Άραγε, γνωρίζουν οι μέλισσες μαθηματικά? Επιμέλεια: Κουρτέση Γεωργία Μαθηματικός

Εκ πρώτης όψεως, θα ήταν παράλογο να πιστεύει κανείς ότι είναι δυνατόν άλλα ζώα , εκτός του ανθρώπου, να γνωρίζουν και να χρησιμοποιούν μαθηματικά. Οι μέλισσες όμως τείνουν να αποδείξουν το αντίθετο. Οι κυψέλες ή κερήθρες στις οποίες αποθηκεύουν το μέλι και αναπτύσσουν τα αυγά τους, αποτελούν ένα μαθηματικό κατόρθωμα, όπως θα δούμε παρακάτω. Αλλά και ο τρόπος που επικοινωνούν μεταξύ τους είναι αξιοθαύμαστος και μας αφήνει όλους έκπληκτους για την πρωτοτυπία και την μαθηματική βάση πάνω στην οποία στηρίζεται. Όπως είναι γνωστό, αν ανακαλύψουν μια πλούσια πηγή σε νέκταρ μακριά από τη φωλιά τους, τότε στήνουν ένα ρυθμικό χορό σε σχήμα για να ειδοποιήσουν και τις υπόλοιπες. Η γωνία μεταξύ του μεγάλου άξονα αυτού του σχήματος και του κατακόρυφου άξονα, είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν οι ακτίνες του ήλιου και η κατεύθυνση της ελάχιστης απόστασης απ’ τις κυψέλες ως την τροφή. Έτσι υποδεικνύεται ο συντομότερος δρόμος που πρέπει να ακολουθηθεί για να φτάσουν στο νέκταρ!!!

Τα κελιά των κυψελών είναι πρισματικά δωμάτια με βάση κανονικά εξάγωνα Τα κελιά των κυψελών είναι πρισματικά δωμάτια με βάση κανονικά εξάγωνα. Τρία είναι τα βασικά ερωτήματα που θα μπορούσαν να απασχολήσουν κάποιον από μαθηματική άποψη: α) Γιατί η μέλισσα κατασκευάζει τη φωλιά της εξαγωνική? Τι άλλα σχήματα θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει? β) Εξυπηρετεί το εξαγωνικό πρίσμα για την πιο οικονομική μέθοδο αποθήκευσης? γ) Είναι αυτή η κατασκευή πιο οικονομική σε πρώτη ύλη (κερί)?

Η σταθερότητα μιας τέτοιας κατασκευής επιβάλλει τη χρήση ενός σχήματος που τείνει στο κυκλικό. Από την εμπειρία μας γνωρίζουμε ότι τα σχήματα που έχουν συμμετρία ως προς κέντρο μπορούν να σχηματίσουν πολύ σταθερές κατασκευές. Γι’ αυτό σαν μόνη λύση φαίνεται η χρήση πρισμάτων με πλευρά κανονικά πολύγωνα ή έστω η χρησιμοποίηση ενός κυλίνδρου.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ Η οικονομία του χώρου απαιτεί ότι η επανάληψη του σχήματος της βάσης πρέπει να καλύψει το επίπεδο χωρίς κενά. Στην περίπτωση αυτή το άθροισμα των γωνιών γύρω από μια κορυφή θα πρέπει να είναι 360 0 . Έστω ότι έχουμε κ κανονικά πολύγωνα με ν πλευρές το καθένα, και κοινή κορυφή Α. Τότε το μέτρο της γωνίας ω είναι: αφού

στο ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Επομένως Επειδή όμως ν,κ με ν≥3, οι μόνες λύσεις που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση είναι : ή ή που αντιστοιχούν στο ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο.

Μόνο λοιπόν αυτά τα κανονικά πολύγωνα και πιθανώς ο κύκλος, είναι τα δυνατά σχήματα για τα κελιά των κυψελών. Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει το εμβαδόν των τεσσάρων αυτών σχημάτων για δοσμένη περίμετρο

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΕΡΩΤΗΜΑ Υπάρχει ένα είδος μελισσών στη Νότια Αμερική, που κατασκευάζει τις φωλιές του σαν κυλινδρικά δωμάτια. Μήπως αυτές είναι πιο έξυπνες? Για να δούμε! Πως μπορούμε να τοποθετήσουμε περισσότερους κύκλους (σταθερής διαμέτρου) σε μια δοσμένη επιφάνεια? Στην αρχή φανταζόμαστε το πρώτο απ’τα παραπάνω σχήματα. Όταν όμως κουνήσουμε το πλαίσιο του σχήματος αυτού, σχηματίζεται το δεύτερο σχήμα. Παρατηρούμε δηλαδή , ότι στην ίδια επιφάνεια είναι δυνατόν να χωρέσουν κι άλλοι κύκλοι.

Πράγματι, αν η διάμετρος κάθε κύκλου είναι d,στο 1ο σχήμα οι 9 σειρές έχουν ύψος : h 1=9d, ενώ στο 2ο σχήμα οι 10 σειρές :h 2 =9 υ +d ,όπου υ είναι το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς d. Άρα h 2 < 9∙ 0.866d <7,795d <9d = h 1. Άρα η δεύτερη περίπτωση είναι πιο οικονομική και μάλιστα αν φανταστούμε ότι οι κύκλοι είναι ελαστικοί, συμπιέζοντας την κατασκευή στην πρώτη περίπτωση ο κεντρικός κύκλος τετραγωνίζεται …..

ενώ στη δεύτερη περίπτωση παίρνει τη μορφή εξαγώνου ενώ στη δεύτερη περίπτωση παίρνει τη μορφή εξαγώνου. Αυτή η παρατήρηση ίσως να δείχνει τον τρόπο δημιουργίας των κυψελών. Η ανάγκη για οικονομία χώρου είχε ως αποτέλεσμα την κατασκευή εξαγωνικών κελιών. Οι Νοτιοαμερικάνες μέλισσες λοιπόν είναι πιο «πρωτόγονες»!!!

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ Ας υποθέσουμε ότι η μέλισσα κατασκευάζει 9 κυκλικά κελιά με διάμετρο κύκλου (για ευκολία) 1 μονάδα.Τότε το συνολικό μήκος του τοιχώματος είναι 9π ≈ 18,27 μονάδες. Έστω τώρα ότι η διατομή των κελιών είναι τριγωνική και σε κάθε τρίγωνο πρέπει να εγγράφεται κύκλος διαμέτρου 1. Άρα : όπου α η πλευρά του τριγώνου, δηλαδή συνολικό μήκος για τα 18 τοιχώματα : = 31,18 μονάδες

Στην περίπτωση που έχουμε διατομή τετράγωνο τα τοιχώματα είναι συνολικά 24 κι επομένως έχουν μήκος 24 μονάδες . Για διατομή κανονικού εξαγωνικού κελιού, μετράμε 16 εσωτερικές επιφάνειες τοίχου και 22 εξωτερικές.Το μήκος κάθε πλευράς του εξαγώνου βρίσκεται πάλι απ’την απαίτηση να εγγράφεται σ’αυτό κύκλος διαμέτρου 1. Απ’ το σχήμα προκύπτει: δηλαδή συνολικό μήκος 21,94 μονάδες

Στην τέταρτη, λοιπόν διάταξη απαιτείται λιγότερο κερί για την κατασκευή των κυψελών. Θα δούμε τώρα και την ανωτερότητα των εξαγωνικών κελιών συγκριτικά με τα κυκλικά , όσο αφορά την οικονομία στο κερί. Αν κατασκευάσουμε 7 κύκλους, χρειαζόμαστε περισσότερο κερί από ότι 7 εξάγωνα. Κατασκευάζοντας τα 6 εξωτερικά εξάγωνα εμφανίζεται και το έβδομο χωρίς επιπρόσθετο κερί. Εξάλλου, τα 6 εξωτερικά εξάγωνα έχουν ανά δύο μια κοινή πλευρά, άρα χρησιμοποιώντας τις περιμέτρους 5 εξαγώνων αποκτούν ένα χώρο εμβαδού ισοδύναμου με 7 εξάγωνα!!! Η περίμετρος των 7 κύκλων είναι :43,96 ρ, ενώ των 5 εξαγώνων : 34,64 ρ δηλαδή κατά 21,2% μικρότερη . Ακόμη, ο χώρος που περικλείουν οι 7 κύκλοι είναι κατά 10,3% μικρότερος από των 7 εξαγώνων!!!

Οι μέλισσες λοιπόν έλυσαν ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα : « τι σχήμα πρέπει να πάρει μια δοσμένη ποσότητα ύλης , ώστε να έχει τη μεγαλύτερη χωρητικότητα, σταθερότητα και τη μικρότερη δυνατή επιφάνεια, προϋποθέτοντας λιγότερη εργασία κατασκευής».

«Αν εξαφανιστούν οι μέλισσες, θα απομείνουν μόνο τέσσερα χρόνια ζωής στην ανθρωπότητα»  Albert Einstein