Χρωματισμός κορυφών -Χρωματισμός χαρτών Χρωματισμός ενός γραφήματος είναι η απόδοση χρωμάτων στις κορυφές τους έτσι ώστε να μην υπάρχουν γειτονικές κορυφές με το ίδιο χρώμα. Το σύνολο των κορυφών με το ίδιο χρώμα αποτελούν μια χρωματική τάξη. Ο μικρότερος αριθμός χρωμάτων που χρειάζεται για να χρωματισθεί ένα γράφημα λέγεται χρωματικός αριθμός και συμβολίζεται με χ(G).

Χρωματισμός κορυφών -Χρωματισμός χαρτών Ποιος ο χρωματικός αριθμός ενός τυχαίου γραφήματος; Αλυτο πρόβλημα Εικασία των 4 χρωμάτων Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματισθεί με 4 χρώματα. Παρέμεινε άλυτο για 125 χρόνια! Οι Appel και Haken απέδειξαν με τη βοήθεια ΗΥ το 1976 ότι το θεώρημα ισχύει

Προσεγγιστικός 1 – Σειριακός χρωματισμός Θέσε i  1. Θέσε c  1. Ταξινόμησε τα χρώματα που είναι γειτονικά της κορυφής vi κατά αύξουσα σειρά και ονόμασε τη λίστα Li. Αν το χρώμα c δεν ανήκει στη λίστα Li, τότε χρωμάτισε τη κορυφή vi με το χρώμα c. Πήγαινε στο βήμα 6. Θέσε c c+ 1 και πήγαινε στο βήμα 4. Αν i<n, τότε θέσε i i+ 1 και πήγαινε στο βήμα 2, αλλιώς σταμάτα.

Παράδειγμα 1

Προσεγγιστικός 2– Σειριακός χρωματισμός, πρώτα η μεγαλύτερη (largest first) Ταξινόμησε τις κορυφές κατά φθίνουσα τάξη βαθμού. Χρωμάτισε με το 1ο χρώμα την 1η κορυφή και στη συνέχεια χρωμάτισε σειριακά με το ίδιο χρώμα, κάθε κορυφή που δεν είναι γειτονική της κορυφής που μόλις χρωματίστηκε. Επανέλαβε την ίδια διαδικασία χρησιμοποιώντας το επόμενο επιτρεπτό χρώμα για τις υπόλοιπες μη χρωματισμένες κορυφές μέχρι να χρωματιστούν όλες οι κορυφές.

Παράδειγμα 2

Προσεγγιστικός 3– Brelaz- χρήση βαθμού χρώματος κορυφών Ταξινόμησε τις κορυφές κατά φθίνουσα τάξη βαθμών. Χρωμάτισε την κορυφή με το μεγαλύτερο βαθμό με το χρώμα 1. Επέλεξε την κορυφή με το μέγιστο βαθμό χρώματος. Αν υπάρχει «ισοπαλία», επέλεξε τη μη χρωματισμένη κορυφή με το μεγαλύτερο βαθμό στο μη χρωματισμένο γράφημα. Την επιλεγείσα κορυφή χρωμάτισέ την με το μικρότερο επιτρεπτό χρώμα Αν δεν είναι όλες οι κορυφές χρωματισμένες, τότε πήγαινε στο βήμα 3.

Παράδειγμα 3

Παράδειγμα 3 - συνέχεια

Κάθε δένδρο έχει χρωματικό αριθμό 2. Εφάρμοσε BFS διάσχιση Σε συνεκτικό γράφημα χωρίς περιττούς κύκλους (κύκλος με περιττό πλήθος κορυφών) Κάθε δένδρο έχει χρωματικό αριθμό 2. Εφάρμοσε BFS διάσχιση Στο δένδρο που προκύπτει χρωμάτισε τις κορυφές που είναι σε περιττό επίπεδο με το ένα χρώμα και αυτές που είναι σε άρτιο επίπεδο με το άλλο χρώμα

Παράδειγμα