δεδομένα Έστω υλικό σημείο μάζας 𝑚. H επιτάχυνση της βαρύτητας είναι 𝑔=9,81 𝑚/ 𝑠 2 . H δύναμη της βαρύτητας έχει την μορφή: 1 𝑭 = 𝟎 𝒆 𝒙 +𝟎 𝒆 𝒚 +(−𝒎𝒈) 𝒆 𝒛 = −𝒎𝒈 𝒆 𝒛

Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Πεδίο Βαρύτητας της Γης Zητούμενα Να βρεθεί η συνάρτηση δυναμικού 𝑉. 1

Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Πεδίο Βαρύτητας της Γης Βήμα 1ο Ελέγχω αν η δύναμη 𝐹 είναι συντηρητική για να δω αν ισχύει η σχέση (5): Εύκολα αποδεικνύεται ότι: 𝛁 × 𝑭 = 𝒆 𝒙 𝒆 𝒚 𝒆 𝒛 𝝏 𝝏𝒙 𝝏 𝝏𝒚 𝝏 𝝏𝒛 𝟎 𝟎 −𝒎𝒈 = 𝟎 1 Άρα η δύναμη 𝐹 είναι συντηρητική.

Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Πεδίο Βαρύτητας της Γης Βήμα 1ο Ελέγχω αν η δύναμη 𝐹 είναι συντηρητική για να δω αν ισχύει η σχέση (5): Εύκολα αποδεικνύεται ότι: 𝛁 × 𝑭 = 𝒆 𝒙 𝒆 𝒚 𝒆 𝒛 𝝏 𝝏𝒙 𝝏 𝝏𝒚 𝝏 𝝏𝒛 𝟎 𝟎 −𝒎𝒈 = 𝟎 1 Άρα η δύναμη 𝐹 είναι συντηρητική.

Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Βήμα 2ο Υπολογισμός της Δυναμικής Ενέργειας από την σχέση (5) : F =− 𝛁 𝑽 ⇒ 𝝏𝑽 𝝏𝒙 =𝟎 𝜶 𝝏𝑽 𝝏𝒚 =𝟎 𝒃 𝝏𝑽 𝝏𝒛 =𝒎𝒈 𝒄 𝑽(𝒙,𝒚,𝒛)=𝒎𝒈𝒛+ 𝒄 𝟏 (𝒙,𝒚) ⇒ ⇒ (𝒄) 𝝏𝑽(𝒙,𝒚,𝒛) 𝝏𝒛 =𝒎𝒈 𝒅

Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Βήμα 2ο Αντικαθιστώ την (d) στην (a) κι έχω : ⇒ ⇒ 𝝏𝑽(𝒙,𝒚,𝒛) 𝝏𝒙 =𝟎 𝝏[𝒎𝒈𝒛 + 𝒄 𝟏 𝒙,𝒚 ] 𝝏𝒙 =𝟎 (𝜶) ⇒ 𝝏 𝒄 𝟏 𝒙,𝒚 𝝏𝒙 =𝟎 𝑽(𝒙,𝒚,𝒛)=𝒎𝒈𝒛 + 𝒄 𝟐 (𝒚) Ολοκληρώνω ως προς x κι έχω: 𝒄 𝟏 (𝒙,𝒚)= 𝒄 𝟐 (𝒚) Οπότε: (𝒆)

Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Εφαρμογή 1: Δυναμικό Γήινης Βαρύτητας Βήμα 2ο Αντικαθιστώ την (e) στην (b) κι έχω : ⇒ ⇒ 𝝏𝑽(𝒙,𝒚,𝒛) 𝝏𝒚 =𝟎 𝝏[𝒎𝒈𝒛 + 𝒄 𝟐 𝒚 ] 𝝏𝒚 =𝟎 (𝒃) ⇒ 𝝏 𝒄 𝟐 𝒚 𝝏𝒚 =𝟎 ⇒ 𝒄 𝟐 𝒚 = 𝑽 𝟎 Οπότε η συνάρτηση Δυναμικού είναι: 𝑽 𝒙,𝒚,𝒛 =𝒎𝒈𝒛 + 𝑽 𝟎

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τέλος Ενότητας